Θεωρούμε μια ακολουθία από n ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Bernoulli, διατεταγμένες σε κύκλο, με πιθανότητα επιτυχίας της pi, και πιθανότητα αποτυχίας qi. Στην εργασία αυτή αρχικά μελετάται η τυχαία μεταβλητή Nn,kC η οποία παριστάνει το πλήθος των μη επικαλυπτόμενων ροών επιτυχιών μήκους k σε n ανεξάρτητες δοκιμές Bernoulli διατεταγμένες σε κύκλο. Προσδιορίζεται η κατανομή της Nn,kC είτε μέσω της μεθόδου εμβάπτισης της τυχαίας μεταβλητής σε Μαρκοβιανή αλυσίδα (Fu, Koutras, 1994 και Koutras, Papadopoulos, Papastavridis, 1995), είτε μέσω συνδυαστικής ανάλυσης (Charalambides, 1994, Makri, Philippou, 1994 και Makri, Philippou, Psillakis, 2007). Κυκλικό συνεχόμενο k -από-τα-n σύστημα αποτυχίας είναι ένα σύστημα n συνιστωσών, διατεταγμένων σε κύκλο, το οποίο αποτυγχάνει αν και μόνο αν αποτύχουν τουλάχιστον k συνεχόμενες συνιστώσες του. Κυκλικό m-συνεχόμενο k-από-τα-n σύστημα αποτυχίας είναι ένα σύστημα n συνιστωσών, διατεταγμένων σε κύκλο, το οποίο αποτυγχάνει αν και μόνο αν υπάρχουν τουλάχιστον m μη επικαλυπτόμενες ροές από k συνεχόμενες αποτυχημένες συνιστώσες. Μελετάται η σχέση της αξιοπιστίας των παραπάνω συστημάτων με την κατανομή της τυχαίας μεταβλητής Nn,kC και αναπτύσονται μέθοδοι που έχουν δοθεί για τον προσδιορισμό της αξιοπιστίας τους. Δίνονται ακριβείς εκφράσεις της αξιοπιστίας αυτών των συστημάτων μέσω διωνυμικών συντελεστών, πολυωνυμικών συντελεστών, αναδρομικών σχέσεων και μέσω της μεθόδου εμβάπτισης τυχαίας μεταβλητής σε Μαρκοβιανή αλυσίδα. Η μελέτη γίνεται για ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Bernoulli όχι κατ’ανάγκην ισόνομες. Τέλος, παρουσιάζονται αριθμητικά παραδείγματα για την διευκρίνιση των μεθόδων που αναπτύχθηκαν παραπάνω. / Consider a sequence of n independent Bernoulli trials, arranged on a circle with success probability pi. The random variable Nn,kC denoting the number of non overlapping success runs of length k in n independent Bernoulli trials arranged on a circle is studied. The exact distribution of Nn,kC is given, via combinatorial analysis (Charalambides 1994, Makri, Philippou 1994 and Makri, Philippou, Psillakis 2007) and using the Markov chain imbedding technique (Fu, Koutras 1994 and Koutras, Papadopoulos, Papastavridis 1995). Derman, Lieberman and Ross (1982) introduced and studied a circular consecutive k-out-of-n: F system. Such a system consists of n components ordered on a circle and fails if and only if at least k consecutive components fail. A circular m consecutive k-out-of-n: F system consists of n components ordered on a circle and fails if and only if there are at least m non overlapping runs, each of k consecutive failed components. We study the reliability of the above systems via to the distribution of the random variable Nn,kC. Exact formulae for the reliability are given by means of binomial and multinomial coefficients, and using the Markov chain imbedding technique. The study is accomplished for systems with independent components not necessarily with equal probabilities. Numerical examples are given for comparison and to illustrate the theoretical results.

Θεωρούμε μια ακολουθία από n δυαδικά πειράματα. Ροή επιτυχιών μήκους k είναι μια ακολουθία από k συνεχόμενες επιτυχίες οι οποίες έπονται και ακολουθούνται από αποτυχίες ή τίποτα. Στην εργασία αυτή αρχικά μελετάται η τυχαία μεταβλητή Ν(n,k) η οποία παριστάνει τον αριθμό των ροών επιτυχιών μήκους k σε n δυαδικά πειράματα. Προσδιορίζεται η ακριβής κατανομή μέσω συνδιαστικών μεθόδων, αναδρομικών σχέσεων και μέσω της μεθόδου εμβάπτισης τυχαίας μεταβλητής σε Μαρκοβιανή αλυσίδα. Η μελέτη γίνεται για ανεξάρτητες και ισόνομες και για ανεξάρτητες όχι κατ’ ανάγκην ισόνομες δυαδικές ακολουθίες. Μελετάται επίσης η τυχαία μεταβλητή M(n,k)η οποία παριστάνει τον αριθμό των ροών επιτυχιών τουλάχιστον k σε n δυαδικά πειράματα. Ένα συνεχόμενο-k -από-τα-n:F σύστημα αποτυχίας είναι ένα σύστημα n συνιστωσών το οποίο αποτυγχάνει αν και μόνο αν αποτύχουν τουλάχιστον k συνεχόμενες συνιστώσες του. Τα συνεχόμενα-k-από-τα-n:F συστήματα αποτυχίας έχουν προταθεί ως κατάλληλα πρότυπα για συστήματα μεταφοράς πετρελαίου, τηλεπικοινωνιακά συστήματα κ.α. Ένα m-συνεχόμενο-k-από-τα-n:F σύστημα αποτυχίας είναι ένα σύστημα n συνιστωσών το οποίο αποτυγχάνει αν και μόνο αν υπάρχουν τουλάχιστον m ροές από k συνεχόμενες αποτυχημένες συνιστώσες του. Μελετάται η σχέση της αξιοπιστίας των ανωτέρω συστημάτων με τη συνάρτηση πιθανότητας και τη συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής N(n,k). Αναπτύσσονται οι μέθοδοι που έχουν δοθεί για τον προσδιορισμό της αξιοπιστίας τους και δίνονται ακριβείς εκφράσεις της μέσω πολυωνυμικών συντελεστών, διωνυμικών συντελεστών, αναδρομικών σχέσεων και της μεθόδου εμβάπτισης σε Μαρκοβιανή αλυσίδα. Η μελέτη γίνεται για συστήματα με ανεξάρτητες συνιστώσες, γαι συστήματα με ομογενή Μαρκοβιανή εξάρτηση ενός βήματος και για συστήματα με Μαρκοβιανά εξαρτημένες συνιστώσες (k-1) βημάτων. Τέλος παρουσιάζονται αριθμητικά παραδείγματα για περαιτέρω διευκρίνηση και σύγκριση των μεθόδων υπολογισμού της κατανομής της N(n,k) και της αξιοπιστίας των ανωτέρω συστημάτων αποτυχιών. / Consider a sequence of n two state (success-failure) trials. A success run of length k is a sequence of k consecutive successes proceeded and succeeded by failures or nothing. In this thesis the random variable N(n,k) denoting the number of success runs of length k in n binary trials is studied. The exact distribution of N(n,k) is given, via combinatorial analysis, recursive relations and using the Markov chain imbedding technique. The study is carried out for independent but not identically distributed binary sequences. Further, the random variable M(n,k)denoting the number of success runs of length at least k in n binary trials is also studied. A consecutive-k-out-of-n : F system is a system which consists of n components ordered on a line, which fails if and only if at least k consecutive components fail. Such systems have been used to model telecommunication, oil pipeline systems e.t.c. An m-consecutive-k -out-of-n : F system consists of n components ordered on a line, which fails if and only if there are at least m non-overlapping runs of k consecutive failed components. The reliability of the above mentioned systems is related to the cumulative distribution function of the random variable N(n,k) . Exact formulae for the reliability is given by means of binomial and multinomial coefficients, via recursive relations and using the Markov chain imbedding technique. The study is accomplished for systems with independent and Markov dependent components. Finally, numerical examples are given for comparison of the various used methods and to illustrate the theoretical results.