[pt] A formulação de um modelo para a análise por elementos finitos, da torção de vigas retas com seção transversal I é apresentada. O modelo de viga isoparamétrico para seções retangulares que não se deformam em seu plano ou fora deste, é estendido para acomodar o empenamento das seções complexas submetidas a carregamentos de torção. Utiliza-se graus de liberdade generalizados na representação do campo de deformações da seção reta e modificações nas relações de compatibilidade geométricas são introduzidas no sentido de acomodar as deformações de cisalhamento devido a rotação da seção. As condições de compatibilidade no engastamento e entre elementos adjacentes devidas a flexão nos flanges são garantidas empregando-se uma técnica de penalidades entre os graus de liberdade de rotação longitudinal no ponto nodal. Implementa-se o modelo numérico demonstrando-se a sua aplicabilidade na representação de problemas de torção linear em vigas retas, com diversas seções, e.g, triangular equilátera, elíptica, retangular, I – simétrica e não simétrica e T. / [en] The formulation of a finite element model for studying the torsion of estraight beams with I-cross section is presented. The isoparametric beam model with rectangular cross sections which do not have deformation in the section plane or out of it, is extended to accommodate the warping of complex cross sections submitted to torsion loadings. The deformation field of the cross section is represented by generalized degrees of freedom and modifications in the original beam geometric compatibility relations were performed to accommodate shear deformations due to section rotation. The compatibility conditions at fixed end and between two connected elements due to the flange bending are assured using a penalty technique to the longitudinal rotation degrees of freedom at the nodal point. The proposed numerical model is implemented and some sample analyses demonstrate its capabilities on the representation of the problem of linear torsion of straight beams with different cross section shapes; e.g, triangular equilateral, elliptic, rectangular, I – symmetric and non symmetric and T section.

[pt] Apresenta-se a formulação de um modelo isoparamétrico para a análise de viga tridimensional por elementos finitos que inclui a cinemática de deformação axial, de flexão, de torção e do empenamento da seção reta. A geometria do elemento e o campo de deslocamentos são aproximados, na direção longitudinal, por funções cúbicas de interpolação definidas na linha central. O elemento possui três graus-de-liberdade de translação e um grau-de-liberdade de rotação em torno do eixo axial da viga que permitem representar as deformações lineares longitudinais e de cisalhamento devidas aos esforços axiais, de flexão e de torção na viga. Além destes um número de graus-de-liberdade generalizados é utilizado na representação do estado de deformações resultante do empenamento da seção reta. Condições de compatibilidade dos deslocamentos entre elementos contíguos ou entre um elemento e uma parede rígida são obtidas através de um procedimento de penalização na expressão da energia de deformação. A condensação estática dos graus-de-liberdade generalizados na matriz de rigidez do elemento permite reduzir o desenvolvimento a uma formulação com quatro graus-de-liberdade por nó. A formulação foi implementada e resultados numéricos são utilizados para ilustrar as características do elemento em representar análises típicas de engenharia com vigas. / [en] The formulation of a three-dimension isoparametric beam elemento model that includes kinematics of axial, bending, torsional and warping displacements is presented. The element geometry and displacement fields are approximated using cubic interpolation functions along the element lenght coordinate, on the beam center axis. The displacements are represented by three translation and one rotation degrees-of-freedom, that account for linear and shear strains, and a number of generalized degrees-of-freedom to represent strains in the beam due to cross-section warping. Continuity conditions between adjoining element and between an element and a rigid wall are achieved by using rotation compatibility conditions at the common node. These are obtained with a penalty procedure added to the element strain energy. Static condensation of the generalized degrees-of-freedom is performed in the element stiffness matrix such the formulation results into a four degree-of-freedom per node element. The formulation has been implemented and some sample analysis results are furnished to illustrate the element capabilities in handling typical engineering beam analyses.