Je traite du décodage de deux grandes familles de codes algébriques :<br />les codes cycliques binaires et les codes de Reed-Solomon sur un<br />alphabet $q$-aire (ainsi que les codes géométriques). En ce qui<br />concerne les codes cycliques, ceux-ci n'ont pas d'algorithme générique<br />de décodage, mis à part les codes BCH ou assimilés (bornes de<br />Hartman-Tzeng, de Roos). Au premier rang des codes intéressants pour<br />lesquels on ne connaît pas d'algorithme de décodage {\em générique}<br />figurent les {\em codes à résidus quadratiques}, qui ont de bons<br />paramètres. J'étudie une mise en équation du problème du décodage par<br />syndrôme de ces codes, que l'on peut résoudre avec des outils de base<br />de Gröbner. On obtient ainsi des algorithmes de décodage de complexité<br />raisonnable pour ces codes. Ces travaux ont fait l'objet d'une partie<br />de la thèse de Magali Bardet.<br /><br /><br />En ce qui concerne les codes de Reed-Solomon, ceux-ci peuvent être vus<br />comme des {\em codes d'évaluation}, et le problème de décodage associé<br />revient à approcher une fonction par des polynômes de base degré. De<br />grands progrès ont été réalisés par Guruswami et Sudan, qui ont trouvé<br />un algorithme qui décode bien au delà des rayons classiques de<br />décodage, en relaxant l'hypothèse que la solution doit être unique. Je<br />propose d'améliorer certaines étapes de cet algorithme, en le rendant<br />plus rapide et déterministe (notamment en évitant une factorisation de<br />polynôme sur un corps fini), dans le cas des codes Reed-Solomon, et<br />dans le cas des codes géométriques. Ces travaux ont été effectués en<br />encadrant Lancelot Pecquet.<br /><br />Du point de vue théorique, j'ai étudié des généralisations<br />multivariées, qui correspondent à certains codes: les codes produits<br />de Reed-Solomon, et les codes de Reed-Muller. On obtient ainsi un bon<br />rayon de décodage, dans le cas des codes de petit taux. Dans le cas de<br />codes de Reed-Muller sur l'alphabet binaire, Cédric Tavernier, dans sa<br />thèse sous ma direction, a produit et implanté un algorithme efficace,<br />plus que ceux basés sur l'algorithme de Guruswami-Sudan.<br /><br /><br /><br />J'ai étudié les aspects négatifs du problème de décodage par syndrôme<br />des codes linéaires, et du décodage des codes de Reed-Solomon, quand<br />le nombre d'erreurs est élevé, en but d'application en cryptographie.<br />Dans le premier cas, j'ai construit une fonction de hachage<br />cryptographique à réduction de sécurité, c'est-à-dire que trouver une<br />faiblesse dans le fonction de hachage revient à résoudre un problème<br />réputé difficile de codage. J'ai aussi construit une nouvelle<br />primitive de chiffrement à clé publique, reposant sur la difficulté de<br />décoder les codes de Reed-Solomon.<br /><br />Dans un domaine plus appliqué, j'ai proposé avec Raghav Bhaskar un<br />nouvel algorithme d'échange de clé multi-utilisateurs, fondé sur le<br />problème du logarithme discret. Raghav Bhaskar a fourni une preuve de<br />sécurité de ce protocole, pendant sa thèse sous ma direction. Nous<br />avons aussi étudié comment adapter ce protocole aux pertes de<br />messages, car notre protocole est un des seuls qui est robuste à ces<br />pertes.