Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / En este trabajo se aborda el problema de encontrar soluciones regulares para algunas EDPs elípticas e hipo-elípticas no lineales y estudiar sus propiedades cualitativas.
En una primera etapa, se considera la ecuación
$$
-\Delta u = \lambda e^u,
$$
$\lambda > 0$, en un dominio exterior con condición de Dirichlet nula. Un esquema de reducción finito-dimensional permite encontrar infinitas soluciones regulares cuando $\lambda$ es suficientemente pequeño.
En la segunda parte se estudia la existencia de soluciones de la ecuación no local
$$
(-\Delta)^s u = u^{p \pm \epsilon}, u > 0,
$$
en un dominio acotado y suave, con condición de Dirichlet nula; donde $s > 0$ y $p:=(N+2s)/(N-2s) \pm \epsilon$ es cercano al exponente crítico ($\epsilon > 0$ pequeño). Para hallar soluciones, se utiliza un esquema de reducción finito-dimensional en espacios de funciones adecuados, donde el término principal de la función reducida se expresa a partir de las funciones de Green y de Robin del dominio. La existencia de soluciones dependerá de la existencia de puntos críticos de este término principal y de una condición de no degeneración.
Por último, se considera un problema no local en el grupo de Heisenberg $H$. En particular, se buscan propiedades de rigidez para soluciones estables de
$$
(-\Delta_H)^s v = f(v) en H,
$$
$s \in (0,1)$. Como paso fundamental, se prueba una desigualdad del tipo Poincaré en conexión con un problema elíptico degenerado en $R^4_+$. Esta desigualdad se usará en un procedimiento de extensión para dar un criterio bajo el cual los conjuntos de nivel de las soluciones del problema anterior son superficies mínimas en $H$, es decir, tienen $H$-curvatura media nula.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:UCHILE/oai:repositorio.uchile.cl:2250/115530 |
| Date | January 2014 |
| Creators | López Ríos, Luis Fernando |
| Contributors | Dávila Bonczos, Juan, Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas, Departamento de Ingeniería Matemática, Sire, Yannick, Felmer Aichele, Patricio, Hamel, Francois, Quaas Berger, Alexander, Roquejoffre, Jean-Michel |
| Publisher | Universidad de Chile |
| Source Sets | Universidad de Chile |
| Language | English |
| Detected Language | Spanish |
| Type | Tesis |
| Rights | Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Chile, http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/cl/ |
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