El volumen que aquí presentamos esta organizado en 6 capítulos. En el primero se
describen resultados conocidos que facilitar´an la lectura de la tesis, el mismo no tiene
pretenciones de originalidad.
El Capítulo II está organizado en siete secciones. Comenzamos señalando las motivaciones
para el estudio de operadores simétricos en las álgebras de De Morgan pseudocomplementadas
modales, a las que denominamos S-álgebras. Posteriormente, determinamos
las álgebras generadoras de esta variedad y mostramos que es semisimple. A continuación,
estudiamos las álgebras finitas y finitamente generadas lo que nos permitió afirmar que
es una variedad localmente finita. También determinamos la estructura de las S-álgebras
libres con n, (n < !) generadores libres y exhibimos el número de elementos de la misma
en función del número de generadores. Completamos el capítulo determinando las condiciones
necesarias y suficientes para la existencia de epimorfismos entre S-álgebras finitas.
Para ello, debimos realizar un estudio minucioso del espectro primo de las S-álgebras,
en particular, probamos que el mismo se puede descomponer como una suma cardinal
especial. A partir de estos resultados contabilizamos el número de epimorfimos que es
posible definir entre álgebras finitas y mostramos dicho número en casos particulares como
las mpM-álgebras, las álgebras de Lukasiewicz-Moisil de orden 3 y las álgebras de Boole.
Finalizamos el capítulo describiendo el retículo de las subvariedades de la variedad de las
S-álgebras.
En el Capítulo III, introducimos y estudiamos las mpM-´algebras enriquecidas con un
automorfismo de periodo k, donde k 2 IN, k 2 a las que llamamos Ck-álgebras. Los resultados
de este capítulo son la generalización natural de los obtenidos en el capítulo anterior
para de las S-álgebras, que son el caso k = 2. Comenzamos presentando las propiedades
m´as importantes de esta nueva estructura. Posteriormente, establecemos una correspondencia
entre conguencias y c-filtros, (i.e.: ciertos filtros especiales del álgebra) lo que
permite determinar la familia de ultrafiltros asociada a cada c-filtro maxinal. Por otra
parte, determinamos las condiciones necesarias y suficientes para que una congruencia
sea maximal, lo que fue posible considerando una nueva operaci´on binaria, la implicación
cíclica, y caracterizando a las congruencias por medio de los sistemas deductivos asociados
a está implicación. Además, las propiedades que verifica esta implicación nos permitió
mostrar que la variedad de las Ck-álgebras es semisimple. Por otra parte, estudiando el
espectro primo de una Ck-álgebra y utilizando técnicas diferentes al caso k = 2, ya que la
estructura de las Ck-álgebras es mucho más complejo que de las S-álgebras, determinamos
las álgebras generadoras de la variedad. También, mostramos que la variedad es finitamente
generada y localmente finita. Por último, determinamos el cardinal de la Ck-álgebra
libre con un conjunto de n (n < !) generadores libres en funci´on de los parámetros k y n
y verificamos este resultado para los casos k = 1 y k = 2 mostrando que ellos coninciden
con los ya obtenidos en [61] y en el Capítulo II de esta tesis, respectivamente.
En el Capítulo IV, definimos las mpM-álgebras monádicas (o M-álgebras). A cada
álgebra de esta nueva clase ecuacional, la tratamos como un par formado por una mpM-
álgebra y un cuantificador existencial. En primer lugar, exhibimos propiedades y mostramos
la relación existente entre estas álgebras y otras estructuras conocidas. Además, a partir
de una familia especial de sub´algebras de una mpM-álgebra determinamos como obtener
todos los cuantificadores que la transforman en unaM-álgebra. A continuación, iniciamos
un estudio topológico de las mismas, asociando a cada M-álgebra un espacio compacto,
Hausdorff y totalmente disconexo en el orden, enriquecido con una relación de equivalencia,
al estilo de las dualidades de Halmos-Priestley. Esta primera representación nos
permitió realizar un estudio exhaustivo de las congruencias. En particular, mostramos
que existe un isomorfismo entre el retículo de ciertos subconjuntos abiertos, cerrados e
involutivos del espacio asociado a una M-álgebra y el retículo de las M−congruencias
principales de la misma. Además, probamos que las congruencias principales y booleanas
coinciden y en el caso finito determinamos su cardinal. Luego, mostramos que las congruencias
principales quedan también determinadas por ciertos filtros especiales del álgebra,
completando el estudio de las mismas. Finalmente, terminamos el capíıtulo señalando
que, a diferencia de lo que ocurre en otras clases de álgebras, aquí, no siempre, es posible
definir la estructura monádica partir de la k-cíclica.
En el Capítulo V, continuamos el estudio de las M-álgebras y presentamos una segunda
representación topológica la que nos permitió determinar las álgebras generadoras
(finitas o infinitas) de la variedad. Primeramente, profundizamos el estudio del espectro
primo de lasM-álgebras, lo que nos permitió obtener una nueva representación topológica
para estas álgebras considerando la categoría de los sm-espacios y las sm-funciones. Dicha
dualidad cuenta con la ventaja de brindar más información que la primera, sobre el efecto
de la relación de equivalencia en el espacio. Por otro lado, probamos que las condiciones
que se le piden a los q-espacios (ver [9]) resultan adecuadas para que el espacio cociente
sea un espacio de Priestley con la topología de identificación y que la proyección canónica
sea una función continua que preserva el orden. Además, mostramos que este resultado
se tralada a las espacios de De Morgan monádicos ([62, p.84]) y a los sm-espacios, lo
que es fundamental para el estudio subsiguiente. Por otra parte, utilizamos conceptos de
topología general tales como convergencia y acomulación de redes (suceciones de Moore-
Smith) y el teorema de extensión de funciones continuas para espacios T3, entre otros,
para determinar las M-álgebras generadoras de cardinalidad arbitraria. Finalmente, teniendo
en cuenta algunos de los resultados precedentes, analizamos la relación entre las
álgebras de De Morgan monádicas ([62]) y las álgebras tetravalentes modales monádicas
([74]). En particular, probamos que toda álgebra tetravalente modal equipada con un
cuantificador especial es álgebras de De Morgan monádicas una simple. Luego, estamos
en condiciones de decir que el retículo de las subvariedades de álgebras de De Morgan
monádicas es mucho más complejo que el retículo de las subvariedades de los Q-retículos
distributivos acotados introducidos por Cignoli en [9].
Finalmente, en el Capítulo VI introducimos las MV -álgebras con dos cuantificadores
que conmutan las cuales, como ya dijimos, son una generalización natural de las álgebras
cilíndricas de dimensión dos libre de elementos diagonales. El tramtamiento de estas
álgebras esta dado en términos de implicación y negación. Este hecho nos permite simplificar
los resultados establecidos por Di Nola y Grigolia [18] en cuanto a la caracterización de los cuantificadores por medio de subálgebras relativamente completas especiales.
Además, probamos que esta nueva variedad tiene la propiedad de extensión de congruencias
y que es a congruencias distributivas. Por otra parte, desarollamos una dualidad
topológica para estas álgebras y como aplicación de la misma, caracterizamos a las congruencias
por medio de ciertos subconjuntos cerrados del espacio asociado a un álgebra.
Además, estudiamos la variedad generada por cadenas de longitud n + 1 (n < !)y, entre
otras resultados, probamos que se trata de una subvariedad semisimple y caracterizamos
sus miembros subdirectamente irreducibles. Finalmente, a partir de un álgebra funcional
especial determinamos un conjunto importante de las álgebras simples y exhibimos la
totalidad de ellas en el caso finito. / This volume is organized in six chapters. In Chapter I all the results presented are
well-known, but they were included either to facilitate the reading or to fix the notations
needed throughout the remainder chapters and it has no pretensions of originality.
Chapter II is organized in seven sections. We start pointing out the motivations for
the study of symmetric operators in modal pseudocomplemented De Morgan algebras,
which we called S-algebras. Subsequently, we determine the generating algebras of this
variety and we show that it is semisimple. Furthermore, we study the finite and the
finitely generated S-algebras which allows us to assert that this variety is locally finite.
We also determine the structure of the free S-algebras with n (n < !) free generators
and we exhibit a formula to calculate the cardinal number of these algebras in terms
of the number of its free generators. On the other hand, we establish necessary and
sufficient conditions for the existence of epimorphisms between finite S-algebras. To do
this, we make a thorough study of the prime spectrum of the S-algebras. In particular,
we prove that it can be decomposed as a special cardinal sum. From these results we
compute the number of epimorphims which can be defined between finite algebras. In
addition, we show that number in the particular cases of mpM-algebras, Lukasiewicz-
Moisil algebras of order 3 and Boolean algebras. We conclude the chapter describing the
lattice of subvarieties of the variety of the S–algebras.
In Chapter III, we introduce and study the mpM-algebras enriched with an automorphism
of period k, where k 2 IN, k 2. We called them Ck-algebras. The results of
this chapter are a natural generalization of those obtained in the previous chapter for S-
algebras, because they are Ck-algebras when k = 2. First, we present the most important
properties of this new structure. Then, we establish a correspondence between the family
of congruences and the family of c-filters (ie: certain special filters of the algebra) which
allows us to determine a family of ultrafilters associated with each maxinal c-filter. Moreover,
we determine necessary and sufficient conditions for a congruence to be a maximal
one. This result follows by considering a new binary operation called cyclical implication
and characterizing the congruences by means of the deductive systems associated with
this implication. In addition, the properties verified by this implication allow us to show
that the variety of Ck-algebras is semisimple. On the other hand, we determine the algebras
which generate this variety by applying different techniques of the ones used when
k = 2 because the structure of Ck-algebras is much more complex than the S-algebras.
Besides, we prove that the variety of Ck-algebras is finitely generated and locally finite.
Finally, we obtain the cardinal number of the free Ck-algebra with a set of n (n < !) free
generators in terms of the parameters k and n and we also verify this result for the case
k = 1 and k = 2, showing that they coincide with those already obtained in [61] and in
Chapter II of this thesis, respectively.
Chapter IV is devoted to monadic mpM-algebras (or M-algebras). Each algebra of
this new variety is considered as a pair consisting of an mpM-algebra and an existential
quantifier. First, we obtain some properties and show the relationship between these
algebras and others well-known structures. Moreover, from a special family of subalgebras
of an mpM-algebra we determine how to get all the quantifiers that transform it into an
M-algebra. Next, we started a topological study of this variety associating to each M-
algebra a compact, Hausdorff and totally order-disconnected topological space enriched
with an equivalence relation, such as the Halmos-Priestley’s dualities. This first duality
allowed us to do an extensive study of the congruences. In particular, we show that there
is an isomorphism between the lattice of certain open, closed and involutive subsets of
the associated space of an M-algebra and the lattice of the principal M-congruences of
it. Furthermore, we prove that the principal and Boolean congruences coincide and we
calculate the number of them in the case of finite algebras. Besides, we show that the
principal congruences are also determined by certain special filters of the algebra. Thus
the study of the congruences is completed. Finally, we ended the chapter by noting that,
unlike what happens in other classes of algebras, here it is not always possible to define
the monadic structure from the k-cycle one.
In Chapter V, we continue the study of the M-algebras and we present a second
topological representation which allowed us to determine the generating algebras (finite
or infinite) of this variety. First, we go in depth in the study of the prime spectrum of
the M-algebras, in order to obtain a new topological representation for these algebras
considering the category of the sm-spaces and the sm-functions. This duality has the
advantage of providing more information than the first on the effect of the equivalence
relation in the space. On the other hand, we prove that the conditions that verify the
q-spaces (see [9]) are suitable for the quotient space to be a Priestley space with the
identification topology, and for the canonical projection to be a continuous function that
preserves the order. Moreover, we show that this result is transferred to the monadic De
Morgan spaces ([62, p.84]) and to the sm-spaces, which is fundamental for subsequent
study. Furthermore, we use among others, general topological concepts as the convergence
and accumulation for nets (Moore-Smith sequences) and the extension theorem for the
continuous functions in T3-spaces, in order to determine the M-algebras of an arbitrary
cardinality which generates this variety. Finally, taking into account some of the previous
results, we analyzed the relationship between monadic De Morgan algebras ([62]) and
monadic tetravalent modal algebras ([74]). In particular, we prove that all tetravalent
modal algebra with a special quantifier is a simple monadic De Morgan algebra. Hence,
we can assert that the lattice of the subvarieties of monadic De Morgan algebras is much
more complex than the lattice of the subvarieties of Q-distributive lattices introduced by
Cignoli in [9].
Finally, in Chapter VI we introduce the MV -algebras with two quantifiers which commute.
These algebras are a natural generalization of cylindric algebras of dimension two
free of diagonal elements. The study of them is done in terms of implication and negation.
This fact allows us to simplify the results established by Di Nola and Grigolia ([18]) with
respect to the characterization of quantifiers by means of special relatively complete subalgebras.
Besides, we prove that this new variety has the congruence extension property
and distributive congruences. Furthermore, we develop a topological duality for these
algebras which allows us to characterize the congruences by means of certain closed subsets
of the space associated with them. In addition, we study the variety generated by
chains of length n + 1 (n < !) and, among other results, we prove that it is a semisimple
subvariety and we characterize their subdirectely irreducible members. Finally, from a
special functional algebra we determine an important set of simple algebras and we show
all of them in the finite case.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:uns.edu.ar/oai:repositorio.bc.uns.edu.ar:123456789/2363 |
| Date | 11 December 2014 |
| Creators | Figallo Orellano, Aldo |
| Contributors | Ziliani, Alicia N. |
| Publisher | Universidad Nacional del Sur |
| Source Sets | Universidad Nacional del Sur |
| Language | Spanish |
| Detected Language | Spanish |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation, Text |
| Rights | 2 |
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