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Previous issue date: 2016-08-24 / Fundo Mackenzie de Pesquisa / The understanding of how the composition of cellular automata rules can perform prede
ned computations may contribute to the general notion of emerging computation by
means of locally processing components. In this context, we propose a solution to the
MODn Problem, which is the determination of whether the number of 1-bits in a binary
string is perfectly divisible by the positive integer n > 1. The solution is a composition of
one-dimensional cellular automata rules, i.e., the application of di erent rules on a lattice
with periodic boundary conditions, which are replaced after some iterations, and all of
them with maximum radius equal to n 1. In this work, the (XU; LEE; CHAU, 2003)
solution for MOD3 Problem (n = 3) is extended for any value of n, and the solution is
given for any lattice size N that is co-prime to n. In this generalised solution, the number
of iterations depends only on N, with O(N2). This solution relies upon two essential classes
of rules, that have been de ned herein: the Replacement rules, that replace a certain
amount of identical end bits on the lattice with the opposite value, and the Grouping
rules, that group isolated strings of identical and consecutive bits on the lattice, to larger
strings of the same bit value. Furthermore, we also show how the solution can be simpli-
ed in terms of a reduction on the number of required rules, by de ning some operations
that involve the rules' active state transitions, i.e., those that change the value of the
centre cell of the neighbourhood. To this end, we de ned the operations of Partitioning
(the separation of the active transitions of a rule in di erent rules), Joining (the union of
the all active transitions of di erent rules in the same rule), and Merging (the joining of
all active transitions of the rules involved, but removing some of them or even adding new
active transitions to get the desired adjustments. Using the same concepts and methodology, we proposed a x for the only rule that had been reported in the literature for
solving the MOD2 Problem, which is known as the Parity Problem. / A compreensão de como uma composição de regras de autômatos celulares consegue realizar
cálculos computacionais pré-de finidos pode contribuir para a noção geral de computação emergente por meio de processamentos locais de alguns componentes. Neste contexto, propõe-se uma solucão para o Problema MODn, que determina se o número de bits 1 em uma cadeia binária de tamanho N é perfeitamente divisível por um número
inteiro positivo n > 1. A solução é uma composicão de regras de autômatos celulares unidimensionais,
ou seja, a aplicacão de regras diferentes, sobre um reticulado em condição de
contorno periódica, que são trocadas após algumas iteracões, sendo todas de raio máximo
igual a n - 1. Neste trabalho, a solução de (XU; LEE; CHAU, 2003) para o Problema
MOD3 (n = 3) é expandida para qualquer valor de n, mas observada a condição que N e n
devem ser números primos entre si. Na solução generalizada obtida, a quantidade total de
iterações depende somente de N com O(N2). Essa solução se fundamenta em duas classes
essenciais de regras, que foram aqui de nidas: as regras de Substituição, que trocam
uma determinada quantidade de bits iguais e extremos do reticulado por bits de valores
opostos, e as regras de Agrupamento, que juntam cadeias isoladas de bits idênticos e consecutivos
no reticulado, ás maiores cadeias do mesmo valor do bit. Além disso, também
é mostrado como podemos simpli ficar esta solução, reduzindo o número de regras necessárias, através de operações que envolvem as transições de estado ativas destas regras,
i.e., aquelas que alteram o valor da célula central da vizinhança. Para tanto, são de nidas
as operações de Particionamento (separação de transições ativas de uma regra em regras
distintas), Junção (união de transições ativas de regras distintas em uma mesma regra)
e Fusão (junção de todas as transições ativas das regras envolvidas, podendo remover
algumas delas ou até mesmo incluir novas transições ativas para adequações desejadas).
Utilizando-se dos mesmos conceitos e metodologia, propusemos ainda uma correção para
a única regra proposta na literatura para resolver o Problema MOD2, o qual é conhecido
como Problema da Paridade.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:tede.mackenzie.br:tede/3200 |
| Date | 24 August 2016 |
| Creators | Martins, Claudio Luis de Meo |
| Contributors | Oliveira, Pedro Paulo Balbi de, Monteiro, Luiz Henrique Alves, Mendonça, José Ricardo Gonçalves de, Barbosa, Valmir Carneiro, Silva, Leandro Augusto da |
| Publisher | Universidade Presbiteriana Mackenzie, Engenharia Elétrica, UPM, Brasil, Escola de Engenharia Mackenzie (EE) |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | English |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/doctoralThesis |
| Format | application/pdf |
| Source | reponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações do Mackenzie, instname:Universidade Presbiteriana Mackenzie, instacron:MACKENZIE |
| Rights | http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/, info:eu-repo/semantics/openAccess |
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