<p>Detta arbete är ett examensarbete i matematik på kandidatnivå vid Växjö universitet. Det är en studie av kodningsteori i allmänhet med fokusering på cykliska koder och Reed-Solomon-koder i synnerhet. Reed-Solomon-koderna används för att skapa McElieces kryptosystem. En kortfattad analys av McElieces kryptosystems säkerhet görs tillsammans med en genomgång av kända sätt att forcera denna typ av kryptosystem. Här visar det sig att användning av Reed-Solomon-kod försvagar kryptosystemet i förhållande till om den ursprungligt föreslagna Goppa-koden används. För att kunna göra denna säkerhetsanalys görs också en kortfattad genomgång av komplexitetsteori och vad det innebär att ett problem är NP-fullständigt.</p><p><strong>Nyckelord: </strong>Kodningsteori, Kodteori, Cykliska koder, BCH-koder, Reed-Solomon-koder, McElieces kryptosystem, Kryptering, Kodforcering, Komplexitetsteori, NP-fullständigt</p> / <p>This work is produced on bachelor level in mathematics at University of Växjö. It is a study of coding theory with focus on cyclic codes in general and Reed-Solomon codes in detail. Reed-Solomon codes are used for implementing McEliece's crypto system. A short analysis of McEliece's crypto system security is also made together with a description of some known ways to break this type of cryptosystem. It is shown that using Reed-Solomon codes weaken this cryptosystem compared to using the original supposed Goppa codes. The security analyse also need a short summary of complexity theory and what it means that a problem is NP-complete.</p><p><strong>Keywords:</strong> Coding theory, Cyclic codes, BCH codes, Reed-Solomon codes, McEliece's cryptography system, Cryptography, Code breaking, Complexity theory, NP-complete</p>

Contrairement aux protocoles cryptographiques fondés sur la théorie des nombres, les systèmes de chiffrement basés sur les codes correcteurs d’erreurs semblent résister à l’émergence des ordinateurs quantiques. Un autre avantage de ces systèmes est que le chiffrement et le déchiffrement sont très rapides, environ cinq fois plus rapide pour le chiffrement, et 10 à 100 fois plus rapide pour le déchiffrement par rapport à RSA. De nos jours, l’intérêt de la communauté scientifique pour la cryptographie basée sur les codes est fortement motivé par la dernière annonce de la “National Institute of Standards and Technology" (NIST), qui a récemment initié le projet intitulé “Post-Quantum cryptography Project". Ce projet vise à définir de nouveaux standards pour les cryptosystèmes résistants aux attaques quantiques et la date limite pour la soumission des cryptosystèmes à clé publique est fixée pour novembre 2017. Une telle annonce motive certainement à proposer de nouveaux protocoles cryptographiques basés sur les codes, mais aussi à étudier profondément la sécurité des protocoles existants afin d’écarter toute surprise en matière de sécurité. Cette thèse suit cet ordre d’idée en étudiant la sécurité de plusieurs protocoles cryptographiques fondés sur la théorie des codes correcteurs d’erreurs. Nous avons commencé par l’étude de la sécurité d’une version modifiée du cryptosystème de Sidelnikov, proposée par Gueye et Mboup [GM13] et basée sur les codes de Reed-Muller. Cette modification consiste à insérer des colonnes aléatoires dans la matrice génératrice (ou de parité) secrète. La cryptanalyse repose sur le calcul de carrés du code public. La nature particulière des codes de Reed-Muller qui sont définis au moyen de polynômes multivariés binaires, permet de prédire les valeurs des dimensions des codes carrés calculés, puis permet de récupérer complètement en temps polynomial les positions secrètes des colonnes aléatoires. Notre travail montre que l’insertion de colonnes aléatoires dans le schéma de Sidelnikov n’apporte aucune amélioration en matière de sécurité. Le résultat suivant est une cryptanalyse améliorée de plusieurs variantes du cryptosystème GPT qui est un schéma de chiffrement en métrique rang utilisant les codes de Gabidulin. Nous montrons qu’en utilisant le Frobenius de façon appropriée sur le code public, il est possible d’en extraire un code de Gabidulin ayant la même dimension que le code de Gabidulin secret mais avec une longueur inférieure. Le code obtenu corrige ainsi moins d’erreurs que le code secret, mais sa capacité de correction d’erreurs dépasse le nombre d’erreurs ajoutées par l’expéditeur et par conséquent, un attaquant est capable de déchiffrer tout texte chiffré, à l’aide de ce code de Gabidulin dégradé. Nos résultats montrent qu’en fin de compte, toutes les techniques existantes visant à cacher la structure algébrique des codes de Gabidulin ont échoué. Enfin, nous avons étudié la sécurité du système de chiffrement de Faure-Loidreau [FL05] qui est également basé sur les codes de Gabidulin. Inspiré par les travaux précédents et, bien que la structure de ce schéma diffère considérablement du cadre classique du cryptosystème GPT, nous avons pu montrer que ce schéma est également vulnérable à une attaque polynomiale qui récupère la clé privée en appliquant l’attaque d’Overbeck sur un code public approprié. Comme exemple, nous arrivons en quelques secondes à casser les paramètres qui ont été proposés comme ayant un niveau de sécurité de 80 bits. / Contrary to the cryptosystems based on number theory, the security of cryptosystems based on error correcting codes appears to be resistant to the emergence of quantum computers. Another advantage of these systems is that the encryption and decryption are very fast, about five times faster for encryption, and 10 to 100 times faster for decryption compared to RSA cryptosystem. Nowadays, the interest of scientific community in code-based cryptography is highly motivated by the latest announcement of the National Institute of Standards and Technology (NIST). They initiated the Post-Quantum cryptography Project which aims to define new standards for quantum resistant cryptography and fixed the deadline for public key cryptographic algorithm submissions for November 2017. This announcement motivates to study the security of existing schemes in order to find out whether they are secure. This thesis thus presents several attacks which dismantle several code-based encryption schemes. We started by a cryptanalysis of a modified version of the Sidelnikov cryptosystem proposed by Gueye and Mboup [GM13] which is based on Reed-Muller codes. This modified scheme consists in inserting random columns in the secret generating matrix or parity check matrix. The cryptanalysis relies on the computation of the square of the public code. The particular nature of Reed-Muller which are defined by means of multivariate binary polynomials, permits to predict the values of the dimensions of the square codes and then to fully recover in polynomial time the secret positions of the random columns. Our work shows that the insertion of random columns in the Sidelnikov scheme does not bring any security improvement. The second result is an improved cryptanalysis of several variants of the GPT cryptosystem which is a rank-metric scheme based on Gabidulin codes. We prove that any variant of the GPT cryptosystem which uses a right column scrambler over the extension field as advocated by the works of Gabidulin et al. [Gab08, GRH09, RGH11] with the goal to resist Overbeck’s structural attack [Ove08], are actually still vulnerable to that attack. We show that by applying the Frobeniusoperator appropriately on the public key, it is possible to build a Gabidulin code having the same dimension as the original secret Gabidulin code, but with a lower length. In particular, the code obtained by this way corrects less errors than thesecret one but its error correction capabilities are beyond the number of errors added by a sender, and consequently an attacker is able to decrypt any ciphertext with this degraded Gabidulin code. We also considered the case where an isometrictransformation is applied in conjunction with a right column scrambler which has its entries in the extension field. We proved that this protection is useless both in terms of performance and security. Consequently, our results show that all the existingtechniques aiming to hide the inherent algebraic structure of Gabidulin codes have failed. To finish, we studied the security of the Faure-Loidreau encryption scheme [FL05] which is also a rank-metric scheme based on Gabidulin codes. Inspired by our precedent work and, although the structure of the scheme differs considerably from the classical setting of the GPT cryptosystem, we show that for a range of parameters, this scheme is also vulnerable to a polynomial-time attack that recovers the private key by applying Overbeck’s attack on an appropriate public code. As an example we break in a few seconds parameters with 80-bit security claim.

The doctoral thesis deals with design of coding for frequency hopping stations in band with intensive jamming. In digital modulations erroneous determination of the modulation state occurs due to jam at the receiver side. The result is erroneously transferred symbols of the message. Errors created during the transmission can be eliminated by using error control systems. It is also possible to prevent these errors by using algorithms (techniques) of frequency hopping which select the appropriate channel. Appropriate communication channel is a channel with a lower probability of erroneous symbol in the message. The main contribution of this thesis is to design a new frequency hopping technique with collision avoidance (FH/CA). The station with FH/CA technique measures signal levels in the considered several channels before every jump. Based on the measurements the most appropriate channel with the lowest value of measured signal level is selected. Therefore, it is more probable that a jump to an unoccupied channel with a transmission will occur. Using a mathematical model, the performance of the newly proposed FH/CA technique is compared with the currently used techniques FH and AFH. Comparison criteria are the probability of a collision between an FH/CA communication system and a static (device transmitting continuously at a fixed frequency) or dynamic jammer (i.e. other FH or AFH systems). By comparing the values of the probability of jammed transmission, indisputable theoretical advantages of the new FH/CA technique were found, compared to the currently used FH and AFH techniques. The FH/CA technique always has better or equal results compared with the FH technique in the case of interference by static and dynamic jammers. The FH/CA technique in a band with static and dynamic jammers usually has better results than the AFH technique. A significant contribution of the FH/CA technique can be seen in the case of dynamic jammers. On the other hand, in the case of static jammers the FH/CA technique is in certain situations worse than the AFH technique. The accuracy of the mathematical models were successfully verified on a simulation model that was created as a part of this thesis in the MATLAB environment. Based on the obtained data from the model there was designed coding for frequency hopping stations with the new technique of frequency hopping FH/CA which is designed for small-volume data transfer in a band with intensive jamming.

Tato diplomová práce představuje model a prototyp kooperativního distributivního systému zálohování dat založeném na P2P komunikační síti. Návrh systému umožňuje uživatelům přispět svým lokálním volným místem na disku do systému výměnou za spolehlivé úložiště jejich dat u jiných uživatelů. Představené řešení se snaží splnit požadavky uživatelů na ukládání dat, zároveň však také řeší, jak se vypořádat s mírou nepředvídatelnosti uživatelů  ohledně poskytování volného místa. To je prováděno dvěma způsoby - využitím Reed - Solomon kódů a zároveň také tím, že poskytuje možnost nastavení parametrů dostupnosti. Jedním z těchto parametrů je časový rozvrh, který značí, kdy uživatel může nabídnout předvídatelný přínos do systému. Druhý parametr se týká spolehlivosti konkrétního uživatele v rámci jeho slíbeného časového úseku. Systém je schopen najít synchronizaci ukládaných dat na základě těchto parametrů. Práce se zaměřuje rovněž na řešení zabezpečení systému proti širšímu spektru možných útoků. Hlavním cílem je publikovat koncept a prototyp. Jelikož se jedná o relativně nové řešení, je důležitá také zpětná vazba od široké veřejnosti, která může produkt používat. Právě jejich komentáře a připomínky jsou podnětem pro další vývoj systému.