[pt] A análise de complexidade clássica para problemas NP-difíceis é geralmente
orientada para cenários de pior caso, considerando apenas o comportamento
assintótico. No entanto, existem algoritmos práticos com execução em um tempo razoável para muitos problemas clássicos. Além disso, há evidências que apontam para algoritmos polinomiais no modelo de árvore de decisão linear para resolver esses problemas, embora não muito explorados. Neste trabalho, exploramos esses resultados teóricos anteriores. Mostramos que a solução ótima para problemas combinatórios 0-1 pode ser encontrada reduzindo esses problemas para uma Busca por Vizinho Mais Próximo sobre o conjunto de vértices de Voronoi correspondentes. Utilizamos os hiperplanos que delimitam essas regiões para gerar sistematicamente uma árvore de decisão que repetidamente divide o espaço até que possa separar todas as soluções, garantindo uma resposta ótima. Fazemos experimentos para testar os limites de tamanho para os quais podemos construir essas árvores para os casos do 0-1 knapsack, weighted minimum cut e symmetric traveling salesman. Conseguimos encontrar as árvores desses problemas com tamanhos até 10, 5 e 6, respectivamente. Obtemos também as relações de adjacência completas para os esqueletos dos politopos do knapsack
e do traveling salesman até os tamanhos 10 e 7. Nossa abordagem supera
consistentemente o método de enumeração e os métodos baseline para o weighted
minimum cut e symmetric traveling salesman, fornecendo soluções ótimas em
microssegundos. / [en] Classical complexity analysis for NP-hard problems is usually oriented to
worst-case scenarios, considering only the asymptotic behavior. However, there
are practical algorithms running in a reasonable time for many classic problems. Furthermore, there is evidence pointing towards polynomial algorithms in
the linear decision tree model to solve these problems, although not explored
much. In this work, we explore previous theoretical results. We show that the
optimal solution for 0-1 combinatorial problems can be found by reducing these
problems into a Nearest Neighbor Search over the set of corresponding Voronoi
vertices. We use the hyperplanes delimiting these regions to systematically generate a decision tree that repeatedly splits the space until it can separate all solutions, guaranteeing an optimal answer. We run experiments to test the size limits for which we can build these trees for the cases of the 0-1 knapsack, weighted minimum cut, and symmetric traveling salesman. We manage to find the trees of these problems with sizes up to 10, 5, and 6, respectively. We also obtain the complete adjacency relations for the skeletons of the knapsack and traveling salesman polytopes up to size 10 and 7. Our approach consistently outperforms the enumeration method and the baseline methods for the weighted minimum cut and symmetric traveling salesman, providing optimal solutions within microseconds.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:puc-rio.br/oai:MAXWELL.puc-rio.br:54349 |
| Date | 24 August 2021 |
| Creators | CLEBER OLIVEIRA DAMASCENO |
| Contributors | THIBAUT VICTOR GASTON VIDAL |
| Publisher | MAXWELL |
| Source Sets | PUC Rio |
| Language | English |
| Detected Language | English |
| Type | TEXTO |
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