1 |
[en] FORMULATION OF GRADIENT ELASTICITY FOR HYBRID BOUNDARY METHODS / [pt] FORMULAÇÕES DE ELASTICIDADE GRADIENTE PARA ELEMENTOS HÍBRIDOS DE CONTORNODANIEL HUAMAN MOSQUEIRA 13 February 2009 (has links)
[pt] A modelagem matemática de microdispositivos, em que estrutura e
microestrutura têm aproximadamente a mesma escala de
magnitude, assim como de
macroestruturas de natureza predominantemente granular ou
cristalina, requer uma
abordagem não-local de deformações e tensões. Há mais de cem
anos os irmãos
Cosserat já tinham desenvolvido uma teoria de grãos rígidos.
No entanto, e sem
detrimento de desenvolvimentos devidos a Toupin e outros
pesquisadores, os
trabalhos de Mindlin na década de 1960 podem ser
considerados a base da chamada
teoria gradiente de deformações, que se tornou recentemente
objeto de um grande
número de investigações analíticas e experimentais,
motivadas pelo
desenvolvimento de novos materiais estruturais e do
crescente uso de dispositivos
micro- e nanomecânicos na indústria. Mais recentemente,
Aifantis e colaboradores
conseguiram desenvolver uma teoria gradiente de deformações
mais simplificada,
com base somente em duas constantes elásticas adicionais,
representativas de
comprimentos característicos relacionados às energias de
deformação superficial e
volumétrica. Uma série de trabalhos recentes desenvolvidos
por Beskos e
colaboradores estendeu o campo de aplicações da proposta
inicial de Aifantis e
introduziu uma solução fundamental que de fato remonta aos
trabalhos de Mindlin.
A equipe de pesquisa de Beskos propôs as primeiras
implementações 2D e 3D de
elementos de contorno para análises de elasticidade
gradiente tanto estáticas quanto
no domínio da freqüência, inclusive para problemas da
mecânica da fratura. Desde o
tempo de Toupin e Mindlin procura-se estabelecer uma base
variacional da teoria e
uma formulação consistente das condições de contorno
cinemáticas e de equilíbrio,
o que parece ter tido êxito com os recentes trabalhos de
Amanatidou e Aravas. Esta
dissertação faz uma revisão da teoria gradiente da
deformações e apresenta um
estudo didático do problema mais simples que se possa
conceber, que é o de uma
barra sob diferentes tipos de ações axiais (Aifantis,
Beskos). A solução fundamental
para problemas 2D e 3D também é apresentada e estudada,
tanto em termos de
forças pontuais aplicadas, para uma implementação em termos
de elementos de
contorno, quanto de desenvolvimentos polinomiais (no caso
estático), para
implementação em termos de elementos finitos. Mostra-se que
a teoria gradiente de
deformação de Aifantis é adequada a uma formulação no
contexto do potencial de
Hellinger-Reissner, o que possibilita implementações
híbridas de elementos finitos e
de contorno. O presente trabalho de pesquisa objetiva o
estudo do estado da arte no
tema, com uma abordagem dos principais problemas de
implementação
computacional, inclusive em termos das integrais singulares
que surgem. O
desenvolvimento completo de programas de análise de
elementos híbridos finitos e
de contorno, para problemas estáticos e dinâmicos, está
planejado para uma tese de
doutorado em futuro próximo. / [en] The mathematical modeling of micro-devices in which
structure and the
microstructure are about the same scale of magnitude, as
well as of macrostructure
of markedly granular or crystal nature (microcomposites),
demands a nonlocal
approach for strains and stresses. More than one hundred
years ago the Cosserat
brothers had already developed a theory for rigid grains.
However, and in no
detriment due to Toupin and other researchers, Mindlin s
work in the 1960s may be
accounted the basis of the so-called strain gradient theory,
which has recently
become the subject of a large number of analytical and
experimental investigations
motivated by the development of news structural materials
together with the
increasing use of micro and nano-mechanical devices in the
industry. More recently,
Aifantis and coworkers managed to develop a simplified
strain gradient theory
based only on two additional elasticity constants that are
representative of material
lengths related to surface and volumetric strain energy. A
series of very recent
works done by Beskos and collaborators extended the field of
applications of
Aifantis propositions and introduced a fundamental solution
that actually remounts
to developments already laid down by Mindlin. Beskos
workgroup may be
regarded as the proponent of the first of the first boundary
element 2D and 3D
implementations on the subject for both statics and
frequency-domain analyses, also
including crack problems. Since Toupin and Mindlin`s time,
investigations have
been under development to establish the variational basis of
the theory and to
consistently formulate equilibrium and kinematic boundary
conditions established
by Amanatidou and Aravas. This dissertation makes a revision
of the gradient strain
elasticity theory and presents a didactic study of the
simplest problem that can be
conceived, i.e., a bar under different axial actions
(Aifantis, Beskos). The
fundamental solution for 2D and 3D problems is also
presented and studied for an
elastic medium submitted to a point force, for boundary
methods developments, as
well as submitted to polynomial stress fields (for static
problems), as in the hybrid
finite element method. It is shown that Aifantis strain
gradient theory may be
developed in the context of the Hellinger-Reissner
potential, for the sake of hybrid
finite and boundary element implementations. Goal of the
present research work is
as a detailed study of state art of the theme, which
comprises an investigation of the
singular integrals one must deal with in a computational
implementation. The
complete computational development for static and dynamic
hybrid boundary/finite
analyses is planned for a future doctoral thesis.
|
2 |
[en] THE HYBRID BOUNDARY ELEMENT METHOD FOR GRADIENT ELASTICITY PROBLEMS / [pt] O MÉTODO HÍBRIDO DE ELEMENTOS DE CONTORNO PARA PROBLEMAS DE ELASTICIDADE GRADIENTEDANIEL HUAMAN MOSQUEIRA 28 January 2015 (has links)
[pt] Atualmente está bem difundido o uso de novas modelagens matemáticas para o estudo do comportamento de micro e nano sistemas mecânicos e eléctricos. O problema de escala é notável quando o tamanho das moléculas, partículas, grãos ou cristais de um sólido é relativamente considerável em relação ao comprimento do microdispositivo. Nesses casos a teoria clássica dos meios contínuos não descreve apropriadamente a solicitação estrutural e é necessária uma abordagem mais geral através de teorias generalizadas não-clássicas que contém a elasticidade clássica como um caso particular delas, onde os parâmetros constitutivos que representam às partículas são desprezíveis. Quando os efeitos microestruturais são importantes, o comportamento não responde como um material homogêneo se não como um material homogêneo. Cem anos atrás os irmãos Cosserat desenvolveram uma teoria de grãos rígidos imersos dentro de um macromeio elástico; posteriormente Toupin, Mindlin e outros pesquisadores na década de 60 formularam a chamada teoria gradiente de deformações, que recentemente é um objeto de muitas investigações analíticas e experimentais. Na década de oitenta, Aifantis e colaboradores conseguiram desenvolver uma teoria de gradiente de deformações simplificada, baseada em só uma constante elástica adicional não-clássica representativa da energia de deformação volumétrica para caracterizar satisfatoriamente os padrões dos fenômenos não-clássicos. Beskos e colaboradores estenderam o campo de aplicações da proposta inicial de Aifantis e fizeram as primeira implementações de elementos de contorno 2D e 3D para análises de elasticidade gradiente estática, no domínio da frequência e a mecânica da fratura. Desde o tempo de Toupin e Mindlin, procura-se estabelecer uma base variacional da teoria e uma formulação consistente das condições de contorno cinemáticas e de equilíbrio, o que parece ter tido êxito com os recentes trabalhos de Amanatidou e Aravas. Esta tese apresenta a formulação do método híbrido de elementos de contorno e finitos na elasticidade gradiente desenvolvida por Dumont e Huamán decompondo o potencial de Hellinger-Reissner em dois princípios de trabalhos virtuais: o primeiro em deslocamentos virtuais e o segundo em forças virtuais. Com esta finalidade é considerado além dos parâmetros clássicos, o trabalho realizado pelas tensões, deformações, forças e deslocamentos não-clássicos. É apresentado o desenvoltimento das soluções fundamentais singulares e polinomiais atráves das equações diferenciais de sexta ordem obtidas da equação de equilíbrio em termos de deslocamento na elasticidade gradiente. É apresentada também a aplicaçõ do método híbrido de contorno para problemas de tensão axial unidimensional e flexão bidimensional de vigas. Finalmente mostra-se a aplicação numérica do método em elementos finitos, é verificado o patch test de elementos finitos de diferentes ordem e mostra-se também análises de convergência. / [en] The use of new mathematical modeling in the study of micro and Nano electro mechanical systems is currently becoming widespread. The scaling problem is apparent when the length of molecules, particles or grains immersed in the material is relatively important compared with the whole micro device dimension. Under this approach the classical theories of mechanics cannot describe suitably the structural requirement and it is necessary a more general outlook through non classical generalized theories which enclose the classical elasticity as a particular case where the non-classical constitutive parameters are negligible. When the microstructural effects are important, the material does not respond as a homogeneous but as a non-homogeneous one. A hundred years ago Cosserat brothers formulated a new theory of rigid grains which were embedded in an elastic macro medium; later Toupin, Mindlin along others researchers in 1960s developed a gradient strain theory which has been recently the source of many analystics and experimental investigations. In 1980s Ainfantis et al could develop a simplified strain gradient theory with just one additional non classical elastic constant which represents the volumetric elastic strain energy and characterized successfully the whole non classical pattern phenomenon. Beskos et al extended the treatment proposed initially by Aifantis and developed the first numerical applications for 2D and 3D boundary element methods and solved static as dynamic and crack problems. Since the times of Toupin and Mindlin it is looking for to establish a variational theory with a consistent cinematic and equilibrium boundary conditions, which seemed to have had success in the recent works of Amanatiodou and Aravas. This work presents the formulation of the hybrid boundary and finite element methods under the strain gradient scope which were developed by Dumont and Huamán through the versatile decomposition of the Hellinger-Reissner potential in two work principles: the displacements virtual work and the forces virtual work; both principles contain the virtual work performed by the non-classical magnitudes. Following, it is presented the complete development of singular and polynominal fundamental solutions abtained through the sixth order strain gradient differential equilibrium equations in terms of displacements. Next it is shown an application of the method to unidimensional truss element and bidimensional beam. Finally, it is presented a numerical application to strain gradient finite element, it is checked the patch tests to different elements orders and it is also shown a series of convergence analysis.
|
Page generated in 0.0398 seconds