In chapter 3 of this thesis, I discuss in some detail the historical development of energy localization, emphasizing the particular physical concepts which are important for the understanding of this phenomenon. Furthermore, I describe the mathematical concepts of a discrete breather and homoclinic orbits, which are intimately connected between them and constitute the main object of study of this dissertation. / -

We examine a class of planar area preserving mappings and give a geometric condition that guarantees the existence of homoclinic points. To be more precise, let $f,g:R \to R$ be $C^1$ functions with domain all of $R$. Let $F:R^2 \to R^2$ denote a horizontal reflection in the curve $x=-f(y)$, and let $G:R^2 \to R^2$ denote a vertical reflection in the curve $y=g(x)$. We consider maps of the form $T=G \circ F$ and show that a simple geometric condition on the fixed point sets of $F$ and $G$ leads to the existence of a homoclinic point for $T$. / Thesis (Ph.D, Mathematics & Statistics) -- Queen's University, 2013-09-17 14:22:35.72

Estudamos o efeito de uma tangência homoclínica na variação da entropia topológica. Provamos que um difeomorfismo com uma tangência homoclínica associada a uma peça básica com máxima entropia é um ponto de variação da entropia na topologia \'C POT. INFINITO\'. Além disso, discutimos o problema variacional na topologia \'C POT.1\' e apresentamos um exemplo de descontinuidade da entropia em dimensão três. Um resultado devido a Newhouse afirma que um difeomorfismo genérico sobre uma superfície com um conjunto homoclínico que contém uma tangência correspondente a um ponto periódico dissipativo, não pode ter medidas de SRB suportadas no conjunto homoclínico. Generalizamos este resultado para dimensões maiores, no caso em que a tangência homoclínica está associada com uma sela seccionalmente dissipativa / We study the effect of a homoclinic tangency in the variation of the topological entropy. We prove that a diffeomorphism with a homoclinic tangency associated to a basic hyperbolic set with maximal entropy is a point of entropy variation in the \'C POT THE INFINITE\' topology. We also discuss variational problem in \'C POT.1\' topology and we show an example of discontinuity of the entropy in dimension three. A result due to Newhouse states that a generic surface diffeomorphism with a homoclinic set containing a tangency associated to a dissipative periodic point, can not have SRB (Sinai-Ruelle-Bowen) measures supported on the homoclinic set. We generalize this result to higher dimensions, in the case where the homoclinic tangency is associated to a sectionally dissipative saddle

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Orientador: Claudio Aguinaldo Buzzi / Banca: Marco Antônio Teixeira / Banca: Paulo Ricardo da Silva / Resumo: O objetivo principal desse trabalho é provar, sob certas hipóteses de transversalidade e sobre os autovalores, que se uma família a um-parâmetro de equações diferenciais possuindo, para um determinado valor do parâmetro, um laço homoclínico conectado a um ponto de equilíbrio do tipo sela, então existe uma variedade central invariante, de dimensão dois, que contém o laçco homoclínico, que contém todas as trajetórias que permanecem numa vizinhança do laço homoclínico e ainda é tangente ao autoespaço gerado por autovetores associados aos autovalores que determinam o laço homoclínico. / Abstract: The main goal of this work is to prove, under certain hypothesis of transversality and about the eigenvalues, that if a one-parameter family of ordinary differential equations possess, for a determined value of the parameter, a homoclinic loop connected to an equilibrium point of type saddle, then there exists an invariant center manifold, of dimension two, that contains the homoclinic loop, that contains all trajectories which stay in a small neighborhood of the homoclinic loop and that is tangent to the eigenspace spanned by the eigenvectors associated to the eigenvalues that determine the homoclinic loop. / Mestre

Estudamos o efeito de uma tangência homoclínica na variação da entropia topológica. Provamos que um difeomorfismo com uma tangência homoclínica associada a uma peça básica com máxima entropia é um ponto de variação da entropia na topologia \'C POT. INFINITO\'. Além disso, discutimos o problema variacional na topologia \'C POT.1\' e apresentamos um exemplo de descontinuidade da entropia em dimensão três. Um resultado devido a Newhouse afirma que um difeomorfismo genérico sobre uma superfície com um conjunto homoclínico que contém uma tangência correspondente a um ponto periódico dissipativo, não pode ter medidas de SRB suportadas no conjunto homoclínico. Generalizamos este resultado para dimensões maiores, no caso em que a tangência homoclínica está associada com uma sela seccionalmente dissipativa / We study the effect of a homoclinic tangency in the variation of the topological entropy. We prove that a diffeomorphism with a homoclinic tangency associated to a basic hyperbolic set with maximal entropy is a point of entropy variation in the \'C POT THE INFINITE\' topology. We also discuss variational problem in \'C POT.1\' topology and we show an example of discontinuity of the entropy in dimension three. A result due to Newhouse states that a generic surface diffeomorphism with a homoclinic set containing a tangency associated to a dissipative periodic point, can not have SRB (Sinai-Ruelle-Bowen) measures supported on the homoclinic set. We generalize this result to higher dimensions, in the case where the homoclinic tangency is associated to a sectionally dissipative saddle

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Orientador: Vanderlei Minori Horita / Banca: Ali Tahzibi / Banca: Paulo Ricardo Silva / Resumo: Estudamos intersecções homoclínicas de variedades estável e instável de pontos peródicos. Toda intersecção homoclínica produz um comportamento curioso na dinâmiôa. Nosso modelo de tal fenômeno é a famosa ferradura de Smale, a qual é um conjunto hiperbólico para um difeomorfismo. Além disso, estudamos dinâmica não hiperbólica cuja perda de hiperbolicidade é divido à tangências homoclínicas. Elas tem um papel central na teoria de sistemas dinâmicos. O desdobramento de uma tangência homoclínica produz dinâmicas muito interessantes. Neste trabalho estudamos a criação de cascatas de bifurcações de duplicação de período e um esquema de renormalização para uma tangência homoclínica. / Abstract: We study homoclinic intersection of stable and unstable manifolds of periodic points. Every homoclinic intersection produce a intricate behavior of the dynamics. Our model of such phenomena is the so called Smalesþs horseshoe, which is a hyperbolic set for a di eomorphism. We also study non hyperbolic dynamics whose lack of hyperbolicity is due to homoclinic tangencies. They play a central role in the theory of dynamical systems. The unfolding of a homoclinic tangency produce many interesting dynamics. In this work we study creation of cascade of period doubling bifurcations and a renormalization scheme for a homoclinic tangency. / Mestre