The main goal of this research is to estimate the model parameters and to detect multiple change points in the long memory parameter of Gaussian ARFIMA(p, d, q) processes. Our approach is Bayesian and inference is done on wavelet domain. Long memory processes have been widely used in many scientific fields such as economics, finance and computer science. Wavelets have a strong connection with these processes. The ability of wavelets to simultaneously localize a process in time and scale domain results in representing many dense variance-covariance matrices of the process in a sparse form. A wavelet-based Bayesian estimation procedure for the parameters of Gaussian ARFIMA(p, d, q) process is proposed. This entails calculating the exact variance-covariance matrix of given ARFIMA(p, d, q) process and transforming them into wavelet domains using two dimensional discrete wavelet transform (DWT2). Metropolis algorithm is used for sampling the model parameters from the posterior distributions. Simulations with different values of the parameters and of the sample size are performed. A real data application to the U.S. GNP data is also reported. Detection and estimation of multiple change points in the long memory parameter is also investigated. The reversible jump MCMC is used for posterior inference. Performances are evaluated on simulated data and on the Nile River dataset.

The main goal of this research is to estimate the model parameters and to detect multiple change points in the long memory parameter of Gaussian ARFIMA(p, d, q) processes. Our approach is Bayesian and inference is done on wavelet domain. Long memory processes have been widely used in many scientific fields such as economics, finance and computer science. Wavelets have a strong connection with these processes. The ability of wavelets to simultaneously localize a process in time and scale domain results in representing many dense variance-covariance matrices of the process in a sparse form. A wavelet-based Bayesian estimation procedure for the parameters of Gaussian ARFIMA(p, d, q) process is proposed. This entails calculating the exact variance-covariance matrix of given ARFIMA(p, d, q) process and transforming them into wavelet domains using two dimensional discrete wavelet transform (DWT2). Metropolis algorithm is used for sampling the model parameters from the posterior distributions. Simulations with different values of the parameters and of the sample size are performed. A real data application to the U.S. GNP data is also reported. Detection and estimation of multiple change points in the long memory parameter is also investigated. The reversible jump MCMC is used for posterior inference. Performances are evaluated on simulated data and on the Nile River dataset.

[pt] Esta tese de doutorado relaciona a estimação da diferenciação fracionária, como medida de memória longa, com o intervalo de tempo entre observações contíguas de uma série temporal. Em teoria, o grau de diferenciação é constante em relação à diminuição da freqüência de observação, não importando se para diminuir a freqüência de observação ignore-se as observações intermediárias ou agregue-se as observações temporalmente. Entretanto, para o caso de se obter séries amostradas a uma freqüência mais baixa através de se ignorar observações intermediárias, observamos nesta tese, através de simulações Monte Carlo, um corportamento diverso. Quando se amostra toda n-ésima observação de uma série, n>1, nota-se um considerável vício de estimação do grau de diferenciação (ou parâmetro de memória longa). O viés é em direção de zero, sendo positivo para valores negativos do parâmetro de memória longa e negativo para valores positivos do parâmetro de memória longa, d. Para valores positivos de d, o viés tem natureza aproximadamente quadrática, diminuindo para valores de d próximos de zero ou 0,5 e sendo mais intenso para valores em torno de 0,25. Para valores negativos de d, o viés é tal que a estimativa fica sempre bem próxima de zero, ou seja, é da magnitude de d. Ao considerarmos o efeito de aliasing (em que componentes de período menor que o intervalo de observação são observados como se tivessem freqüências mais baixas) conseguimos fórmulas heurísticas que explicam satisfatoriamente esse vício, produzindo resultados bastante semelhantes ao verificado nas simulações Monte Carlo. Por outro lado, se a diminuição na freqüência de observação é induzida por agregação temporal, não há vício considerável na estimação, como também mostramos atrvés de simulações Monte Carlo. Propõe-se nesta tese ainda uma maneira de melhorar a estimação da memória longa através da combinação de estimativas da série amostrada a diferentes freqüências. Em alguns casos, consegue-se reduções de até 30% no desvio-padrão da estimativa combinada em relação à original, sem causar viés significativo. / [en] This thesis investigates the relationship between the estimation of the fractional integration, as a measure of long memory, and the time interval between observations of a time series. In theory, the fractional integration is invariant to the frequency of observation. However, skip- sampling induces a considerable bias in the estimation, as shown by Monte Carlo simulations. The aliasing effect explains the bias and suggests formulas for it, which yield results very close to the simulated ones. On the other hand, temporal aggregation does not induce relevant bias to the long memory estimation. In addition, a combination of estimates from the same data sampled at different rates is proposed, achieving in some cases reduction of 30% in the root mean squared estimation error. / [es] Esta tesis de doctorado relaciona la estimación de la diferenciación fraccionaria, como medida de memoria prolongada, con el intervalo de tiempo entre observaciones contíguas de una serie de tiempo. En teoría, el grado de diferenciación es constante en relación a la disminución de la frecuencia de observación, sin importar que para disminuir la frecuencia de observación se ignoren las observaciones intermedias o se agreguen observaciones temporalmente. Sin embargo, en esta tesis se observa, a través de simulaciones Monte Carlo, un comportamiento diverso en el caso de obtener series muestreadas a una frecuencia más baja ignorando observaciones intermedias. Cuando se muestrea la n-ésima observación de una serie, n>1, se nota un considerable sesgo de estimación del grado de diferenciación (o parámetro de memoria longa). El sesgo está en dirección de cero, siendo positivo para valores negativos del parámetro de memoria prolongada y negativo para valores positivos del parámetro de memoria prolongada, d. Para valores positivos de d, el sesgo tiene una naturaleza aproximadamente cuadrática, disminuyendo para valores de d próximos de cero o 0,5 y siendo más intenso para valores en torno de 0,25. Para valores negativos de d, el sesgo es tal que la estimativa está siempre bien próxima de cero, o sea, es de la magnitude de d. Al considerar el efecto de aliasing (en que componentes de período menor que el intervalo de observación son observados como se tuvieran frecuencias más bajas) conseguimos fórmulas heurísticas que explican satisfactoriamente ese sesgo, produciendo resultados bastante semejantes a los obtenidos en las simulaciones Monte Carlo. Por otro lado, si la disminución en la frecuencia de observación se induce por agregación temporal, no hay sesgo considerable en la estimación, como también mostramos a través de simulaciones Monte Carlo. Se propone en esta tesis una forma de mejorar la estimación de la memoria prolongada a través de la combinación de estimativas de la serie amostrada a diferentes frecuencias. En algunos casos, se consiguen reducciones de hasta 30% en la desviación estándar de la estimativa combinada en relación a la original, sin causar sesgo significativo.