En esta tesis estudiamos una variedad particular de semirretículos con un concepto de distributividad. Dichas estructuras fueron estudiadas por Cornish y Hickman en [29] y [35], donde en este último artículo Hickman las llama supremo álgebras distributivas. Otros autores han llamado a éstas álgebras de diferentes maneras. A lo largo de esta memoria, y para mayor simplicidad, las llamaremos DN-álgebras. Nuestro primer objetivo es obtener una representación topológica a través de ciertos espacios sober con una base distinguida de subconjuntos abiertos, compactos y dualmente compactos satisfaciendo una condición adicional. A dichos espacios los hemos llamados DN-espacios. Extendemos esta representación a una dualidad probando que la categoría cuyos objetos son DN-álgebras y morfismos V-semi-homomorfismos es dualmente equivalente a la categoría que tiene como objetos DN-espacios y como morfismos ciertas relaciones binarias. También extendemos esta dualidad a la categoría de las DN-álgebras con homomorfismos. Nuestro segundo objetivo es aplicar dicha dualidad para interpretar topológicamente algunos conceptos algebraicos. Caracterizamos los homomorfiosmos inyectivos y sobreyectivos, los retículos de los filtros, filtros finitamente generados, subálgebras y congruencias. También desarrollamos un nuevo enfoque sobre la existencia de la extensión libre de una DN-álgebra sobre la variedad de los retículos distributivos acotados. Siguiendo la representación dual de los homomorfismos sobreyectivos, presentamos una caracterización de las imágenes homomorfas de una DN-álgebra a través de ciertas familias de subconjuntos saturados básicos irreducibles de su espacio dual dotadas de la menor topología Vietoris. Por otro lado, introducimos una definición alternativa de aniquilador relativo y presentamos algunas nuevas equivalencias de la distributividad. Definimos las clases de las DN-álgebras normales y DN-álgebras p-lineales y estudiamos sus estructuras en término de aniquiladores. Por último, analizamos una clase particular de función entre DN-álgebras para luego estudiar la clase de las DN-álgebras dotadas con un operador modal de necesidad. Obtenemos una representación y dualidad topológica y mostramos algunas aplicaciones. / In this thesis we study a particular variety of semilattices with a concept of distributivity. Such structures were studied by Cornish and Hickman in [29] and [35], in this last article Hickman called them distributive join algebras. Others authors have called these algebras in different ways. Throughout this report, and for simplicity, we will call them DN-algebras. Our first objective is to obtain a topological representation through certain sober spaces with distinguished open, compact and dually compact subsets satisfying an additional condition. We have named these spaces DN-spaces. We extend this representation to a duality proving that the category whose objects are DN-algebras and whose morphisms are _-semi-homomorphisms is dually equivalent to the category whose objects are DN-spaces and whose morphisms are certain binary relations. We also extend this duality to the category of DN-algebras with homomorphisms. Our second objective is to apply this duality to topologically interpreting some algebraic concepts. We characterize injective and surjective homomorphisms, the lattices of filters, fionitely generated filters, subalgebras and congruences. We also develop a new approach to the existence of the free extension of a DN-algebra on the variety of bounded distributive lattices. Following the dual representation of surjective homomorphisms, we present a characterization of homomorphic images of a DN-algebra through certain families of irreducible basic saturated subsets from its dual space which have been equipped with the lower Vietoris topology. On the other hand, we introduce an alternative definition of relative annihilator and we present some new equivalences of the distributivity. We define the classes of normal DN-algebras and p-linear DN-algebras and we study their structures in terms of annihilators. Finally, we analyze a particular kind of function between DN-algebras and then we study the class of DN-algebras equipped with a modal operator of necessity. We get a representation and a topological duality and show some applications.

El volumen que aquí presentamos esta organizado en 6 capítulos. En el primero se describen resultados conocidos que facilitar´an la lectura de la tesis, el mismo no tiene pretenciones de originalidad. El Capítulo II está organizado en siete secciones. Comenzamos señalando las motivaciones para el estudio de operadores simétricos en las álgebras de De Morgan pseudocomplementadas modales, a las que denominamos S-álgebras. Posteriormente, determinamos las álgebras generadoras de esta variedad y mostramos que es semisimple. A continuación, estudiamos las álgebras finitas y finitamente generadas lo que nos permitió afirmar que es una variedad localmente finita. También determinamos la estructura de las S-álgebras libres con n, (n < !) generadores libres y exhibimos el número de elementos de la misma en función del número de generadores. Completamos el capítulo determinando las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de epimorfismos entre S-álgebras finitas. Para ello, debimos realizar un estudio minucioso del espectro primo de las S-álgebras, en particular, probamos que el mismo se puede descomponer como una suma cardinal especial. A partir de estos resultados contabilizamos el número de epimorfimos que es posible definir entre álgebras finitas y mostramos dicho número en casos particulares como las mpM-álgebras, las álgebras de Lukasiewicz-Moisil de orden 3 y las álgebras de Boole. Finalizamos el capítulo describiendo el retículo de las subvariedades de la variedad de las S-álgebras. En el Capítulo III, introducimos y estudiamos las mpM-´algebras enriquecidas con un automorfismo de periodo k, donde k 2 IN, k 2 a las que llamamos Ck-álgebras. Los resultados de este capítulo son la generalización natural de los obtenidos en el capítulo anterior para de las S-álgebras, que son el caso k = 2. Comenzamos presentando las propiedades m´as importantes de esta nueva estructura. Posteriormente, establecemos una correspondencia entre conguencias y c-filtros, (i.e.: ciertos filtros especiales del álgebra) lo que permite determinar la familia de ultrafiltros asociada a cada c-filtro maxinal. Por otra parte, determinamos las condiciones necesarias y suficientes para que una congruencia sea maximal, lo que fue posible considerando una nueva operaci´on binaria, la implicación cíclica, y caracterizando a las congruencias por medio de los sistemas deductivos asociados a está implicación. Además, las propiedades que verifica esta implicación nos permitió mostrar que la variedad de las Ck-álgebras es semisimple. Por otra parte, estudiando el espectro primo de una Ck-álgebra y utilizando técnicas diferentes al caso k = 2, ya que la estructura de las Ck-álgebras es mucho más complejo que de las S-álgebras, determinamos las álgebras generadoras de la variedad. También, mostramos que la variedad es finitamente generada y localmente finita. Por último, determinamos el cardinal de la Ck-álgebra libre con un conjunto de n (n < !) generadores libres en funci´on de los parámetros k y n y verificamos este resultado para los casos k = 1 y k = 2 mostrando que ellos coninciden con los ya obtenidos en [61] y en el Capítulo II de esta tesis, respectivamente. En el Capítulo IV, definimos las mpM-álgebras monádicas (o M-álgebras). A cada álgebra de esta nueva clase ecuacional, la tratamos como un par formado por una mpM- álgebra y un cuantificador existencial. En primer lugar, exhibimos propiedades y mostramos la relación existente entre estas álgebras y otras estructuras conocidas. Además, a partir de una familia especial de sub´algebras de una mpM-álgebra determinamos como obtener todos los cuantificadores que la transforman en unaM-álgebra. A continuación, iniciamos un estudio topológico de las mismas, asociando a cada M-álgebra un espacio compacto, Hausdorff y totalmente disconexo en el orden, enriquecido con una relación de equivalencia, al estilo de las dualidades de Halmos-Priestley. Esta primera representación nos permitió realizar un estudio exhaustivo de las congruencias. En particular, mostramos que existe un isomorfismo entre el retículo de ciertos subconjuntos abiertos, cerrados e involutivos del espacio asociado a una M-álgebra y el retículo de las M−congruencias principales de la misma. Además, probamos que las congruencias principales y booleanas coinciden y en el caso finito determinamos su cardinal. Luego, mostramos que las congruencias principales quedan también determinadas por ciertos filtros especiales del álgebra, completando el estudio de las mismas. Finalmente, terminamos el capíıtulo señalando que, a diferencia de lo que ocurre en otras clases de álgebras, aquí, no siempre, es posible definir la estructura monádica partir de la k-cíclica. En el Capítulo V, continuamos el estudio de las M-álgebras y presentamos una segunda representación topológica la que nos permitió determinar las álgebras generadoras (finitas o infinitas) de la variedad. Primeramente, profundizamos el estudio del espectro primo de lasM-álgebras, lo que nos permitió obtener una nueva representación topológica para estas álgebras considerando la categoría de los sm-espacios y las sm-funciones. Dicha dualidad cuenta con la ventaja de brindar más información que la primera, sobre el efecto de la relación de equivalencia en el espacio. Por otro lado, probamos que las condiciones que se le piden a los q-espacios (ver [9]) resultan adecuadas para que el espacio cociente sea un espacio de Priestley con la topología de identificación y que la proyección canónica sea una función continua que preserva el orden. Además, mostramos que este resultado se tralada a las espacios de De Morgan monádicos ([62, p.84]) y a los sm-espacios, lo que es fundamental para el estudio subsiguiente. Por otra parte, utilizamos conceptos de topología general tales como convergencia y acomulación de redes (suceciones de Moore- Smith) y el teorema de extensión de funciones continuas para espacios T3, entre otros, para determinar las M-álgebras generadoras de cardinalidad arbitraria. Finalmente, teniendo en cuenta algunos de los resultados precedentes, analizamos la relación entre las álgebras de De Morgan monádicas ([62]) y las álgebras tetravalentes modales monádicas ([74]). En particular, probamos que toda álgebra tetravalente modal equipada con un cuantificador especial es álgebras de De Morgan monádicas una simple. Luego, estamos en condiciones de decir que el retículo de las subvariedades de álgebras de De Morgan monádicas es mucho más complejo que el retículo de las subvariedades de los Q-retículos distributivos acotados introducidos por Cignoli en [9]. Finalmente, en el Capítulo VI introducimos las MV -álgebras con dos cuantificadores que conmutan las cuales, como ya dijimos, son una generalización natural de las álgebras cilíndricas de dimensión dos libre de elementos diagonales. El tramtamiento de estas álgebras esta dado en términos de implicación y negación. Este hecho nos permite simplificar los resultados establecidos por Di Nola y Grigolia [18] en cuanto a la caracterización de los cuantificadores por medio de subálgebras relativamente completas especiales. Además, probamos que esta nueva variedad tiene la propiedad de extensión de congruencias y que es a congruencias distributivas. Por otra parte, desarollamos una dualidad topológica para estas álgebras y como aplicación de la misma, caracterizamos a las congruencias por medio de ciertos subconjuntos cerrados del espacio asociado a un álgebra. Además, estudiamos la variedad generada por cadenas de longitud n + 1 (n < !)y, entre otras resultados, probamos que se trata de una subvariedad semisimple y caracterizamos sus miembros subdirectamente irreducibles. Finalmente, a partir de un álgebra funcional especial determinamos un conjunto importante de las álgebras simples y exhibimos la totalidad de ellas en el caso finito. / This volume is organized in six chapters. In Chapter I all the results presented are well-known, but they were included either to facilitate the reading or to fix the notations needed throughout the remainder chapters and it has no pretensions of originality. Chapter II is organized in seven sections. We start pointing out the motivations for the study of symmetric operators in modal pseudocomplemented De Morgan algebras, which we called S-algebras. Subsequently, we determine the generating algebras of this variety and we show that it is semisimple. Furthermore, we study the finite and the finitely generated S-algebras which allows us to assert that this variety is locally finite. We also determine the structure of the free S-algebras with n (n < !) free generators and we exhibit a formula to calculate the cardinal number of these algebras in terms of the number of its free generators. On the other hand, we establish necessary and sufficient conditions for the existence of epimorphisms between finite S-algebras. To do this, we make a thorough study of the prime spectrum of the S-algebras. In particular, we prove that it can be decomposed as a special cardinal sum. From these results we compute the number of epimorphims which can be defined between finite algebras. In addition, we show that number in the particular cases of mpM-algebras, Lukasiewicz- Moisil algebras of order 3 and Boolean algebras. We conclude the chapter describing the lattice of subvarieties of the variety of the S–algebras. In Chapter III, we introduce and study the mpM-algebras enriched with an automorphism of period k, where k 2 IN, k 2. We called them Ck-algebras. The results of this chapter are a natural generalization of those obtained in the previous chapter for S- algebras, because they are Ck-algebras when k = 2. First, we present the most important properties of this new structure. Then, we establish a correspondence between the family of congruences and the family of c-filters (ie: certain special filters of the algebra) which allows us to determine a family of ultrafilters associated with each maxinal c-filter. Moreover, we determine necessary and sufficient conditions for a congruence to be a maximal one. This result follows by considering a new binary operation called cyclical implication and characterizing the congruences by means of the deductive systems associated with this implication. In addition, the properties verified by this implication allow us to show that the variety of Ck-algebras is semisimple. On the other hand, we determine the algebras which generate this variety by applying different techniques of the ones used when k = 2 because the structure of Ck-algebras is much more complex than the S-algebras. Besides, we prove that the variety of Ck-algebras is finitely generated and locally finite. Finally, we obtain the cardinal number of the free Ck-algebra with a set of n (n < !) free generators in terms of the parameters k and n and we also verify this result for the case k = 1 and k = 2, showing that they coincide with those already obtained in [61] and in Chapter II of this thesis, respectively. Chapter IV is devoted to monadic mpM-algebras (or M-algebras). Each algebra of this new variety is considered as a pair consisting of an mpM-algebra and an existential quantifier. First, we obtain some properties and show the relationship between these algebras and others well-known structures. Moreover, from a special family of subalgebras of an mpM-algebra we determine how to get all the quantifiers that transform it into an M-algebra. Next, we started a topological study of this variety associating to each M- algebra a compact, Hausdorff and totally order-disconnected topological space enriched with an equivalence relation, such as the Halmos-Priestley’s dualities. This first duality allowed us to do an extensive study of the congruences. In particular, we show that there is an isomorphism between the lattice of certain open, closed and involutive subsets of the associated space of an M-algebra and the lattice of the principal M-congruences of it. Furthermore, we prove that the principal and Boolean congruences coincide and we calculate the number of them in the case of finite algebras. Besides, we show that the principal congruences are also determined by certain special filters of the algebra. Thus the study of the congruences is completed. Finally, we ended the chapter by noting that, unlike what happens in other classes of algebras, here it is not always possible to define the monadic structure from the k-cycle one. In Chapter V, we continue the study of the M-algebras and we present a second topological representation which allowed us to determine the generating algebras (finite or infinite) of this variety. First, we go in depth in the study of the prime spectrum of the M-algebras, in order to obtain a new topological representation for these algebras considering the category of the sm-spaces and the sm-functions. This duality has the advantage of providing more information than the first on the effect of the equivalence relation in the space. On the other hand, we prove that the conditions that verify the q-spaces (see [9]) are suitable for the quotient space to be a Priestley space with the identification topology, and for the canonical projection to be a continuous function that preserves the order. Moreover, we show that this result is transferred to the monadic De Morgan spaces ([62, p.84]) and to the sm-spaces, which is fundamental for subsequent study. Furthermore, we use among others, general topological concepts as the convergence and accumulation for nets (Moore-Smith sequences) and the extension theorem for the continuous functions in T3-spaces, in order to determine the M-algebras of an arbitrary cardinality which generates this variety. Finally, taking into account some of the previous results, we analyzed the relationship between monadic De Morgan algebras ([62]) and monadic tetravalent modal algebras ([74]). In particular, we prove that all tetravalent modal algebra with a special quantifier is a simple monadic De Morgan algebra. Hence, we can assert that the lattice of the subvarieties of monadic De Morgan algebras is much more complex than the lattice of the subvarieties of Q-distributive lattices introduced by Cignoli in [9]. Finally, in Chapter VI we introduce the MV -algebras with two quantifiers which commute. These algebras are a natural generalization of cylindric algebras of dimension two free of diagonal elements. The study of them is done in terms of implication and negation. This fact allows us to simplify the results established by Di Nola and Grigolia ([18]) with respect to the characterization of quantifiers by means of special relatively complete subalgebras. Besides, we prove that this new variety has the congruence extension property and distributive congruences. Furthermore, we develop a topological duality for these algebras which allows us to characterize the congruences by means of certain closed subsets of the space associated with them. In addition, we study the variety generated by chains of length n + 1 (n < !) and, among other results, we prove that it is a semisimple subvariety and we characterize their subdirectely irreducible members. Finally, from a special functional algebra we determine an important set of simple algebras and we show all of them in the finite case.

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En esta tesis investigamos la clase de los qM3 retículos y la de los mM3−retículos o M3−retículos monádicos, que son M3−retículos dotados de un cuantificador existencial, en el primer caso, y en el segundo de dos cuantificadores: existencial y universal. También estudiamos la clase de los M3−retículos k–cíclicos, que son M3−retículos dotados de un automorfismo de período k. Hemos organizado el trabajo en cinco capítulos, divididos a su vez en secciones y subsecciones en algunos casos. El Capítulo 1 está dividido en cuatro secciones. En las primeras, repasamos resultados principales sobre retículos distributivos y exponemos distintos conceptos de álgebra universal y espacios de Priestley. Todos los resultados indicados son conocidos. Los hemos incluído tanto para facilitar la lectura posterior, como para fijar las definiciones. En la última sección, introducimos los M3−retículos definidos por A. V. Figallo a sugerencia de A. Monterio en Los M3-Reticulados [14], Rev. Colombiana de Matemática, XXI, 1987. En la primera sección del Capítulo 2, indicamos una dualidad topológica para los M3−retículos. En la segunda sección, utilizando la dualidad, caracterizamos el retículo de las congruencias de estas álgebras y determinamos las álgebras simples y subdirectamente irreducibles, reencontrando los resultados que Figallo había establecido de manera algebraica, de una forma diferente, vía la topología. Luego nos dedicamos al estudio de las congruencias principales y booleanas, demostrando que ambas coinciden, están definidas ecuacionalmente (CPDE) y son congruencias regulares y uniformes. Además probamos que la variedad M3, es a congruencias conmutativas, que es una variedad filtral y discriminadora y tiene la propiedad de extensión de congruencias (PEC). El Capítulo 3, está dividido en cuatro secciones. La primera, está dedicada al estudio del sistema determinante de unM3−retículo finito, mostrando que el conjunto ordenado de sus elementos primos, determina la estructura del mismo. En la segunda y tercera sección, indicamos un método para construir los M3−automorfismos y los M3−epimorfismos, cuando se trata de M3−retículos finitos, y determinamos en cada caso el número de los mismos. En la cuarta sección, referida a los M3−retículos k–cíclicos, probamos que la variedad es semisimple y determinamos el cardinal del álgebra libre finitamente generada. Comprobamos con esos resultados que dicha variedad es finitamente generada y localmente finita. Concluimos la sección estableciendo el número de estructuras cíclicas, no isomorfas, que se pueden definir sobre un M3−retículo finito. En el Capítulo 4, en la primera sección definimos los qM3−retículos y estudiamos algunas propiedades válidas en esta clase. En particular, determinamos cómo a partir de una familia especial de subálgebras de un M3−retículo, podemos obtener un cuantificador existencial de modo que lo transforme en un qM3−retículo. En la segunda sección, extendemos la dualidad de Priestley realizada para los M3−retículos con último elemento, al caso de los qM3−retículos acotados. Empleando esta dualidad, en la tercera sección, probamos que la variedad es semisimple y obtenemos una caracterización funcional de los qM3−retículos simples. De igual modo nos abocamos al estudio de las congruencias principales y booleanas, indicando sus propiedades más destacadas. El Capítulo 5, está dedicado a los M3−retículos monádicos. En la primera sección, mostramos propiedades de los mismos y exhibimos la relación existente entre estas álgebras y los M3−retículos k–cíclicos. En la segunda y tercera sección, presentamos una dualidad topológica que nos facilita describir las congruencias, probar que la variedad es semisimple y obtener una caracterización funcional de los mM3−retículos simples. En la última sección, mostramos, con técnicas topológicas, que se puede interrelacionar ambos cuantificadores, a pesar que en estas lgebras no es posible hacerlo de la manera clásica, puesto que la negación de las mismas no se comporta como una negación de De Morgan; lo que nos permite afirmar que todo qM3−retículo es un M3−retículo monádico. / In this thesis, we study qM3−lattices and mM3−lattices or M3−monadic lattices that are M3−lattices provided with an existential quantifier in the first case, and, in the second case, they are provided with two quantifiers, existential and universal. We also study k–cyclic M3−lattices, which are M3−lattices provided with an automorphism of k period. We have organized this thesis into five chapters, divided into sections and subsections. Chapter 1 is divided into four sections. In the first sections, we review main results on distributive lattices and we expose different universal algebra and Priestley spaces concepts. All the indicated results are well-known. We have included these concepts not only to facilitate the reading of the following sections but also to establish definitions. In the last section, we introduce M3−lattices defined by A.V. Figallo, at suggestion of A. Monteiro in Los M3-Reticulados [14], Rev. Colombiana de Matem´atica, XXI, 1987. In the first section of Chapter 2, we indicate a topological duality for M3-lattices. In the second section, using this duality, we characterize the lattice of congruences of these algebras and we determine simple and subdirectly irreducible algebras, re-finding the results that Figallo had established in algebraic manner, in a different way, by means of topology. Then, we studied principal congruences and Boolean congruences, demonstrating that such congruences coincide, they are equationally defined (EDPC) and they are regular and uniform congruences. We further prove what the M3 variety is to commutative congruencies; that it is a filter and discriminating variety, and that it has the property of congruencies extension (CEP). Chapter 3 is divided into four sections. The first section is dedicated to the study of the determining the system of a finite M3−lattice, proving that the ordered set of its prime elements determines its structure. In the second and third section, we indicate a method to construct the M3−automorphisms and the M3−epimorphisms, when it is about of finite M3−lattices, and we also determine their number in both cases. The fourth section is dedicated to the study of the k–cyclic M3−lattices. First, we prove that the variety is semisimple and we determine the cardinal of finitely generated free algebra. Afterward, we prove with these results that the variety is finitely generated and locally finite. To conclude this section, we determine the number of cyclic structures, non-isomorphic, that can be defined on a finite M3−lattice. In Chapter 4, in the first section we define qM3−lattices and we study some valid properties of such lattices. In particular, we determine how, from a special family of subalgebras of an M3−lattice, we can obtain an existential quantifier in a way that transforms it into a qM3−lattice. In the second section, we extend the Priestley duality for M3-lattices with a last element, in the case of bounded qM3−lattices. By using this duality, in the third section, we prove that the variety is semisimple and we also obtained a functional characterization of the simple qM3−lattices. In the same way, we focus on the study of the principal and Boolean congruences, indicating their most outstanding properties. Chapter 5 is dedicated to the study of monadic M3−lattices. In the first section, we prove properties of the latter mentioned and we exhibit the relationship existing between these algebras and the k–cyclicM3−lattices. In the second and third section, we establish a topological duality that facilitates us to describe the congruences, to prove that the variety is semisimple and to obtain a functional characterization of the simple mM3−lattices. In the fourth section, we demonstrate that, with topological techniques, it is possible to interrelate both quantifiers, although it is not possible to do it in the classic manner in these algebras, since their negation does not behave as a De Morgan negation; which allows us to state that every qM3−lattice is a monadic M3−lattices.

En esta tesis investigamos la clase de las álgebras de Lukasiewicz–Moisil −valuadas, siendo el tipo de orden de un conjunto totalmente ordenado. Al trabajo lo hemos organizado en cinco capítulos. El Capítulo 1 consta de cuatro secciones y los resultados indicados en ellas son conocidos. Los hemos incluído tanto para facilitar la lectura posterior, como para fijar las definiciones de las álgebras y las dualidades topológicas que utilizamos en los capítulos siguientes. En el Capítulo 2 consta de dos secciones. En la primera sección, determinamos una dualidad topológica para las álgebras de Lukasiewicz–Moisil −valuadas sin negación (LM −álgebras), equivalente a la dada por A. Filipoiu en 1980 para arbitrario. Además, consideramos el caso particular de las LM −álgebras en las que es un entero n, n 2 (LMn−´algebras). En la segunda sección, extendemos a las ´algebras de Lukasiewicz–Moisil −valuadas con negaci´on (nLM −álgebras) la dualidad anteriormente obtenida para las LM −álgebras y la dualidad de las álgebras de De Morgan determinada por W. Cornish y P. Fowler en [22]. También analizamos el caso particular en el que es un entero n, n 2 (nLMn−álgebras). Es un hecho conocido que debido a que el álgebra cociente de una LM −algebra por una congruencia de la misma, en el sentido del ´algebra universal, no necesariamente satisface el principio de determinaci´on de Moisil, se introduce un concepto más fuerte de congruencia sobre estas álgebras, a las que se las llama −congruencias. En las dos secciones de este capítulo, no solamente caracterizamos el retículo de las congruencias y el de las −congruencias de estas álgebras, sino que también describimos las álgebras simples y subdirectamente irreducibles de cada una de esta clase de ´algebras con respecto a ambas congruencias y tambi´en afirmamos que las álgebras antes mencionados coinciden. Es más determinamos que el espacio asociado a cada una de estas álgebras es un conjunto totalmente ordenado. A partir de este resultado y usando técnicas topológicas obtenemos estas álgebras, arrivando así, por medio de un razonamiento diferente, a los resultados indicados por R. Cignoli en [15], en el caso de las nLMn−álgebras y los de V. Boicescu y otros en [13], en otro caso. A partir de la caracterizaci´on obtenida de las conguencias maximales probamos que las LM −álgebras y las nLM −álgebras son semisimples. Además establecemos, tanto para las LM −álgebras como para las nLM −álgebras, una correspondencia entre la familia de las −congruencias y la familia de ciertos filtros especiales de estas álgebras, a los que se les llama −filtros. Finalizamos este capítulo determinando, a través de las dualidades de estas álgebras, condiciones necesarias y suficientes para que las nociones de LMn−álgebra y nLMn−álgebra sean equivalentes. La mayoría de los resultados que se detallan en este capítulo se publicaron en A.V. Figallo, I. Pascual and A. Ziliani, A Duality for −Valued Lukasiewicz–Moisil Algebras and Applications. Journal of Multiple Valued Logic & Soft Computing. Vol. 16 (2010), pp. 303-322. Estos resultados se expusieron previamente en XIV Latin American Symposium on Mathematical Logic, Parati, Brasil en 2008. El Caíıtulo 3 est´s organizado en cuatro secciones y en él nos dedicamos a estudiar las congruencias y las −congruencias de las LM −álgebras y las nLM −álgebras, teniendo en cuenta las dualidades topológicas obtenidas en el Capítulo 2. En la primera sección, logramos una caracterización de las congruencias principales y otra de las −congruencias principales. Por medio de esta última caracterización probamos que la intersección de dos −congruencias principales de una LM −algebra es una −congruencia principal. Además, cuando es un entero n, n 2, obtenemos los filtros que determinan las congruencias principales sobre una LMn−algebra, y a partir de este resultado demostramos que la intersecci´on de dos congruencias principales de dicha álgebra es tambi´en una congruencia principal. En los otros casos damos condiciones suficientes para que la intersección de dos congruencias principales de una LM −álgebra no sea principal. En la segunda sección, centramos nuestra atenci´on en las congruencias y las −congruencias booleanas delas LM −álgebras. En primer lugar, las caracterizamos por medio de ciertos subconjuntos cerrados y abiertos de su espacio asociado. Usando estas caracterizaciones demostramos que estas congruencias coinciden, y también que son las congruencias principales determinadas por los filtros generados por elementos booleanos de estas álgebras. Este último resultado nos permite establecer condiciones necesarias y suficientes para que una congruencia principal sea booleana, y también determinar que las congruencias booleanas son conmutativas, regulares y uniformes. Además, analizamos el caso particular de las LM −algebras completas. La mayor parte de los resultados que se indican en las dos primeras secciones de este capítulo se publicaron en A.V. Figallo, I. Pascual and A. Ziliani, Principal and Boolean Congruences on −valued Lukasiewicz–Moisil algebras. Logic withouth frontiers. Festschrift for Walter Alexandre Carnielli on the occasion of his 60 th Birthday, 17 (2012), pp. 215-237. Algunos de estos resultados se expusieron previamente en XIII Latin American Symposium on Mathematical Logic, Oaxaca, Méjico, en 2006 y otros de estos resultados, en la Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina en 2007. En la tercera sección de este capítulo, estudiamos las congruencias y las −congruencias principales y booleanas de las LM −álgebras que son producto de una familia finita de LM −álgebras totalmente ordenadas. Como consecuencia de ello obtenemos que las congruencias sobre estas álgebras son −congruencias y además que son principales y booleanas. A partir de este hecho probamos que el cardinal del álgebra booleana de las congruencias de un álgebra de esta subclase, está dado por el cardinal del álgebra booleana de los elementos complementados de dicha álgebra. Estos resultados se expusieron en la Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina en 2006. En la última secci´on caracterizamos y analizamos las congruencias y −congruencias principales y booleanas de las nLM −álgebras. En todas las secciones consideramos en forma particular el caso en el que es un entero n, n 2. El Capítulo 4 está organizado en cuatro secciones. En la primera sección, comenzamos definiendo las álgebras de Lukasiewicz–Moisil −valuadas sin negación monádicas o mLM −álgebras y las álgebras de Lukasiewicz −valuadas sin negación monádicas fuertes o smLM −álgebras para arbitrario y consideramos el caso particular en el que es un entero n, n 2, a las que las denotamos por mLMn−álgebras y smLMn−álgebras, respectivamente. Luego, nos dedicamos a determinar una dualidad topológica para cada una de estas clases de álgebras, extendiendo las dualidades topol´ogicas para los M−retículos y sM−retículos, descriptas en el Capítulo 1 y la dualidad determinada en el Capítulo 2 para las LM −álgebras. A trav´es de estas dualidades obtenemos propiedades de las mLM −álgebras, de las que resulta que toda mLM −álgebra es una smLM −álgebra y consecuentemente que los conceptos de mLM −álgebra y smLM −´algebra son equivalentes. En la segunda sección, tambi´en por medio de la dualidad, caracterizamos las congruencias y las −congruencias y las congruencias y las −congruencias maximales y booleanas sobre una mLM −álgebra, y a partir de estas caracterizaciones realizamos un estudio detallado de las mismas. Luego, en la tercera sección, abordamos el problema de determinar las álgebras subdirectamente irreducibles de esta clase de álgebras con respecto a las congruencias y a las −congruencias. En primer lugar, las caracterizaciones anteriores nos permiten afirmar que estas álgebras coinciden y que son también las mLM −álgebras simples con respecto a ambas congruencias. Luego, por medio del espacio topológico cociente por la relaci´on de equivalencia definida en los espacios asociados a las mLM −álgebras, probamos que la imagen del cuantificador de una mLM −álgebra simple es una LM −álgebra simple. Finalmente, a partir de este último resultado y usando conceptos de topología general, determinamos todas las mLM −álgebras simples. Cabe mencionar que algunos de los temas que se presentan en este capítulo fueron aceptados en el XVI Latin American Symposium on Mathematical Logic, Buenos Aires en 2014. El Capítulo 5 consta de tres secciones. En la primera sección, desarrollamos una dualidad topológica para las álgebras de Lukasiewicz–Moisil −valuadas con negación monádicas o qnLM −álgebras, con infinito y finito. Estas álgebras fueron introducidas por G. Georgescu y C. Vraciu en [42], e investigadas por M. Abad en [1] cuando es un entero n, n 2 (qnLMn−álgebras). Cuando nos restringimos a la categoría de los Q−retículos distributivos y Q−homomorfismos, esta dualidad coincide con la obtenida por R. Cigx noli en [18]. En la segunda sección, por medio de la dualidad obtenida, logramos una nueva caracterización de las congruencias, las −congruencias y de las congruencias y −congruencias maximales y booleanas sobre estas álgebras. A partir de la caracterización de las congruencias maximales probamos que las qnLM −álgebras son semisimples. En la tercera sección, usando los resultados de la Sección 2, establecemos que las qnLM −álgebras simples y subdirectamente irreducibles con respecto a ambas congruencias coinciden. Además en esta sección, empleando el mismo método topológico que el que se utilizó para las mLM −álgebras, determinamos todas las qnLM −álgebras simples, las que se caracterizan por el hecho de que la imagen del cuantificador, definido en cada una de estas álgebras, es una nLM −álgebra simple; obteniendo así, de un modo diferente, los resultados establecidos por M. Abad en [1], para el caso en que es un entero n, n 2. La dualidad para las qnLMn−álgebras y sus aplicaciones se publicaron en Figallo, A. V.; Pascual, I.; Ziliani, A. Notes On Monadic n-valued Lukasiewicz Algebras. Math. Bohem. 129 (2004), no. 3, 255–271. Algunos de los resultados de la dualidad de las qnLM −álgebras, infinito, se presentaron y discutieron en la Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina en 2005. Varios de los resultados de esta tesis que todavía no se han publicado, están en vías de publicación ([29], [32]). Finalizamos este trabajo dando una breve enumeración de los posibles desarrollos futuros. / In this thesis, we investigate the class of −valued Lukasiewicz–Moisil algebras, where is the order type of a totally ordered set. We have organized this volume in five chapters. Chapter 1 consists of four sections and the results reported in them are well-known. We have included them both to facilitate the subsequent reading and to set the definitions of algebras and topological dualities that we use in the remainder chapters. Chapter 2 is organized in two sections. In the first one, we determine a topological duality for −valued Lukasiewicz–Moisil algebras without negation (LM −algebras) equivalent to the one given by A. Filipoiu in [40]. Furthermore, we consider the particular case of LM −algebras where is an integer n, n 2 (LMn−algebras). In the second section, we extend the above duality and the one obtained by W. Cornish and P. Fowler in [22] for De Morgan algebras to the case of −valued Lukasiewicz–Moisil algebras with negation (nLM −algebras); and we also analyze the particular case in which is an integer n, n 2 (nLMn−algebras). It is well-known that there are congruences in the classes of LM −algebras and nLM −algebras, that the quotient algebra by these congruences, in the sense of universal algebra, does not satisfy the determination principle. That is the reason why the stronger concept of −congruence is introduced on these algebras. In these two sections of this chapter, we do not only characterize the lattice of congruences and the lattice of −congruences on these algebras, but we also describe the simple and subdirectly irreducible LM −algebras and nLM −algebras regarding both congruences; and we also assert that in each class of these algebras, the above mentioned algebras coincide. What is more, we determine that the space associated with each of these algebras is a totally ordered set. From this last result and using topological techniques, we obtain all these algebras; and so we arrive, through a different reasoning, at the results indicated by R. Cignoli in [15] in the case of nLMn−algebras and by V. Boicescu et al in [13], in another case. From the characterization of the maximal congruences, we can set that the LM −algebras and the nLM −algebras are semisimple. In addition to the latter mentioned, we establish for both LM −algebras and nLM −algebras, a correspondence between the family of −congruences and the family of certain special filters of these algebras, which are called −filters. Bearing in mind the above dualities for these algebras, we conclude this chapter by determining necessary and sufficient conditions so that the notions of LMn−algebra and nLMn−algebra are equivalent. Most of the results obtained in this chapter were published in A.V. Figallo, I. Pascual and A. Ziliani, A Duality for −Valued Lukasiewicz–Moisil Algebras and Applications. Journal of Multiple Valued Logic & Soft Computing. Vol. 16 (2010), pp. 303-322. They were previously presented and discussed in XIII Latin American Symposium on Mathematical Logic, Parati, Brasil in 2008. Chapter 3 is organized into four sections and in within this chapter our main interest is to research on the principal and Boolean congruences and −congruences on LM −algebras and nLM −algebras. In order to do this, we take into account the topological dualities for these algebras obtained in Chapter 2. In the first section, we achieve a characterization of principal congruences and another of principal −congruences on LM −algebras. These last results allow us to prove that the intersection of two principal −congruences on an LM −algebra is a principal −congruence. Furthermore, whenever is an integer n, n 2, we obtain the filters which determine principal congruences on an LMn−algebra and, we are also in a position to show that the intersection of two principal congruences on an LMn−algebra is a principal one. In other cases, we give sufficient conditions so that the intersection of two principal congruences on an LM −algebra is not a principal one. In Section 2, our attention is focused on Boolean congruences on LM −algebras. Firstly, we characterize them by means of certain closed and open subsets of their associated spaces. Using this characterization, we prove that these congruences are −congruences, and also that they are principal congruences associated with filters generated by the complemented elements of these algebras. This last result allows us to set necessary and sufficient conditions so that a principal congruence is a Boolean one, and also to determine that the Boolean congruences are commutative, regular and uniform. Besides, we analyze the particular case of the complete LM −algebras. Most of the achieved results in the two first sections of this chapter were published in A.V. Figallo, I. Pascual and A. Ziliani, Principal and Boolean Congruences on −valued Lukasiewicz–Moisil algebras. Logic withouth frontiers. Festschrift for Walter Alexandre Carnielli on the occasion of his 60 th Birthday, 17 (2012), pp. 215-237. Some of these results were also presented and discussed previously in XIII Latin American Symposium on Mathematical Logic, Oaxaca, Mexico, in 2006 and other of these results, in the Annual Meeting of the Uni´on Matem´atica Argentina in 2007. In Section 3 of this chapter, we study the principal and Boolean congruences on LM −algebras, which are a product of a finite family of totally ordered LM −algebras. As a result, we obtain that the congruences on these algebras are −congruences and that they also are principal and Boolean congruences and −congruences. From this fact, we prove that the cardinal of the lattice of congruences on an algebra of this subclass is given by the cardinal of the Boolean algebra of the complemented elements of this algebra. These results were presented and discussed in the Annual Meeting of the Uni´on Matem´atica Argentina in 2006. In the last section, we characterize and analyze the principal and Boolean congruences and −congruences on nLM −algebra. In all sections, we consider the particular case that is an integer n, n 2. Chapter 4 is organized in three sections. In the first section, we start by defining the monadic −valued Lukasiewicz–Moisil algebras without negation or mLM −algebras and the strong monadic −valued Lukasiewicz–Moisil algebras without negation or smLM − algebras, for arbitrary. Also we consider the particular case in which is an integer n, n 2, and we denote these algebras by mLMn−algebras and smLMn−algebras, respectively. Then, we dedicate ourselves to determine a topology duality for each of these classes of algebras. To do this, we extend to these algebras the topological dualities for M−lattices and sM−lattices, described in Chapter 1, and the duality that we determined in Chapter 2 for LM −algebras respectively. By means of these dualities, we obtain properties of the mLM −algebras, from which it arises the fact that every mLM −algebra is an smLM −algebra and consequently that the concepts of mLM −algebra and smLM −algebra are equivalent. In order to obtain more information about the latter mentioned algebras, in the second section, we characterize congruences and −congruences, maximal and Boolean congruences and −congruences on an mLM −algebra, taking into account the duality mentioined above; and from these characterizations, we carry out a detailed study of them. Then, in the third section, we deal with the problem of determining the subdirectly irreducible algebras of this class, concerning congruences and −congruences. Firstly, the previous characterizationes allow us to assert that these algebras coincide and that they are also the simple mLM −algebras regarding both congruences. Then, through the topological quotient space by the equivalence relation defined in the spaces associated with the mLM −algebras, we prove that the image of the quantifier of a simple mLM −algebra is a simple LM −algebra. Finally, from this last result and while using general topological concepts, we determine all the simple mLM −algebras. It is worth mentioning that some of the topics presented in this chapter were submitted and accepted at XVI Latin American Symposium on Mathematical Logic, Buenos Aires in 2014. Chapter 5 consists of three sections. In the first section, we develop a topological duality for monadic −valued Lukasiewicz–Moisil algebras with negation or qnLM −algebras, which were introduced by G. Georgescu and C. Vraciu in [42] and they were researched by M. Abad in [1] in the particular case that is an integer n, n 2 (qnLMn−algebra). When restricted to the category of Q−distributive lattices and Q−homomorphisms, this duality coincides with the one obtained by R. Cignoli in [18]. In the second section, a new characterization of the congruences and another one of the −congruences on a qnLM −algebra by means of certain closed and involutive subsets of the associated space are also obtained. Besides, in the second section, we characterize the maximal and Boolean congruences and −congruences on these algebras. The results obtained in this Section allow us, in the third section, to establish that simple and subdirectly irreducible qnLM −algebras regarding congruences and −congruences coincide. The characterization of the maximal congruences enables us to prove that every qnLM −algebra is semisimple. Furthermore, in the third section, employing the same topological method as the one used for mLM −algebras, we obtain all the subdirectly irreducible qnLM −algebras, which are characterized by the fact that the image of the quantifier, defined on each of these algebras, is a simple nLM −algebra. And so, we arrive at the results established by M. Abad in [1], in the case of qnLMn−algebra, n 2, by a different method. The duality for qnLMn−algebras and its applications were published in Figallo, A. V.; Pascual, I.; Ziliani, A. Notes On Monadic n-valued Lukasiewicz Algebras. Math. Bohem. 129 (2004), no. 3, 255–271. Some of the results of the duality for qnLM −algebras, infinite, were presented and discussed in the Annual Meeting of the Uni´on Matem´atica Argentina in 2005. Several of the results achieved in this thesis that have not been published yet will be submitted for publication ([29], [32]). We conclude this study by giving a brief enumeration of possible future developments.

O presente estudo pretende analisar o processo de industrialização nos municípios paulistas de Botucatu, Avaré e Ourinhos. Para tanto se utiliza como referenciais teóricos as concepções dos geógrafos Milton Santos (2004 [1977]) sobre a categoria de análise formação socioespacial e André Cholley (1964) combinações geográficas, pois ambas articulam dialeticamente natureza e sociedade. Sobre a economia brasileira, especificamente a industrialização, adotamos, sem desconsiderar outras interpretações, as concepções de Ignácio Rangel (2005 [1957, 1985]) que aborda basicamente a dialética de poder através de meias revoluções ou as dualidades da economia brasileira; pactos de poder interno e externo. Segundo essa visão, o Brasil sendo uma formação social periférica, reage de forma dinâmica aos impulsos vindos do centro do sistema (ciclos kondratiev) sempre combinando modos de produção distintos ao longo de suas etapas de desenvolvimento histórico. No que tange o processo de industrialização no Estado de São Paulo, a perspectiva teórica abordada destaca o papel da pequena produção mercantil na dinâmica socioeconômica (processo de acumulação interna; industrialização via imigrantes e não pela via da oligarquia paulista). As razões da escolha do tema se devem ao fato de que pouca ênfase se tem dado à capacidade de iniciativa/inovação empresarial, existentes em diversas partes do país, que para se desenvolverem necessitam de uma política econômica favorável. Em suma, partimos do pressuposto de que a capacidade empresarial brasileira é gigantesca, entretanto, falta uma política econômica contínua que dê sustentação a esses empreendimentos. Aliás, determinadas decisões tomadas em âmbito governamental, como a instrução 70 (Getúlio Vargas) e a Instrução 113 (Juscelino Kubitschek) foram fundamentais para o crescimento econômico, já que as políticas de substituição de importações, também foram políticas protecionistas e desenvolvimentistas. Ou seja, sem elas, como diria Rangel, a indústria nacional teria uma contingência natural de nascer na crise internacional e desaparecer nas fases de recuperação econômica. Procura-se contribuir para o estudo da Geografia, tendo em vista a compreensão do processo de industrialização paulista, além de retomar um antigo tema da Geografia: as atividades industriais. / This research intends to analyze the industrial process in the municipalities of Botucatu, Avaré and Ourinhos, all of them parts of the São Paulo state. To achieve this goal it will be used as theoretical references the conceptions from the geographers such as Milton Santos (2004 [1977]) on the category of socio-spatial formation and analysis, André Cholley (1964) geographic combinations, since both articulate dialectically nature and society. On the Brazilian economy, specifically industrialization, we adopt, without disregarding other interpretations, the conceptions of Ignacio Rangel (2005 [1957, 1985]) that basically addresses the power of dialectic through half revolutions, or the dualities of the Brazilian economy; pacts internal and external power. According to this view, Brazil being a peripheral social formation, that reacts dynamically to the impulses coming from the system center (Kondratiev cycles) always combining different production methods throughout their historical development stages. Regarding the process of industrialization in São Paulo state, the addressed theoretical perspective emphasizes the role of small commodity production in the socio-economic dynamics (internal process of accumulation, industrialization via immigrants and not via the Paulista oligarchy). The reasons behind this choice of subject are due the fact that has been given little emphasis in the capacity of initiative / entrepreneurial innovation, which exist in different parts of the country that and needs to develop a favorable economic policy. In short, we assume that the Brazilian entrepreneurship is huge, however, lacks an economic policy that could continue to give support to these enterprises. In fact, certain decisions taken in the governmental level, such as the entitled \"Instruction 70\" (Getulio Vargas) and \"Instruction 113\" (Juscelino Kubitschek) were fundamental for economic growth, since import substitution policies were also protectionist and developmental policies. That is, without them, as Rangel would affirm, the domestic industry would have a contingency to born in the international crisis and to disappear in the stages of economic recovery. Therefore, it seeks to contribute to the study of geography and resume an old theme, which are the studies about industrial activities, intending to understanding the São Paulo state industrialization process.

O presente estudo pretende analisar o processo de industrialização nos municípios paulistas de Botucatu, Avaré e Ourinhos. Para tanto se utiliza como referenciais teóricos as concepções dos geógrafos Milton Santos (2004 [1977]) sobre a categoria de análise formação socioespacial e André Cholley (1964) combinações geográficas, pois ambas articulam dialeticamente natureza e sociedade. Sobre a economia brasileira, especificamente a industrialização, adotamos, sem desconsiderar outras interpretações, as concepções de Ignácio Rangel (2005 [1957, 1985]) que aborda basicamente a dialética de poder através de meias revoluções ou as dualidades da economia brasileira; pactos de poder interno e externo. Segundo essa visão, o Brasil sendo uma formação social periférica, reage de forma dinâmica aos impulsos vindos do centro do sistema (ciclos kondratiev) sempre combinando modos de produção distintos ao longo de suas etapas de desenvolvimento histórico. No que tange o processo de industrialização no Estado de São Paulo, a perspectiva teórica abordada destaca o papel da pequena produção mercantil na dinâmica socioeconômica (processo de acumulação interna; industrialização via imigrantes e não pela via da oligarquia paulista). As razões da escolha do tema se devem ao fato de que pouca ênfase se tem dado à capacidade de iniciativa/inovação empresarial, existentes em diversas partes do país, que para se desenvolverem necessitam de uma política econômica favorável. Em suma, partimos do pressuposto de que a capacidade empresarial brasileira é gigantesca, entretanto, falta uma política econômica contínua que dê sustentação a esses empreendimentos. Aliás, determinadas decisões tomadas em âmbito governamental, como a instrução 70 (Getúlio Vargas) e a Instrução 113 (Juscelino Kubitschek) foram fundamentais para o crescimento econômico, já que as políticas de substituição de importações, também foram políticas protecionistas e desenvolvimentistas. Ou seja, sem elas, como diria Rangel, a indústria nacional teria uma contingência natural de nascer na crise internacional e desaparecer nas fases de recuperação econômica. Procura-se contribuir para o estudo da Geografia, tendo em vista a compreensão do processo de industrialização paulista, além de retomar um antigo tema da Geografia: as atividades industriais. / This research intends to analyze the industrial process in the municipalities of Botucatu, Avaré and Ourinhos, all of them parts of the São Paulo state. To achieve this goal it will be used as theoretical references the conceptions from the geographers such as Milton Santos (2004 [1977]) on the category of socio-spatial formation and analysis, André Cholley (1964) geographic combinations, since both articulate dialectically nature and society. On the Brazilian economy, specifically industrialization, we adopt, without disregarding other interpretations, the conceptions of Ignacio Rangel (2005 [1957, 1985]) that basically addresses the power of dialectic through half revolutions, or the dualities of the Brazilian economy; pacts internal and external power. According to this view, Brazil being a peripheral social formation, that reacts dynamically to the impulses coming from the system center (Kondratiev cycles) always combining different production methods throughout their historical development stages. Regarding the process of industrialization in São Paulo state, the addressed theoretical perspective emphasizes the role of small commodity production in the socio-economic dynamics (internal process of accumulation, industrialization via immigrants and not via the Paulista oligarchy). The reasons behind this choice of subject are due the fact that has been given little emphasis in the capacity of initiative / entrepreneurial innovation, which exist in different parts of the country that and needs to develop a favorable economic policy. In short, we assume that the Brazilian entrepreneurship is huge, however, lacks an economic policy that could continue to give support to these enterprises. In fact, certain decisions taken in the governmental level, such as the entitled \"Instruction 70\" (Getulio Vargas) and \"Instruction 113\" (Juscelino Kubitschek) were fundamental for economic growth, since import substitution policies were also protectionist and developmental policies. That is, without them, as Rangel would affirm, the domestic industry would have a contingency to born in the international crisis and to disappear in the stages of economic recovery. Therefore, it seeks to contribute to the study of geography and resume an old theme, which are the studies about industrial activities, intending to understanding the São Paulo state industrialization process.

James W. Alexander, no artigo[1],mostra que se tivermos um mergulho PL f : \'S POT. 1\' × \'S POT. 1\' \'S POT. 3\', então o fecho de uma das componentes conexas de \'S POT. 3\' f(\'S POT. 1\' × \'S POT. 1\') é homeomorfo a um toro sólido, isto é, homeomorfo a \'S POT. 1\' × \'D POT. 2\'. Este teorema ficou conhecido por Teorema do toro de Alexander. Nesta dissertação, estamos detalhando a demonstração deste teorema feita em[25] que é diferente da demonstração apresentada em [1]. Mais geralmente, para um mergulho diferenciável f : \'S POT. p\' × \'S POT. q\' \'S POT. p + q+1\' , demonstra-se que o fecho de uma das componentes conexasde \'S POT. p +q + 1\' f(\'S POT. p\' × \'S POT. q\') é difeomorfo a \'S POT. p\' × \'D POT. q + 1\' se p q 1 e p + q \'DIFERENTE DE\' 3 ou se p = 2 e q = 1 um dos fechos será homeomorfo a \'S POT. 2\' × \'D POT. 2\' , nesta dissertação estaremos também detalhando estas demonstrações feita em [20] / James W. Alexander shows in[1] that the closure of one of the two connected components of \'S POT. 3\'f( \'S POT. 1 × \'S POT. 1\') is homeomorphic to a solid torus \'S POT. 1\' × \'D POT. 2\' , where f : \'S POT. 1\' ×\' SPOT. 1\' \'S POT. 3\' is a PL embedding. This result became known as Alexanders torus theorem. In this dissertation we are detailing the proof of this theorem made in[25] which is different from the demonstration presented in[1]. More generally, when considering a smooth embeding f : \'S POT. p\' × \'S POT. q\' \' SPOT. p+q+1\' , it is demonstrated that the closure of one of the two connected components \'S POT. p+q+1\' f (\'S POT. p\' × \'S POT. q\' ) is diffeomorphic to \'S POT. p\' × \'D POT. q+1\' if p q 1 and p+q \'DIFFERENT OF\' 3 or if p = 2 and q = 1 one of the closures will be homeomorphic to \'S POT. 2\' × \'D POT. 2\'. In this work we are also detailing the proves made in[20]

James W. Alexander, no artigo[1],mostra que se tivermos um mergulho PL f : \'S POT. 1\' × \'S POT. 1\' \'S POT. 3\', então o fecho de uma das componentes conexas de \'S POT. 3\' f(\'S POT. 1\' × \'S POT. 1\') é homeomorfo a um toro sólido, isto é, homeomorfo a \'S POT. 1\' × \'D POT. 2\'. Este teorema ficou conhecido por Teorema do toro de Alexander. Nesta dissertação, estamos detalhando a demonstração deste teorema feita em[25] que é diferente da demonstração apresentada em [1]. Mais geralmente, para um mergulho diferenciável f : \'S POT. p\' × \'S POT. q\' \'S POT. p + q+1\' , demonstra-se que o fecho de uma das componentes conexasde \'S POT. p +q + 1\' f(\'S POT. p\' × \'S POT. q\') é difeomorfo a \'S POT. p\' × \'D POT. q + 1\' se p q 1 e p + q \'DIFERENTE DE\' 3 ou se p = 2 e q = 1 um dos fechos será homeomorfo a \'S POT. 2\' × \'D POT. 2\' , nesta dissertação estaremos também detalhando estas demonstrações feita em [20] / James W. Alexander shows in[1] that the closure of one of the two connected components of \'S POT. 3\'f( \'S POT. 1 × \'S POT. 1\') is homeomorphic to a solid torus \'S POT. 1\' × \'D POT. 2\' , where f : \'S POT. 1\' ×\' SPOT. 1\' \'S POT. 3\' is a PL embedding. This result became known as Alexanders torus theorem. In this dissertation we are detailing the proof of this theorem made in[25] which is different from the demonstration presented in[1]. More generally, when considering a smooth embeding f : \'S POT. p\' × \'S POT. q\' \' SPOT. p+q+1\' , it is demonstrated that the closure of one of the two connected components \'S POT. p+q+1\' f (\'S POT. p\' × \'S POT. q\' ) is diffeomorphic to \'S POT. p\' × \'D POT. q+1\' if p q 1 and p+q \'DIFFERENT OF\' 3 or if p = 2 and q = 1 one of the closures will be homeomorphic to \'S POT. 2\' × \'D POT. 2\'. In this work we are also detailing the proves made in[20]