[pt] Este trabalho modela a evolução temporal de uma epidemia com uma
abordagem estocástica. O número de novas infecções por infectado é modelado
como uma variável aleatória discreta, chamada aqui de contágio. Logo, a
evolução temporal da doença é um processo estocástico. Mais especificamente,
a propagação é dada pelo modelo de Bienaymé-Galton-Watson, um tipo
de processo de ramificação de parâmetro discreto. Neste processo, para um
determinado instante, o número de membros infectados, ou seja, a geração de
membros infectados é uma variável aleatória. Na primeira parte da dissertação,
dado que o modelo probabilístico do contágio é conhecido, quatro metodologias
utilizadas para obter as funções de massa das gerações do processo estocástico
são comparadas. As metodologias são: funções geradoras de probabilidade com
e sem identidades polinomiais, cadeia de Markov e simulações de Monte Carlo.
A primeira e terceira metodologias fornecem expressões analíticas relacionando
a variável aleatória de contágio com a variável aleatória do tamanho de uma
geração. Essas expressões analíticas são utilizadas na segunda parte desta
dissertação, na qual o problema clássico de inferência paramétrica bayesiana é
estudado. Com a ajuda do teorema de Bayes, parâmetros da variável aleatória
de contágio são inferidos a partir de realizações do processo de ramificação. As
expressões analíticas obtidas na primeira parte do trabalho são usadas para
construir funções de verossimilhança apropriadas. Para resolver o problema
inverso, duas maneiras diferentes de se usar dados provindos do processo
de Bienaymé-Galton-Watson são desenvolvidas e comparadas: quando dados
são realizações de uma única geração do processo de ramificação ou quando
os dados são uma única realização do processo de ramificação observada ao
longo de uma quantidade de gerações. O critério abordado neste trabalho para
encerrar o processo de atualização na inferência paramétrica usa a distância
de L2-Wasserstein, que é uma métrica baseada no transporte ótimo de massa.
Todas as rotinas numéricas e simbólicas desenvolvidas neste trabalho são
escritas em MATLAB. / [en] This work models an epidemic s spreading over time with a stochastic
approach. The number of infections per infector is modeled as a discrete random variable, named here as contagion. Therefore, the evolution of the disease
over time is a stochastic process. More specifically, this propagation is modeled
as the Bienaymé-Galton-Watson process, one kind of branching process with
discrete parameter. In this process, for a given time, the number of infected
members, i.e. a generation of infected members, is a random variable. In the
first part of this dissertation, given that the mass function of the contagion s
random variable is known, four methodologies to find the mass function of the
generations of the stochastic process are compared. The methodologies are:
probability generating functions with and without polynomial identities, Markov chain and Monte Carlo simulations. The first and the third methodologies
provide analytical expressions relating the contagion random variable and the
generation s size random variable. These analytical expressions are used in the
second part of this dissertation, where a classical inverse problem of bayesian
parametric inference is studied. With the help of Bayes rule, parameters of
the contagion random variable are inferred from realizations of the stochastic
process. The analytical expressions obtained in the first part of the work are
used to build appropriate likelihood functions. In order to solve the inverse
problem, two different ways of using data from the Bienaymé-Galton-Watson
process are developed and compared: when data are realizations of a single
generation of the branching process and when data is just one realization of
the branching process observed over a certain number of generations. The criteria used in this work to stop the update process in the bayesian parametric
inference uses the L2-Wasserstein distance, which is a metric based on optimal
mass transference. All numerical and symbolical routines developed to this
work are written in MATLAB.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:puc-rio.br/oai:MAXWELL.puc-rio.br:64469 |
| Date | 26 October 2023 |
| Creators | JOAO PEDRO XAVIER FREITAS |
| Contributors | ROBERTA DE QUEIROZ LIMA, ROBERTA DE QUEIROZ LIMA, ROBERTA DE QUEIROZ LIMA, ROBERTA DE QUEIROZ LIMA |
| Publisher | MAXWELL |
| Source Sets | PUC Rio |
| Language | English |
| Detected Language | Portuguese |
| Type | TEXTO |
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