Θεωρούμε μια ακολουθία Χ1, Χ2,..., Χn (n>0) δυαδικών δοκιμών με πιθανά αποτελέσματα «επιτυχία» (S ή 1) ή «αποτυχία» (F ή 0), δηλαδή
1, αν το i-οστό στοιχείο της ακολουθίας είναι S
Xi = , i=1,2,…,n. 0, αν το i-οστό στοιχείο της ακολουθίας είναι F.
Τα αποτελέσματα xi {0,1}, i≥1, μπορεί να είναι διατεταγμένα σε μία γραμμή ή σε ένα κύκλο. Τα στοιχεία της ακολουθίας μπορεί να είναι ανεξάρτητες ή εξαρτημένες δυαδικές τυχαίες μεταβλητές. Μια ροή επιτυχιών ορίζεται ως μια ακολουθία συνεχόμενων επιτυχιών (S) των οποίων προηγούνται και έπονται αποτυχίες (F) ή τίποτα. Ο αριθμός των επιτυχιών σε μια ροή επιτυχιών αναφέρεται ως μήκος της ροής.
Η έννοια των ροών έχει χρησιμοποιηθεί στην εφαρμοσμένη πιθανότητα και στη στατιστική συμπερασματολογία. Συγκεκριμένα, η μελέτη του αριθμού των ροών επιτυχιών σύμφωνα με διάφορα σχήματα απαρίθμησης, αποτελεί ένα ενδιαφέρον θέμα από την εποχή του De Moivre (1756). Στις αρχές του 1940, οι ροές χρησιμοποιήθηκαν σε ελέγχους υποθέσεων από τους Wald και Wolfowitz (1940), όπως επίσης και σε στατιστικούς ελέγχους ποιότητας από τους Mosteller (1941) και Wolfowitz (1943). Επιπλέον, έχουν χρησιμοποιηθεί σε πολλούς άλλους τομείς, όπως στη μετεωρολογία, στη μοριακή βιολογία (ακολουθίες DNA), στην αστρονομία, στην οικολογία, στην ψυχολογία, καθώς και στην αξιοπιστία συστημάτων.
Η παρούσα εργασία επικεντρώνεται στην τυχαία μεταβλητή που μετρά τον αριθμό των ροών επιτυχιών μήκους τουλάχιστον ίσο με ένα συγκεκριμένο μήκος k (1≤k≤n), δηλαδή στην τυχαία μεταβλητή Gn,k. Θα παρουσιάσουμε μελέτες που έχουν γίνει για τη μεταβλητή αυτή σε ακολουθίες δυαδικών τυχαίων μεταβλητών, οι οποίες είναι διατεταγμένες σε μία γραμμή.
Συγκεκριμένα, στο πρώτο κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με ακολουθίες ανεξάρτητων (ισόνομων ή μη) δοκιμών και θα προσδιορίσουμε την κατανομή της τυχαίας μεταβλητής Gn,k μέσω πινάκων πιθανοτήτων μετάβασης (με τη μέθοδο εμβάπτισης σε Μαρκοβιανή αλυσίδα), αναδρομικών σχέσεων, αθροισμάτων διωνυμικών συντελεστών και μέσω αθροισμάτων πολυωνυμικών συντελεστών. Επιπλέον, θα παρουσιάσουμε εκφράσεις για τις πιθανογεννήτριες συναρτήσεις και θα δώσουμε τύπους για τη μέση τιμή και τη διασπορά της τυχαίας μεταβλητής Gn,k. Στη συνέχεια, θα δώσουμε άνω/κάτω φράγματα και προσεγγίσεις για την κατανομή της Gn,k, χρησιμοποιώντας τη μέση τιμή και τη διασπορά της. Ειδικά στην περίπτωση των ανεξάρτητων και ισόνομων δοκιμών, θα μελετήσουμε την προσέγγιση της κατανομής της Gn,k από μια κατανομή Poisson και από μια κανονική κατανομή, και θα δώσουμε εκφράσεις για τη δεσμευμένη κατανομή της Gn,k δοθέντος του αριθμού των επιτυχιών.
Στο δεύτερο κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με ακολουθίες εξαρτημένων δοκιμών. Θα μελετήσουμε δύο τύπους εξάρτησης, την ανταλλαξιμότητα και τη Μαρκοβιανή εξάρτηση πρώτης τάξης. Θα δώσουμε εκφράσεις για τη συνάρτηση πιθανότητας και τις ροπές της τυχαίας μεταβλητής Gn,k, καθώς και φράγματα για την κατανομή της. Επίσης, θα μελετήσουμε την τυχαία μεταβλητή ορισμένη σε ακολουθία που προκύπτει από το σχήμα δειγματοληψίας Pόlya-Eggenberger, ως ειδική περίπτωση της ανταλλαξιμότητας.
Τέλος, στο τρίτο κεφάλαιο θα παρουσιάσουμε εκφράσεις για τον υπολογισμό της αξιοπιστίας ενός γραμμικού συνεχόμενου-k-από-τα-n-συστήματος αποτυχίας με ανεξάρτητες (ισόνομες ή μη) συνιστώσες, μέσω διωνυμικών συντελεστών, αναδρομικών σχέσεων και της μεθόδου εμβάπτισης σε Μαρκοβιανή αλυσίδα. Επίσης, θα ασχοληθούμε με την εφαρμογή της κατανομής της τυχαίας μεταβλητής Gn,k στην αξιοπιστία γραμμικών συνεχόμενων συστημάτων αποτυχίας.
Ως αριθμητικό παράδειγμα για την εφαρμογή των μεθόδων που παρουσιάζονται, θα χρησιμοποιήσουμε την τυχαία μεταβλητή G5,2 και το γραμμικό συνεχόμενο-2-από-τα-5 σύστημα αποτυχίας. / Consider a sequence Χ1, Χ2,..., Χn (n>0) of binary trials with possible outcomes a “success” (S or 1) or a “failure” (F or 0). The outcomes xi {0,1}, i≥1, may be ordered on a line or on a circle. The elements of the sequence may be independent or dependent binary random variables. A success run is defined to be a sequence of consecutive successes preceded and succeeded by failures (F) or by nothing. The number of successes in a success run is referred to as its length.
Runs have been used in applied probability and statistical inference. In particular, the study of the number of success runs, under various enumerative schemes, has been used in many areas, such as hypothesis testing, quality control, meteorology, molecular biology (sequences of DNA), radar astronomy, ecology, psychology and system reliability (cf. Balakrishnan and Koutras, 2002).
This work concentrates on the random variable Gn,k which counts the number of success runs of length at least equal to a specific length k (1≤k≤n). We will give an overview of results referring to this random variable, defined on sequences of independent (identically distributed or not), exchangeable and first-order Markov dependent random variables, ordered on a line.
In particular, we will present the probability mass function of Gn,k obtained by transition probability matrices (using the Markov chain imbedding technique) and/or recursively, by sums of binomial coefficients and by multinomial coefficients. Moreover, expressions for the probability generating function are presented and formulae for the mean value and the variance of Gn,k are given. Besides, we will present lower/upper bounds and approximations for the distribution of Gn,k, by using the mean value and the variance of Gn,k. Especially, in the case of independent and identically distributed trials, we will study the approximation of the distribution of Gn,k by the Poisson and the normal distribution, and we will give expressions for the conditional distribution of Gn,k given the number of successes.
Next, we will give expressions for the reliability of a linear consecutive-k-out-of-n:F system with independent (identically distributed or not) components, via binomial coefficients, recursively and via the Markov chain imbedding technique. Also, the reliability function of certain general consecutive systems is deduced using the distribution of the studied random variable Gn,k.
To illustrate the theoretical results we will use the random variable G5,2 and the linear consecutive-2-out-of-5:F system.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:upatras.gr/oai:nemertes:10889/4749 |
| Date | 07 October 2011 |
| Creators | Μπιτχαβά, Ειρήνη |
| Contributors | Μακρή, Ευφροσύνη, Bitchava, Eirini, Φιλίππου, Ανδρέας, Ψυλλάκης, Ζαχαρίας |
| Source Sets | University of Patras |
| Language | gr |
| Detected Language | Greek |
| Type | Thesis |
| Rights | 0 |
| Relation | Η ΒΚΠ διαθέτει αντίτυπο της διατριβής σε έντυπη μορφή στο βιβλιοστάσιο διδακτορικών διατριβών που βρίσκεται στο ισόγειο του κτιρίου της. |
Page generated in 0.0025 seconds