Θεωρούμε μία ακολουθία από n ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Bernoulli, X1,X2,...,Xn (n>0) διατεταγμένες σε γραμμή. Τα δυνατά αποτελέσματα είναι δύο και χαρακτηρίζονται ως επιτυχία (S ή 1) ή αποτυχία (F ή 0). Ροή επιτυχιών είναι μία ακολουθία συνεχόμενων επιτυχιών (S) των οποίων προηγούνται και έπονται αποτυχίες (F) ή τίποτα. Μήκος μιας ροής επιτυχιών είναι ο αριθμός των επιτυχιών που περιλαμβάνονται στη ροή. Η μελέτη τυχαίων μεταβλητών που σχετίζονται με ροές είναι ιδιαίτερα αποτελεσματική σε πολλά επιστημονικά πεδία. Συγκεκριμένα, η μελέτη του αριθμού των ροών επιτυχιών σύμφωνα με διάφορα σχήματα απαρίθμησης αποτελεί ένα ενδιαφέρον θέμα ήδη από την εποχή του De Moivre (1756). Το 1940, ορίστηκε η βάση για τη δημιουργία ελέγχων υποθέσεων από τους Wald και Wolfowitz (1940) και τον Wolfowitz (1943). Επίσης, οι ροές χρησιμοποιήθηκαν και στον ποιοτικό έλεγχο από τους Mosteller (1941) και Wolfowitz (1943). Στις μέρες μας πέρα από τη Στατιστική, εφαρμόζεται και σε άλλες επιστημονικές περιοχές όπως η βιολογία (ακολουθίες DNA), η οικολογία, η ψυχολογία, η αστρονομία και η αξιοπιστία μηχανικών συστημάτων. Η παρούσα εργασία επικεντρώνεται στην μελέτη τυχαίων μεταβλητών, που μετρούν ροές επιτυχιών μήκους k. Αρχικά, αναλύονται οι τυχαίες μεταβλητές Nn,k και Mn,k, που παριστάνουν τον αριθμό των μη επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους k σύμφωνα με τον Feller (1968) και τον αριθμό των επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους k σύμφωνα με τον Ling (1988), αντίστοιχα. Επίσης, μελετάται η ασυμπτωτική τους συμπεριφορά και προσδιορίζεται η κατανομή τους μέσω συνδυαστικών μεθόδων, αναδρομικών σχημάτων, αθροισμάτων πολυωνυμικών και διωνυμικών συντελεστών καθώς και μέσω της μεθόδου εμβάπτισης τυχαίας μεταβλητής σε Μαρκοβιανή αλυσίδα. Δίνονται εκφράσεις για τη μέση τιμή, τη διασπορά και τη ροπογεννήτρια της τυχαίας μεταβλητής Mn,k. Επιπλέον, αναλύεται μια νέα κατηγορία αρνητικής διωνυμικής κατανομής τάξης k. Στη συνέχεια, δίνεται έμφαση στη μελέτη της τυχαίας μεταβλητής Nn,k,l, η οποία παριστάνει τον αριθμό των l-επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους k σε n ανεξάρτητες δοκιμές Bernoulli και γίνεται μία αναφορά στις γενικευμένες διωνυμικές κατανομές τάξης k. Παρουσιάζονται εκφράσεις για τη μέση τιμή και τη πιθανογεννήτρια συνάρτηση της τυχαίας μεταβλητής Nn,k,l και προσδιορίζεται η κατανομή της αναδρομικά, συνδυαστικά και μέσω της μεθόδου εμβάπτισης τυχαίας μεταβλητής σε Μαρκοβιανή αλυσίδα. Επίσης, μελετάται η τυχαία μεταβλητή Nn,k,l σε ακολουθία που προκύπτει από το σχήμα δειγματοληψίας Polya-Eggenberger. Τέλος, γίνεται σύνδεση της αξιοπιστίας m-συνεχόμενων-k-από-τα-n συστημάτων αποτυχίας με τις κατανομές των τυχαίων μεταβλητών Nn,k, Mn,k και Nn,k,l και παρουσιάζονται εκφράσεις για τον υπολογισμό της αξιοπιστίας αυτών των συστημάτων. / Consider a sequence X1,X2,...,Xn (n>0) of binary trials with outcomes arranged on a line. There are two possible outcomes, either a success (S ή 1) or a failure (F ή 0). A success run is a sequence of consecutive successes preceded and followed by failures (F) or by nothing. The number of successes in a success run is referred to as its length. The concept of runs has been used in various areas. In the early 1940s it was used in the area of hypothesis testing (run test) by Wald and Wolfowitz (1940) and Wolfowitz (1943) and in the area of statistical quality control by Mosteller (1941) and Wolfowitz (1943). Recently, it has been successfully used in many other areas, such as reliability of engineering systems, quality control, DNA sequencing, psychology, ecology and radar astronomy. Different enumerative schemes have been employed while discussing the number of success runs. The study of the random variables Nn,k and Mn,k, representing the number of non-overlapping consecutive k successes, in the sense of Feller’s (1968) counting and the number of overlapping consecutive k successes, in the sense of Ling’s (1988) counting, respectively, is important for this study. Also, the asymptotic behavior of these random variables is discussed. The methods that have been used to obtain the distributions of Nn,k and Mn,k are also presented, i.e. combinatorial analysis, recursive schemes and the Markov chain imbedding technique. The mean, the variance and the moment generating function of Mn,k are given. In addition, a new class of negative binomial distribution of order k is analyzed. This work is focused on the study of the random variable Nn,k,l, which represents the number of l-overlapping success runs of length k in n Bernoulli trials. Our study gives an overview of results referring to the distribution of the random variable Nn,k,l defined on sequences of Bernoulli trials (independent and identically distributed) and Markov trials. Also, formulae for the mean value and the probability generating function of Nn,k,l are presented. The distribution of Nn,k,l is determined recursively, combinatorially and via the Markov chain imbedding technique. Moreover, the random variable Nn,k,l is studied for sequences with outcomes from a Polya-Eggenberger sampling scheme. The distributions of Nn,k, Mn,k and Nn,k,l is used to study m-consecutive-k-out-of-n:F systems, i.e. systems that fail if and only if at least m sequences of k consecutive components fail. Several results concerning the reliability of such systems are also presented.

Θεωρούμε μια ακολουθία από n ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Bernoulli, διατεταγμένες σε κύκλο, με πιθανότητα επιτυχίας της pi, και πιθανότητα αποτυχίας qi. Στην εργασία αυτή αρχικά μελετάται η τυχαία μεταβλητή Nn,kC η οποία παριστάνει το πλήθος των μη επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους k σε n ανεξάρτητες δοκιμές Bernoulli διατεταγμένες σε κύκλο. Προσδιορίζεται η κατανομή της Nn,kC είτε μέσω της μεθόδου εμβάπτισης της τυχαίας μεταβλητής σε Μαρκοβιανή αλυσίδα (Fu, Koutras, 1994 και Koutras, Papadopoulos, Papastavridis, 1995), είτε μέσω συνδυαστικής ανάλυσης (Charalambides, 1994, Makri, Philippou, 1994 και Makri, Philippou, Psillakis, 2007). Κυκλικό συνεχόμενο k -από-τα-n σύστημα αποτυχίας είναι ένα σύστημα n συνιστωσών, διατεταγμένων σε κύκλο, το οποίο αποτυγχάνει αν και μόνο αν αποτύχουν τουλάχιστον k συνεχόμενες συνιστώσες του. Κυκλικό m-συνεχόμενο k-από-τα-n σύστημα αποτυχίας είναι ένα σύστημα n συνιστωσών, διατεταγμένων σε κύκλο, το οποίο αποτυγχάνει αν και μόνο αν υπάρχουν τουλάχιστον m μη επικαλυπτόμενες ροές από k συνεχόμενες αποτυχημένες συνιστώσες. Μελετάται η σχέση της αξιοπιστίας των παραπάνω συστημάτων με την κατανομή της τυχαίας μεταβλητής Nn,kC και αναπτύσονται μέθοδοι που έχουν δοθεί για τον προσδιορισμό της αξιοπιστίας τους. Δίνονται ακριβείς εκφράσεις της αξιοπιστίας αυτών των συστημάτων μέσω διωνυμικών συντελεστών, πολυωνυμικών συντελεστών, αναδρομικών σχέσεων και μέσω της μεθόδου εμβάπτισης τυχαίας μεταβλητής σε Μαρκοβιανή αλυσίδα. Η μελέτη γίνεται για ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Bernoulli όχι κατ’ανάγκην ισόνομες. Τέλος, παρουσιάζονται αριθμητικά παραδείγματα για την διευκρίνιση των μεθόδων που αναπτύχθηκαν παραπάνω. / Consider a sequence of n independent Bernoulli trials, arranged on a circle with success probability pi. The random variable Nn,kC denoting the number of non overlapping success runs of length k in n independent Bernoulli trials arranged on a circle is studied. The exact distribution of Nn,kC is given, via combinatorial analysis (Charalambides 1994, Makri, Philippou 1994 and Makri, Philippou, Psillakis 2007) and using the Markov chain imbedding technique (Fu, Koutras 1994 and Koutras, Papadopoulos, Papastavridis 1995). Derman, Lieberman and Ross (1982) introduced and studied a circular consecutive k-out-of-n: F system. Such a system consists of n components ordered on a circle and fails if and only if at least k consecutive components fail. A circular m consecutive k-out-of-n: F system consists of n components ordered on a circle and fails if and only if there are at least m non overlapping runs, each of k consecutive failed components. We study the reliability of the above systems via to the distribution of the random variable Nn,kC. Exact formulae for the reliability are given by means of binomial and multinomial coefficients, and using the Markov chain imbedding technique. The study is accomplished for systems with independent components not necessarily with equal probabilities. Numerical examples are given for comparison and to illustrate the theoretical results.

Θεωρούμε μια ακολουθία Χ1, Χ2,..., Χn (n>0) δυαδικών δοκιμών με πιθανά αποτελέσματα «επιτυχία» (S ή 1) ή «αποτυχία» (F ή 0), δηλαδή 1, αν το i-οστό στοιχείο της ακολουθίας είναι S Xi = , i=1,2,…,n. 0, αν το i-οστό στοιχείο της ακολουθίας είναι F. Τα αποτελέσματα xi {0,1}, i≥1, μπορεί να είναι διατεταγμένα σε μία γραμμή ή σε ένα κύκλο. Τα στοιχεία της ακολουθίας μπορεί να είναι ανεξάρτητες ή εξαρτημένες δυαδικές τυχαίες μεταβλητές. Μια ροή επιτυχιών ορίζεται ως μια ακολουθία συνεχόμενων επιτυχιών (S) των οποίων προηγούνται και έπονται αποτυχίες (F) ή τίποτα. Ο αριθμός των επιτυχιών σε μια ροή επιτυχιών αναφέρεται ως μήκος της ροής. Η έννοια των ροών έχει χρησιμοποιηθεί στην εφαρμοσμένη πιθανότητα και στη στατιστική συμπερασματολογία. Συγκεκριμένα, η μελέτη του αριθμού των ροών επιτυχιών σύμφωνα με διάφορα σχήματα απαρίθμησης, αποτελεί ένα ενδιαφέρον θέμα από την εποχή του De Moivre (1756). Στις αρχές του 1940, οι ροές χρησιμοποιήθηκαν σε ελέγχους υποθέσεων από τους Wald και Wolfowitz (1940), όπως επίσης και σε στατιστικούς ελέγχους ποιότητας από τους Mosteller (1941) και Wolfowitz (1943). Επιπλέον, έχουν χρησιμοποιηθεί σε πολλούς άλλους τομείς, όπως στη μετεωρολογία, στη μοριακή βιολογία (ακολουθίες DNA), στην αστρονομία, στην οικολογία, στην ψυχολογία, καθώς και στην αξιοπιστία συστημάτων. Η παρούσα εργασία επικεντρώνεται στην τυχαία μεταβλητή που μετρά τον αριθμό των ροών επιτυχιών μήκους τουλάχιστον ίσο με ένα συγκεκριμένο μήκος k (1≤k≤n), δηλαδή στην τυχαία μεταβλητή Gn,k. Θα παρουσιάσουμε μελέτες που έχουν γίνει για τη μεταβλητή αυτή σε ακολουθίες δυαδικών τυχαίων μεταβλητών, οι οποίες είναι διατεταγμένες σε μία γραμμή. Συγκεκριμένα, στο πρώτο κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με ακολουθίες ανεξάρτητων (ισόνομων ή μη) δοκιμών και θα προσδιορίσουμε την κατανομή της τυχαίας μεταβλητής Gn,k μέσω πινάκων πιθανοτήτων μετάβασης (με τη μέθοδο εμβάπτισης σε Μαρκοβιανή αλυσίδα), αναδρομικών σχέσεων, αθροισμάτων διωνυμικών συντελεστών και μέσω αθροισμάτων πολυωνυμικών συντελεστών. Επιπλέον, θα παρουσιάσουμε εκφράσεις για τις πιθανογεννήτριες συναρτήσεις και θα δώσουμε τύπους για τη μέση τιμή και τη διασπορά της τυχαίας μεταβλητής Gn,k. Στη συνέχεια, θα δώσουμε άνω/κάτω φράγματα και προσεγγίσεις για την κατανομή της Gn,k, χρησιμοποιώντας τη μέση τιμή και τη διασπορά της. Ειδικά στην περίπτωση των ανεξάρτητων και ισόνομων δοκιμών, θα μελετήσουμε την προσέγγιση της κατανομής της Gn,k από μια κατανομή Poisson και από μια κανονική κατανομή, και θα δώσουμε εκφράσεις για τη δεσμευμένη κατανομή της Gn,k δοθέντος του αριθμού των επιτυχιών. Στο δεύτερο κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με ακολουθίες εξαρτημένων δοκιμών. Θα μελετήσουμε δύο τύπους εξάρτησης, την ανταλλαξιμότητα και τη Μαρκοβιανή εξάρτηση πρώτης τάξης. Θα δώσουμε εκφράσεις για τη συνάρτηση πιθανότητας και τις ροπές της τυχαίας μεταβλητής Gn,k, καθώς και φράγματα για την κατανομή της. Επίσης, θα μελετήσουμε την τυχαία μεταβλητή ορισμένη σε ακολουθία που προκύπτει από το σχήμα δειγματοληψίας Pόlya-Eggenberger, ως ειδική περίπτωση της ανταλλαξιμότητας. Τέλος, στο τρίτο κεφάλαιο θα παρουσιάσουμε εκφράσεις για τον υπολογισμό της αξιοπιστίας ενός γραμμικού συνεχόμενου-k-από-τα-n-συστήματος αποτυχίας με ανεξάρτητες (ισόνομες ή μη) συνιστώσες, μέσω διωνυμικών συντελεστών, αναδρομικών σχέσεων και της μεθόδου εμβάπτισης σε Μαρκοβιανή αλυσίδα. Επίσης, θα ασχοληθούμε με την εφαρμογή της κατανομής της τυχαίας μεταβλητής Gn,k στην αξιοπιστία γραμμικών συνεχόμενων συστημάτων αποτυχίας. Ως αριθμητικό παράδειγμα για την εφαρμογή των μεθόδων που παρουσιάζονται, θα χρησιμοποιήσουμε την τυχαία μεταβλητή G5,2 και το γραμμικό συνεχόμενο-2-από-τα-5 σύστημα αποτυχίας. / Consider a sequence Χ1, Χ2,..., Χn (n>0) of binary trials with possible outcomes a “success” (S or 1) or a “failure” (F or 0). The outcomes xi {0,1}, i≥1, may be ordered on a line or on a circle. The elements of the sequence may be independent or dependent binary random variables. A success run is defined to be a sequence of consecutive successes preceded and succeeded by failures (F) or by nothing. The number of successes in a success run is referred to as its length. Runs have been used in applied probability and statistical inference. In particular, the study of the number of success runs, under various enumerative schemes, has been used in many areas, such as hypothesis testing, quality control, meteorology, molecular biology (sequences of DNA), radar astronomy, ecology, psychology and system reliability (cf. Balakrishnan and Koutras, 2002). This work concentrates on the random variable Gn,k which counts the number of success runs of length at least equal to a specific length k (1≤k≤n). We will give an overview of results referring to this random variable, defined on sequences of independent (identically distributed or not), exchangeable and first-order Markov dependent random variables, ordered on a line. In particular, we will present the probability mass function of Gn,k obtained by transition probability matrices (using the Markov chain imbedding technique) and/or recursively, by sums of binomial coefficients and by multinomial coefficients. Moreover, expressions for the probability generating function are presented and formulae for the mean value and the variance of Gn,k are given. Besides, we will present lower/upper bounds and approximations for the distribution of Gn,k, by using the mean value and the variance of Gn,k. Especially, in the case of independent and identically distributed trials, we will study the approximation of the distribution of Gn,k by the Poisson and the normal distribution, and we will give expressions for the conditional distribution of Gn,k given the number of successes. Next, we will give expressions for the reliability of a linear consecutive-k-out-of-n:F system with independent (identically distributed or not) components, via binomial coefficients, recursively and via the Markov chain imbedding technique. Also, the reliability function of certain general consecutive systems is deduced using the distribution of the studied random variable Gn,k. To illustrate the theoretical results we will use the random variable G5,2 and the linear consecutive-2-out-of-5:F system.