Ce mémoire traite de l’harmonicitié d’instruments de musique à travers la géométrie
spectrale. Nous y présentons, en premier lieu, les résultats connus concernant la corde de
guitare, le tambour circulaire et puis le tabla ; le premier est harmonique, le deuxième ne
l’est pas et puis le dernier s’en approche. Le cas de la timbale est ce qui constitue la majeure
partie de notre travail. L’ingénieur-physicien Robert E. Davis en avait déjà étudié la
quasi-harmonicité et nous faisons ici une relecture mathématique de sa démarche. En alliant
les méthodes analytiques et numériques, nous montrons que la caisse de résonance de la
timbale permet à la fois d’ajuster les fréquences de vibration de la forme ω_(i1) , avec 1 ≤ i ≤ 5,
afin qu’elles s’approchent du rapport idéal 2 : 3 : 4 : 5 : 6, et elle permet aussi d’étouffer
certains autres modes dissonants. Pour ce faire, nous élaborons un modèle simplifié de timbale
cylindrique basé sur la physique et sur ce que propose Davis dans sa thèse. Ce modèle nous
fournit un système d’équations divisé en trois parties : la vibration de la peau et la pression
à l’intérieur et à l’extérieur de la timbale. Nous utilisons la méthode des fonctions de Green
pour trouver les expressions des deux pressions. Nous nous servons de celles-ci ainsi que
d’un développement en série de Fourier-Bessel modifiée pour résoudre les équations de la
vibration de la peau. La résolution de ces équations se ramène finalement à celle d’un système
matriciel infini dont nous faisons l’analyse numériquement. À l’aide de Mathématica et de
ce système matriciel, nous trouvons les fréquences de vibration de la timbale, ce qui nous
permet d’analyser l’harmonicité de l’instrument. Grâce à une mesure de dissonance, nous
optimisons l’harmonicité de la timbale en fonction du rayon du cylindre, de sa hauteur et de
la tension. / This thesis deals with the harmonicity of musical instruments through spectral geometry.
First, we present the known results concerning the guitar string, the circular drum and the
tabla ; the first is harmonic, the second is not, and the last is somewhere in between. The
case of the timpani constitutes the major part of our work. The physicist-engineer Robert
E. Davis had already studied its quasi-harmonicity and here we undergo a mathematical
proofreading of his approach. By combining analytical and numerical methods, we show that
the sound box of the timpani allows an adjustement of the vibration frequencies of the form
ω_(i1) , with 1 ≤ i ≤ 5, so that they get close to the ideal 2 : 3 : 4 : 5 : 6 ratio, while it also
stifles some other dissonant modes. To do so, we develop a simplified model of a cylindrical
timpani based on physics and on what Davis suggests in his thesis. This model provides a
system of equations divided into three parts : the vibration of the skin and the pressure inside
and outside the timpani. We use the method of Green’s functions to find the expressions of
the pressures. We use these together with a modified Fourier-Bessel series development to
solve the equations of the vibration of the skin. In the end, the solving of these equations is
reduced to an infinite matrix system that we analyze numerically. Using Mathematica and
this matrix system, we find the vibrational frequencies of the timpani, which allows us to
analyze the harmonicity of the instrument. Thanks to a measure of dissonance, we optimize
the harmonicity of different timpani models with different cylinder radii, heights and tensions.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:umontreal.ca/oai:papyrus.bib.umontreal.ca:1866/23793 |
| Date | 08 1900 |
| Creators | Bentz-Moffet, Rosalie |
| Contributors | Polterovich, Iosif |
| Source Sets | Université de Montréal |
| Language | fra |
| Detected Language | French |
| Type | Thèse ou mémoire / Thesis or Dissertation |
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