En esta tesis estudiamos una variedad particular de semirretículos con un concepto
de distributividad. Dichas estructuras fueron estudiadas por Cornish y Hickman
en [29] y [35], donde en este último artículo Hickman las llama supremo álgebras
distributivas. Otros autores han llamado a éstas álgebras de diferentes maneras. A
lo largo de esta memoria, y para mayor simplicidad, las llamaremos DN-álgebras.
Nuestro primer objetivo es obtener una representación topológica a través de ciertos
espacios sober con una base distinguida de subconjuntos abiertos, compactos y dualmente
compactos satisfaciendo una condición adicional. A dichos espacios los hemos
llamados DN-espacios. Extendemos esta representación a una dualidad probando
que la categoría cuyos objetos son DN-álgebras y morfismos V-semi-homomorfismos
es dualmente equivalente a la categoría que tiene como objetos DN-espacios y como
morfismos ciertas relaciones binarias. También extendemos esta dualidad a la categoría de las DN-álgebras con homomorfismos. Nuestro segundo objetivo es aplicar
dicha dualidad para interpretar topológicamente algunos conceptos algebraicos. Caracterizamos
los homomorfiosmos inyectivos y sobreyectivos, los retículos de los filtros,
filtros finitamente generados, subálgebras y congruencias. También desarrollamos
un nuevo enfoque sobre la existencia de la extensión libre de una DN-álgebra sobre la
variedad de los retículos distributivos acotados. Siguiendo la representación dual de
los homomorfismos sobreyectivos, presentamos una caracterización de las imágenes
homomorfas de una DN-álgebra a través de ciertas familias de subconjuntos saturados
básicos irreducibles de su espacio dual dotadas de la menor topología Vietoris.
Por otro lado, introducimos una definición alternativa de aniquilador relativo y presentamos
algunas nuevas equivalencias de la distributividad. Definimos las clases de
las DN-álgebras normales y DN-álgebras p-lineales y estudiamos sus estructuras en
término de aniquiladores. Por último, analizamos una clase particular de función
entre DN-álgebras para luego estudiar la clase de las DN-álgebras dotadas con un
operador modal de necesidad. Obtenemos una representación y dualidad topológica
y mostramos algunas aplicaciones. / In this thesis we study a particular variety of semilattices with a concept of distributivity.
Such structures were studied by Cornish and Hickman in [29] and [35], in
this last article Hickman called them distributive join algebras. Others authors have
called these algebras in different ways. Throughout this report, and for simplicity,
we will call them DN-algebras. Our first objective is to obtain a topological representation
through certain sober spaces with distinguished open, compact and dually
compact subsets satisfying an additional condition. We have named these spaces
DN-spaces. We extend this representation to a duality proving that the category
whose objects are DN-algebras and whose morphisms are _-semi-homomorphisms
is dually equivalent to the category whose objects are DN-spaces and whose morphisms
are certain binary relations. We also extend this duality to the category of
DN-algebras with homomorphisms. Our second objective is to apply this duality
to topologically interpreting some algebraic concepts. We characterize injective and
surjective homomorphisms, the lattices of filters, fionitely generated filters, subalgebras
and congruences. We also develop a new approach to the existence of the free
extension of a DN-algebra on the variety of bounded distributive lattices. Following
the dual representation of surjective homomorphisms, we present a characterization
of homomorphic images of a DN-algebra through certain families of irreducible basic
saturated subsets from its dual space which have been equipped with the lower Vietoris
topology. On the other hand, we introduce an alternative definition of relative
annihilator and we present some new equivalences of the distributivity. We define
the classes of normal DN-algebras and p-linear DN-algebras and we study their
structures in terms of annihilators. Finally, we analyze a particular kind of function
between DN-algebras and then we study the class of DN-algebras equipped with a
modal operator of necessity. We get a representation and a topological duality and
show some applications.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:uns.edu.ar/oai:repositorio.bc.uns.edu.ar:123456789/2635 |
| Date | 11 March 2016 |
| Creators | Calomino, Ismael María |
| Contributors | Celani, Sergio |
| Publisher | Universidad Nacional del Sur |
| Source Sets | Universidad Nacional del Sur |
| Language | Spanish |
| Detected Language | English |
| Type | Electronic Thesis or Dissertation, Text |
| Rights | 2 |
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