Soit f:K^n-->K^p une application semi-algébrique de classe C^2 pour K=R, ou une application polynomiale pour K=C. Il est bien connu que f est une fibration localement triviale sur le complémentaire des valeurs de bifurcation B(f). Dans ce travail nous considérons la t-régularité et la rho-régularité dans l'étude de B(f). Nous démontrons que t-régularité est équivalent aux conditions de Rabier (1997), Gaffney (1999), Kurdyka, Orro, Simon (2000) et Jelonek (2003). On démontre que t-régularité implique rho-régularité. Avec la rho-régularité, on démontre un théorème de structure pour l'ensemble des valeurs non rho-régulières S(f). On démontre aussi que B(f) est inclus dans A_{rho}, où A_{rho} est l'union de f(Sing f) et S(f). Nous étudions aussi deux classes d'applications: les applications fair et les applications Newton non-dégénérées. Pour les fair, on obtient une interprétation de la t-régularité en termes de la clôture intégrale des modules, ce que étende le résultat de Gaffney (1999). Pour les Newton non dégénérées, nous obtenons une approximation de B(f), ce qui étende le résultat de Némethi et Zaharia (1990) et celui de Chen et Tibar (2012). Dans la dernière partie, on discute quelques conséquences:1).la t-régularité pour f:X --> K^p, où X est une variété lisse; 2).le problème de bijectivité des applications; 3).une formule pour calculer la caractéristique d'Euler des fibres régulières de f: R^n-->R^{n-1}. Les résultats présentés brièvement ci-dessus généralisent aussi certains résultats de Némethi et Zaharia (1990), Siersma et Tibar (1995), Paunescu et Zaharia (1997), Parusinski (1995) et Tibar (1998). / Let f:K^n-->K^p be a C^2 semi-algebraic mapping for K=R and a polynomial mapping for K=C. It is well-known that f is a locally trivial topological fibration over the complement of the bifurcation set B(f). In this work, we consider the t-regularity and rho-regularity to study B(f). We show that t-regularity is equivalent to regularity conditions of Rabier (1997), Gaffney (1999), Kurdyka, Orro, Simon (2000) and Jelonek (2003). We prove that t-regularity implies rho-regularity. From rho-regularity, we define the set of non rho-regular values S(f), and the set A_{rho}, which is the union of f(Sing f) and S(f). We prove a structure theorem for S(f) and A_{rho}. We also obtain that B(f) is contained in A_{rho}. We study also two classes of maps, the fair maps and the Newton non-degenerate maps. For fair maps, we give an interpretation of t-regularity in terms of integral closure of modules, which is a real counterpart of Gaffney's result (1999). For non-degenerate maps, we obtain an approximation for B(f) through a set which depends on the Newton polyhedron of f (results like this have been obtained by Némethi and Zaharia (1990) and by Chen and Tibar (2012)). To finish, we discuss some consequences of our work: the t-regularity for maps f: X-->K^p, where X is a smooth affine variety; the problem of bijectivity of semi-algebraic maps; and a formula to compute the Euler characteristic of regular fibers of f:R^n-->R^{n-1}. The above results are also extensions of some results obtained, for polynomial functions f:K^n-->K, by Némethi and Zaharia (1990), Siersma and Tibar (1995), Paunescu and Zaharia (1997), Parusinski (1995) and Tibar (1998).
| Identifer | oai:union.ndltd.org:theses.fr/2013LIL10007 |
| Date | 28 February 2013 |
| Creators | Dias, Luis Renato Gonçalves |
| Contributors | Lille 1, Universidade de São Paulo (Brésil), Tibăr, Mihai-Marius, Soares Ruas, Maria Aparecida |
| Source Sets | Dépôt national des thèses électroniques françaises |
| Language | English |
| Detected Language | English |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation, Text |
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