L'objectif de ma thèse est d'étudier mathématiquement un indicateur de rupture de volatilité très utilisé par les praticiens en salle de marché. L'indicateur bandes de Bollinger appartient à la famille des méthodes dites d'analyse technique et donc repose exclusivement sur l'historique récente du cours considéré et un principe déduit des observations passées des marchés, indépendamment de tout modèle mathématique. Mon travail consiste à étudier les performances de cet indicateur dans un univers qui serait gouverné par des équations différentielles stochastiques (Black -Scholes) dont le coefficient de diffusion change sa valeur à un temps aléatoire inconnu et inobservable, pour un praticien désirant maximiser une fonction objectif (par exemple, une certaine utilité espérée de la valeur du portefeuille à une certaine maturité). Dans le cadre du modèle, l'indicateur de Bollinger peut s'interpréter comme un estimateur de l'instant de la prochaine rupture. On montre dans le cas des petites volatilités, que le comportement de la densité de l'indicateur dépend de la volatilité, ce qui permet pour un ratio de volatilité assez grand, de détecter via l'estimation de la distribution de l'indicateur dans quel régime de volatilité on se situe. Aussi, dans le cas des grandes volatilités, on montre par une approche via la transformée de Laplace, que le comportement asymptotique des queues de distribution de l'indicateur dépend de la volatilité. Ce qui permet de détecter le changement des grandes volatilités. Ensuite, on s'intéresse à une étude comparative entre l'indicateur de Bollinger et l'estimateur classique de la variation quadratique pour la détection de changement de la volatilité. Enfin, on étudie la gestion optimale de portefeuille qui est décrite par un problème stochastique non standard en ce sens que les contrôles admissibles sont contraints à être des fonctionnelles des prix observés. On résout ce problème de contrôle en s'inspirant de travaux de Pham and Jiao pour décomposer le problème initial d'allocation de portefeuille en un problème de gestion après la rupture et un problème avant la rupture, et chacun de ces problèmes est résolu par la méthode de la programmation dynamique . Ainsi, un théorème de verification est prouvé pour ce problème de contrôle stochastique. / The aim of my thesis is to study mathematically an indicator widely used by the practitioners in the trading market, and designed to detect changes in the volatility term . The Bollinger Bands indicator belongs to the family of methods known as technical analysis which consist in looking t the past price movement in order to predict its future price movements independently of any mathematical model. We study the performance of this indicator in a universe that is governed by a stochastic differential equations (Black-Scholes) such that the volatility changes at an unknown and unobservable random time, for a practitioner seeking to maximize an objective function (for instance, the expected utility of the wealth at a certain maturity). Within the framework of the model, Bollinger indicator can be interpreted as an estimator of the time at which the volatility changes its value. We show that in the case of small volatilities, the density behavior of the indicator depends on the value of the volatility, which allows that for large ratio of volatility, to detect via the distribution estimation in which regime of volatility we are. Also , for the case of large volatilities, we show by an approach via the Laplace transform that the asymptotic tails behavior of the indictor depends on the volatility value. This allows to detect a change for large volatilities. Next, we compare two indicators designed to detect a volatility change: the Bollinger bands and the quadratic variation indicators. Finally, we study the optimal portfolio allocation which is described by a non-standard stochastic problem in view of that the admissible controls need to be adapted to the filtration generated by the prices. We resolve this control problem by an approach used by Pham and Jiao to separate the initial allocation problem into an allocation problem after the rupture and an problem before the rupture, and each one of these problems is resolved by the dynamic programming method. Also, a verification theorem is proved for this stochastic control problem.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:theses.fr/2013NICE4008 |
| Date | 08 February 2013 |
| Creators | Ibrahim, Dalia |
| Contributors | Nice, Talay, Denis, Tanré, Etienne |
| Source Sets | Dépôt national des thèses électroniques françaises |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation, Text |
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