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Piaget and Freudenthal advocated thinking levels. In the 1950's the van Hieles developed a five level model of geometric thought. Judith Land adapted the model in 1990, utilising four levels to teach the concept of functions. These four levels have been considered here in the formation of concepts of sequences and series. The origin and relevance of sequences and series have been studied and the importance of visualisation, patterning and generalisation in the instructional process investigated. A series of lessons on these topics was taught to a group of six higher grade matriculation students of mixed ability and gender. Questionnaires related to student progress through the various levels were answered, categorised, graphed and analysed. Despite the small number of students, results seem to indicate that emphasising visualisation, exploring patterns and generalisation and teaching the topics as a reinvention had made a positive contribution towards progress through the various thought levels. / Mathematics Education / M.A. (Mathematics Education)

Dans cette thèse, nous nous intéressons à un modèle simplifié de corrosion issu du modèle ''Diffusion Poisson Coupled Model'' (DPCM). Nous analysons de manière approfondie le schéma numérique qui a été implémenté dans le code CALIPSO utilisé par l'ANDRA. Il est de type Euler implicite en temps et volumes finis en espace, avec des flux de Scharfetter-Gummel. Nous étudions notamment la convergence de ce schéma ainsi que son comportement asymptotique en différentes limites de paramètres. Enfin, nous explorons différentes possibilités pour augmenter l'ordre en temps. / In this PhD thesis, we are interested in a simplified corrosion model derived from the Diffusion Poisson Coupled Model (DPCM). We analyze the numerical scheme implemented in the CALIPSO code used by the French nuclear waste management agency ANDRA. It is a backward Euler scheme in time and a finite volume scheme in space, with Schafetter-Gummel approximation of the convection-diffusion fluxes. We study the convergence of this scheme and its asymptotic behavior for different limits of parameters. Finally, we compare several higher order schemes in time.

Piaget and Freudenthal advocated thinking levels. In the 1950's the van Hieles developed a five level model of geometric thought. Judith Land adapted the model in 1990, utilising four levels to teach the concept of functions. These four levels have been considered here in the formation of concepts of sequences and series. The origin and relevance of sequences and series have been studied and the importance of visualisation, patterning and generalisation in the instructional process investigated. A series of lessons on these topics was taught to a group of six higher grade matriculation students of mixed ability and gender. Questionnaires related to student progress through the various levels were answered, categorised, graphed and analysed. Despite the small number of students, results seem to indicate that emphasising visualisation, exploring patterns and generalisation and teaching the topics as a reinvention had made a positive contribution towards progress through the various thought levels. / Mathematics Education / M.A. (Mathematics Education)

Cette thèse est consacrée à l'étude de propriétés du laplacien dans trois contextes bien distincts. Dans une première partie, celui-ci nous sera utile pour régulariser des solutions d'équations venues de la mécanique des fluides incompressibles. En application, on montrera un théorème dans la lignée des résultats de J. Serrin et de ses continuateurs. Dans une deuxième partie, le laplacien est vu comme le pendant stationnaire de l'opérateur des ondes sur un graphe, dont les modes et fréquences propres déterminent la propagation de perturbations sur le graphe. On y explore et démêle les liens entre la topologie du graphe, sa forme et sa première fréquence propre non nulle. Dans une dernière partie, le laplacien est pensé comme un opérateur linéaire à diagonaliser dans une base adaptée, objectif dont l'accomplissement est intimement lié à la transformée de Fourier. Deux difficultés majeures apparaissent ici : la non commutativité des groupes auxquels nous nous intéressons d'une part, l'apparition d'une limite singulière de la transformée de Fourier d'autre part. / This thesis is devoted to the study of the laplacian properties in three fully distinct contexts.In a first part, it will be used to smooth solutions of equations coming from incompressible fluid mechanics.As an application, we will show a result in the spirit of J. Serrin and his continuators' theorem.In a second part, the laplacien is seen as the stationary counterpart of the wave operator on a graph, whose eigenmodes and eigenfrequencies determine the propagation of perturbations on the graph.We explore and disentangle the ties between the graph's topology, its shape and its first nonzero eigenfrequency.In the last part, the laplacian is thought of as a linear operator which we wish to diagonalize in an appropriate basis, a goal which is intimately tied to the Fourier transform.Two major difficulties appear in our context : the noncommutativity of the groups of interest on the one hand, the appearance of a singular limit in the Fourier transform on the other hand.

Dans cette thèse, on manipule deux types d'objets fondamentaux de la topologie de contact : les sous-variétés legendriennes des espaces de 1-jets de fonctions dé finies sur une variété M, noté J1(M;R), et la notion intimement liée de fonctions génératrices. On étudie des "opérations" que l'on peut faire sur ces objets, c'est-à-dire des procédures qui construisent (génériquement) de nouvelles sous-variétés legendriennes à partir d'anciennes. On dé finit en particulier les opérations somme et convolution des sous-variétés legendriennes, qui sont conjuguées par une transformation de type transformée de Legendre. Nous montrons que ces opérations se refl ètent harmonieusement dans le monde des fonctions génératrices. Ce second point de vue nous conduit en particulier à nous interroger sur l'effet de nos opérations sur le sélecteur, notion classique de géométrie symplectique dont on adapte la construction à ce contexte. Pour fi nir, on se concentre sur l'espace à trois dimensions J1(R;R) et sur les noeuds legendriens qui admettent (globalement) une fonction génératrice. C'est une condition forte sur les sous-variétés legendriennes, que l'on choisit d'étudier en proposant plusieurs constructions explicites. On termine avec l'étude des notions de cobordisme legendrien naturellement associées, où l'opération somme évoquée plus s'avère tenir une place centrale. / This thesis concerns two types of fundamental objects of the contact topology : Legendrian submanifolds in 1-jet spaces of functions de fined on a manifold M, denoted by J1(M;R), and the closed related notion of generating functions. We study "operations" that build (generically) new Legendrian submanifolds from old ones. In particular, we de fined the operations sum and convolution of Legendrian submanifolds, which are linked by a form of the Legendre transform. We show how the operations are well re flected in terms of generating functions. It offers a second point of view and leads us to wonder the effect of our operations on the selector, which is a classical notion of symplectic geometry, and we adapt its construction to this context. Finally, we focus on the three dimensional space J1(R;R) and Legendrian knots which admit a (global) generating function. It is a strong condition for Legendrian submanifolds, and we choose to examine it by proposing several explicit constructions. We conclude by studying the notions of Legendrian cobordism which are naturally related. The operation sum mentioned before finds there a central role.

Dans cette thèse nous étudions le problème de Cauchy en relativité générale. Motivés par la conjecture de censure cosmique faible formulée par Penrose, nous analysons le problème aux données initiales pour les équations d'Einstein dans le vide en faible régularité. Nous démontrons les deux résultats suivants. o Premièrement, nous nous intéressons aux équations de contrainte pour les données initiales et mettons en place une procédure de prolongement. Plus précisément, étant donné des données initiales pour les équations d'Einstein sur la boule unité dans R3, nous les prolongeons de manière continue en des données globales, asymptotiquement plates sur R3. Les équations de contrainte forment un système couplé d'équations non-lineaires sous-determinées géométriques. La preuve de notre procédure de prolongement repose sur un schéma iteratif où nous séparons ce système en deux problèmes de prolongement decouplés et solubles. Enfin, le résultat de prolongement pour les équations de contrainte est obtenu par un argument de point fixe. o Deuxièment, nous prouvons une version localisée du théorème de courbure L2 de Klainerman-Rodnianski-Szeftel. Nous montrons que, étant données des données initiales pour les équations d'Einstein sur une variété compacte avec bord, le temps d'existence de la solution des équations d'Einstein dans le domaine de dépendance de ces données initiales ne dépend que de normes de basse régularité des données initiales. En particulier, notre résultat est un critère localisé de continuité pour les équations d'Einstein. Notre preuve utilise un argument de localisation où, tout d'abord, nous généralisons la théorie de Cheeger-Gromov de convergence pour les variétés Riemanniennes à notre cas de régularité faible, et ensuite nous appliquons la procédure de prolongement pour les équations de contrainte mentionnée ci-dessus avec un argument de changement d’échelle. / In this thesis we study the Cauchy problem of general relativity. Motivated by the weak cosmic censorship conjecture formulated by Penrose, we analyse the initial value problem for the Einstein vacuum equations in low regularity. We prove the following two results. First, we consider the constraint equations of the initial data and demonstrate an extension procedure. More precisely, given small initial data for the Einstein equations on the unit ball in R3, we continuosly extend it to global, asymptotically flat initial data on R3. The constraint equations for the Einstein vacuum equations are a coupled system of non-linear under-determined geometric elliptic equations. The proof of our extension procedure is based on an iterative scheme where we split this system into two decoupled, solvable extension problems. The extension result for the constraint equations follows then by a fix point argument. Second, we prove a localised version of the bounded L2-curvature theorem by Klainerman-Rodnianski-Szeftel. We show that given low regularity initial data to the Einstein equations on a compact manifold with boundary, the time of existence of the solution to the Einstein equations in the domain of dependence of the initial data depends only on low regularity geometric data. In particular, this result is a localised continuation criterion for the Einstein vacuum equations. Our proof uses a localisation argument where we first generalise the known Cheeger-Gromov convergence theory for Riemannian manifolds to our low regularity setting, and then apply the above extension procedure for the constraint equations with a scaling argument.

Les méthodes de Monte Carlo par chaines de Markov MCMC sont des outils mathématiques utilisés pour simuler des mesures de probabilités π définies sur des espaces de grandes dimensions. Une des questions les plus importantes dans ce contexte est de savoir à quelle vitesse converge la chaine de Markov P vers la mesure invariante π. Pour mesurer la vitesse de convergence de la chaine de Markov P vers sa mesure invariante π nous utilisons la distance de la variation totale. Il est bien connu que la vitesse de convergence d’une chaine de Markov réversible P dépend de la deuxième plus grande valeur propre en valeur absolue de la matrice P notée β!. Une partie importante dans l’estimation de β! consiste à estimer la deuxième plus grande valeur propre de la matrice P, qui est notée β1. Diaconis et Stroock (1991) ont introduit une méthode basée sur l’inégalité de Poincaré pour estimer β1 pour le cas général des chaines de Markov réversibles avec un nombre fini d'état. Dans cette thèse, nous utilisons la méthode de Shiu et Chen (2015) pour étudier le cas de l'algorithme de l'échantillonneur de Gibbs pour le modèle d'Ising unidimensionnel avec trois états ou plus appelé aussi modèle de Potts. Puis, nous généralisons le résultat de Shiu et Chen au cas du modèle d’Ising deux- dimensionnel avec deux états. Les résultats obtenus minorent ceux introduits par Ingrassia (1994). Puis nous avons pensé à perturber l'échantillonneur de Gibbs afin d’améliorer sa vitesse de convergence vers l'équilibre. / Monte Carlo Markov chain methods MCMC are mathematical tools used to simulate probability measures π defined on state spaces of high dimensions. The speed of convergence of this Markov chain X to its invariant state π is a natural question to study in this context.To measure the convergence rate of a Markov chain we use the total variation distance. It is well known that the convergence rate of a reversible Markov chain depends on its second largest eigenvalue in absolute value denoted by β!. An important part in the estimation of β! is the estimation of the second largest eigenvalue which is denoted by β1.Diaconis and Stroock (1991) introduced a method based on Poincaré inequality to obtain a bound for β1 for general finite state reversible Markov chains.In this thesis we use the Chen and Shiu approach to study the case of the Gibbs sampler for the 1−D Ising model with three and more states which is also called Potts model. Then, we generalize the result of Shiu and Chen (2015) to the case of the 2−D Ising model with two states.The results we obtain improve the ones obtained by Ingrassia (1994). Then, we introduce some method to disrupt the Gibbs sampler in order to improve its convergence rate to equilibrium.

Θεωρούμε μια ακολουθία από n δυαδικά πειράματα. Ροή επιτυχιών μήκους k είναι μια ακολουθία από k συνεχόμενες επιτυχίες οι οποίες έπονται και ακολουθούνται από αποτυχίες ή τίποτα. Στην εργασία αυτή αρχικά μελετάται η τυχαία μεταβλητή Ν(n,k) η οποία παριστάνει τον αριθμό των ροών επιτυχιών μήκους k σε n δυαδικά πειράματα. Προσδιορίζεται η ακριβής κατανομή μέσω συνδιαστικών μεθόδων, αναδρομικών σχέσεων και μέσω της μεθόδου εμβάπτισης τυχαίας μεταβλητής σε Μαρκοβιανή αλυσίδα. Η μελέτη γίνεται για ανεξάρτητες και ισόνομες και για ανεξάρτητες όχι κατ’ ανάγκην ισόνομες δυαδικές ακολουθίες. Μελετάται επίσης η τυχαία μεταβλητή M(n,k)η οποία παριστάνει τον αριθμό των ροών επιτυχιών τουλάχιστον k σε n δυαδικά πειράματα. Ένα συνεχόμενο-k -από-τα-n:F σύστημα αποτυχίας είναι ένα σύστημα n συνιστωσών το οποίο αποτυγχάνει αν και μόνο αν αποτύχουν τουλάχιστον k συνεχόμενες συνιστώσες του. Τα συνεχόμενα-k-από-τα-n:F συστήματα αποτυχίας έχουν προταθεί ως κατάλληλα πρότυπα για συστήματα μεταφοράς πετρελαίου, τηλεπικοινωνιακά συστήματα κ.α. Ένα m-συνεχόμενο-k-από-τα-n:F σύστημα αποτυχίας είναι ένα σύστημα n συνιστωσών το οποίο αποτυγχάνει αν και μόνο αν υπάρχουν τουλάχιστον m ροές από k συνεχόμενες αποτυχημένες συνιστώσες του. Μελετάται η σχέση της αξιοπιστίας των ανωτέρω συστημάτων με τη συνάρτηση πιθανότητας και τη συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής N(n,k). Αναπτύσσονται οι μέθοδοι που έχουν δοθεί για τον προσδιορισμό της αξιοπιστίας τους και δίνονται ακριβείς εκφράσεις της μέσω πολυωνυμικών συντελεστών, διωνυμικών συντελεστών, αναδρομικών σχέσεων και της μεθόδου εμβάπτισης σε Μαρκοβιανή αλυσίδα. Η μελέτη γίνεται για συστήματα με ανεξάρτητες συνιστώσες, γαι συστήματα με ομογενή Μαρκοβιανή εξάρτηση ενός βήματος και για συστήματα με Μαρκοβιανά εξαρτημένες συνιστώσες (k-1) βημάτων. Τέλος παρουσιάζονται αριθμητικά παραδείγματα για περαιτέρω διευκρίνηση και σύγκριση των μεθόδων υπολογισμού της κατανομής της N(n,k) και της αξιοπιστίας των ανωτέρω συστημάτων αποτυχιών. / Consider a sequence of n two state (success-failure) trials. A success run of length k is a sequence of k consecutive successes proceeded and succeeded by failures or nothing. In this thesis the random variable N(n,k) denoting the number of success runs of length k in n binary trials is studied. The exact distribution of N(n,k) is given, via combinatorial analysis, recursive relations and using the Markov chain imbedding technique. The study is carried out for independent but not identically distributed binary sequences. Further, the random variable M(n,k)denoting the number of success runs of length at least k in n binary trials is also studied. A consecutive-k-out-of-n : F system is a system which consists of n components ordered on a line, which fails if and only if at least k consecutive components fail. Such systems have been used to model telecommunication, oil pipeline systems e.t.c. An m-consecutive-k -out-of-n : F system consists of n components ordered on a line, which fails if and only if there are at least m non-overlapping runs of k consecutive failed components. The reliability of the above mentioned systems is related to the cumulative distribution function of the random variable N(n,k) . Exact formulae for the reliability is given by means of binomial and multinomial coefficients, via recursive relations and using the Markov chain imbedding technique. The study is accomplished for systems with independent and Markov dependent components. Finally, numerical examples are given for comparison of the various used methods and to illustrate the theoretical results.