L'objectif de ma thèse est d'étudier mathématiquement un indicateur de rupture de volatilité très utilisé par les praticiens en salle de marché. L'indicateur bandes de Bollinger appartient à la famille des méthodes dites d'analyse technique et donc repose exclusivement sur l'historique récente du cours considéré et un principe déduit des observations passées des marchés, indépendamment de tout modèle mathématique. Mon travail consiste à étudier les performances de cet indicateur dans un univers qui serait gouverné par des équations différentielles stochastiques (Black -Scholes) dont le coefficient de diffusion change sa valeur à un temps aléatoire inconnu et inobservable, pour un praticien désirant maximiser une fonction objectif (par exemple, une certaine utilité espérée de la valeur du portefeuille à une certaine maturité). Dans le cadre du modèle, l'indicateur de Bollinger peut s'interpréter comme un estimateur de l'instant de la prochaine rupture. On montre dans le cas des petites volatilités, que le comportement de la densité de l'indicateur dépend de la volatilité, ce qui permet pour un ratio de volatilité assez grand, de détecter via l'estimation de la distribution de l'indicateur dans quel régime de volatilité on se situe. Aussi, dans le cas des grandes volatilités, on montre par une approche via la transformée de Laplace, que le comportement asymptotique des queues de distribution de l'indicateur dépend de la volatilité. Ce qui permet de détecter le changement des grandes volatilités. Ensuite, on s'intéresse à une étude comparative entre l'indicateur de Bollinger et l'estimateur classique de la variation quadratique pour la détection de changement de la volatilité. Enfin, on étudie la gestion optimale de portefeuille qui est décrite par un problème stochastique non standard en ce sens que les contrôles admissibles sont contraints à être des fonctionnelles des prix observés. On résout ce problème de contrôle en s'inspirant de travaux de Pham and Jiao pour décomposer le problème initial d'allocation de portefeuille en un problème de gestion après la rupture et un problème avant la rupture, et chacun de ces problèmes est résolu par la méthode de la programmation dynamique . Ainsi, un théorème de verification est prouvé pour ce problème de contrôle stochastique. / The aim of my thesis is to study mathematically an indicator widely used by the practitioners in the trading market, and designed to detect changes in the volatility term . The Bollinger Bands indicator belongs to the family of methods known as technical analysis which consist in looking t the past price movement in order to predict its future price movements independently of any mathematical model. We study the performance of this indicator in a universe that is governed by a stochastic differential equations (Black-Scholes) such that the volatility changes at an unknown and unobservable random time, for a practitioner seeking to maximize an objective function (for instance, the expected utility of the wealth at a certain maturity). Within the framework of the model, Bollinger indicator can be interpreted as an estimator of the time at which the volatility changes its value. We show that in the case of small volatilities, the density behavior of the indicator depends on the value of the volatility, which allows that for large ratio of volatility, to detect via the distribution estimation in which regime of volatility we are. Also , for the case of large volatilities, we show by an approach via the Laplace transform that the asymptotic tails behavior of the indictor depends on the volatility value. This allows to detect a change for large volatilities. Next, we compare two indicators designed to detect a volatility change: the Bollinger bands and the quadratic variation indicators. Finally, we study the optimal portfolio allocation which is described by a non-standard stochastic problem in view of that the admissible controls need to be adapted to the filtration generated by the prices. We resolve this control problem by an approach used by Pham and Jiao to separate the initial allocation problem into an allocation problem after the rupture and an problem before the rupture, and each one of these problems is resolved by the dynamic programming method. Also, a verification theorem is proved for this stochastic control problem.

Dans le cadre de ma thèse, je me suis intéressée à analyser mathématiquement un indicateur de rupture de volatilité très utilisé par les praticiens en salle de marché. L'indicateur Bandes de Bollinger appartient à la famille des méthodes dites d'analyse technique et donc repose exclusivement sur l'historique récente du cours considéré et un principe déduit des observations passées des marchés, indépendamment de tout modèle mathématique. Mon travail consiste à étudier les performances de cet indicateur dans un univers qui serait gouverné par des équations différentielles stochastiques (Black -Scholes) dont le coefficient de diffusion change sa valeur à un temps aléatoire inconnu et inobservable, pour un praticien désirant maximiser une fonction objectif (par exemple, une certaine utilité espérée de la valeur du portefeuille à une certaine maturité).

Cette thèse proposée utilise les ondelettes de Haar à créer de nouveaux indicateurs techniques, d’en évaluer leurs performances afin de tester la validité de l’efficience faible des marchés financiers. L’approche choisie vise à mettre en œuvre les capacités des indicateurs techniques à capter la mémoire longue présente dans les indices boursiers américains et européens à travers l’estimation de la tendance par le processus de lissage. De plus, cette dernière est une composante importante dans les séries économiques et financières. En effet, elle a fait l’objet d’innombrables investigations tant en analyse technique, qu’en traitement du signal et dans la théorie des cycles économiques. Toutefois, sa présence n’entre pas en ligne de compte dans la théorie classique de la finance, car les principaux modèles utilisés se focalisent sur les variations des cours boursiers. À cet effet, la tendance constitue une source de non-stationnarité entraînant des difficultés majeures pour la modélisation économétrique ou financière. Exploiter cette tendance s’affranchit, dans ce cas, des hypothèses de non-stationnarité tendancielle ou de racine unitaire. En plus, à l’issue des résultats que nous avons obtenus à partir du modèle à changement de régime. Nous confirmons qu’il est possible d’exploiter la présence de mémoire longue dans les cours, et également de battre le marché en présence de coûts de transactions sur les marchés américains et européens. / This proposed thesis uses the Haar wavelets to create new technical indicators, to evaluate their performance in order to test the validity of the weak form of efficient market hypothesis. The chosen approach aims to implement the capabilities of technical indicators to capture the long memory present in the US and European stock indices through the estimation of the trend by the smoothing process. Moreover, the trend is an important component in the economic and financial series. Indeed, it has been the subject of innumerable investigations in technical analysis, in signal processing and in the theory business cycle theory. However, its presence is not taken into account in the classic theory of finance because the main models used focus on changes in stock prices. For this purpose, the trend constitutes a source of non-stationarity leading to major difficulties for econometric or financial modeling. Exploit trend is freed, in this case, from the hypotheses of tendancy or unit root. In addition, the issue of the results we obtained from the regime change model. We confirm that it is possible to exploit the presence of long memory in the series, and also to beat the market in the presence of transaction costs on the American and European markets.

L’objectif principal de cette thèse est d’apporter de nouveaux résultats théoriques concernant la performance d’investissements basés sur des modèles stochastiques. Pour ce faire, nous considérons la stratégie optimale d’investissement dans le cadre d’un modèle d’actif risqué à volatilité constante et dont la tendance est un processus caché d’Ornstein Uhlenbeck. Dans le premier chapitre,nous présentons le contexte et les objectifs de cette étude. Nous présentons, également, les différentes méthodes utilisées, ainsi que les principaux résultats obtenus. Dans le second chapitre, nous nous intéressons à la faisabilité de la calibration de la tendance. Nous répondons à cette question avec des résultats analytiques et des simulations numériques. Nous clôturons ce chapitre en quantifiant également l’impact d’une erreur de calibration sur l’estimation de la tendance et nous exploitons les résultats pour détecter son signe. Dans le troisième chapitre, nous supposons que l’agent est capable de bien calibrer la tendance et nous étudions l’impact qu’a la non-observabilité de la tendance sur la performance de la stratégie optimale. Pour cela, nous considérons le cas d’une utilité logarithmique et d’une tendance observée ou non. Dans chacun des deux cas, nous explicitons la limite asymptotique de l’espérance et la variance du rendement logarithmique en fonction du ratio signal-sur-bruit et de la vitesse de retour à la moyenne de la tendance. Nous concluons cette étude en montrant que le ratio de Sharpe asymptotique de la stratégie optimale avec observations partielles ne peut dépasser 2/(3^1.5)∗100% du ratio de Sharpe asymptotique de la stratégie optimale avec informations complètes. Le quatrième chapitre étudie la robustesse de la stratégie optimale avec une erreur de calibration et compare sa performance à une stratégie d’analyse technique. Pour y parvenir, nous caractérisons, de façon analytique,l’espérance asymptotique du rendement logarithmique de chacune de ces deux stratégies. Nous montrons, grâce à nos résultats théoriques et à des simulations numériques, qu’une stratégie d’analyse technique est plus robuste que la stratégie optimale mal calibrée. / The aim of this thesis is to study the robustness of the optimal trading strategy. The setting we consider is that of a stochastic asset price model where the trend follows an unobservable Ornstein-Uhlenbeck process. In the first chapter, the background and the objectives of this study are presented along with the different methods used and the main results obtained. The question addressed in the second chapter is the estimation of the trend of a financial asset, and the impact of misspecification. Motivated by the use of Kalman filtering as a forecasting tool, we study the problem of parameters estimation, and measure the effect of parameters misspecification. Numerical examples illustrate the difficulty of trend forecasting in financial time series. The question addressed in the third chapter is the performance of the optimal strategy,and the impact of partial information. We focus on the optimal strategy with a logarithmic utility function under full or partial information. For both cases, we provide the asymptotic expectation and variance of the logarithmic return as functions of the signal-to-noise ratio and of the trend mean reversion speed. Finally, we compare the asymptotic Sharpe ratios of these strategies in order to quantify the loss of performance due to partial information. The aim of the fourth chapter is to compare the performances of the optimal strategy under parameters mis-specification and of a technical analysis trading strategy. For both strategies, we provide the asymptotic expectation of the logarithmic return as functions of the model parameters. Finally, numerical examples find that an investment strategy using the cross moving averages rule is more robust than the optimal strategy under parameters misspecification.

Le but de cette thèse est de construire un modèle de détection des changements de phase -passages de marché haussier à baissier et vice versa - du marché des actions américaines cotées, en utilisant un nombre relativement important de variables à la fois fondamentales (macroéconomiques et microéconomiques) et issues de l’analyse technique.Le modèle statistique retenu est la régression logistique statique, avec un retard pour les variables explicatives allant de zéro à trois mois. Les huit variables les plus significatives parmi vingt candidatesont été sélectionnées à partir des données mensuelles du S&P500 sur la période 1963-2003. Le modèle obtenu a été testé sur 2004-2013 et sa performance a été supérieure à celles de la stratégie Buy & Holdet d’un modèle univarié utilisant la variable ayant le plus fort pouvoir de détection - ce dernier modèle ayant fait l’objet d’une étude dans la littérature.Il a également été montré que des variables non encore considérées dans la littérature - la moyenne mobile sur les six derniers mois des créations nettes d’emplois non-agricoles, la base monétaire et le Composite Leading Indicator de l’OCDE - ont un pouvoir de détection significatif pour notre problématique. D'autre part, la variable binaire indiquant la position du S&P500 par rapport à sa moyenne mobile des dix derniers mois - variable de type analyse technique - a un pouvoir prédictif beaucoup plus élevé que les variables fondamentales étudiées. Enfin, les deux autres variables les plus statistiquement significatives sont macroéconomiques : l'écart entre les taux à dix ans des T-bonds et à trois mois des T-bills et la moyenne mobile des créations d’emplois non-agricoles. / The goal of this thesis is to build a model capable of detecting the reversals - shift from bull market to bear market or vice versa - of the American stock market, by using a relatively large number of explanatory variables, both of fundamental (macroeconomic and microeconomic) and of ‘technical analysis’ types.The statistical model used is static logistic regression, with lags for the independent variables ranging from zero to three months. Starting with twenty variables, the eight most significant ones have been selected on a training set consisting of monthly data of the S&P500 between 1963 and 2003. There sulting model has been tested over the 2004-2013 period and its performance was better than those of a buy & hold strategy and of a univariate model based on the variable with the highest predictive power – the latter model being the focus of a paper in the current literature. Another contribution of the thesis is that some variables not yet studied in the literature – the six month moving average of net non-farm job creations, the monetary base and the OECD Composite Leading Indicator – are statistically significant for our problem. Moreover, the predictive power of the binary variable indicating whether the S&P500 is above or below its ten-month moving average – a technical analysis variable – is much higher than that of the fundamental variables which have been considered. Finally, the two other most significant variables are macroeconomic ones: the spread between the ten-year T-bond and three-month T-bill rates and the moving average of non-farm jobs creations.