[pt] Neste trabalho apresenta-se a formulação e a implementação de um modelo de elementos finitos unidimensional para análise elástica linear isotérmica de estruturas axissimétricas finitas isotrópicas com espessura variável e submetidas a carregamentos axissimétricos. A geometria do elemento proposto é definida ao longo da linha médica da casca por um número variável de pontos nodais. Emprega-se no modelo a formulação isoparamétrica e a cinemática de deformação de casca é representada por graus-de-liberdade e translação definidos no plano de simetria. As condições de fixação e da continuidade da rotação entre elementos, devido à flexão da casca, são impostas pela utilização de Método de Penalidades. O Acoplamento da rotação com os graus-de-liberdade de translação é garantido no modelo através da hipótese de que segmentos retos perpendiculares à superfície média da casca permanecem retos, normais e inextensíveis após a deformação. Na formulação do elemento incluem-se as deformações lineares nas direções longitudinal e circunferencial da casca devidas aos efeitos de membrana e da flexão. Soluções numéricas de algumas estruturas utilizando o modelo proposto são comparadas com outros resultados Analíticos ou numéricos, recentemente publicados, para demonstrar a eficiência do elemento na representação de cascas finas axissimétricas. / [en] This work deals with the formulation of a unidimensional finite element model isothermal linear analysis of axisymmetric thin Shell structures, with variable thickness and under axisymmetric loadings. The element geometry is defined along the shell midsurface by a variable nodal point isopametric formulation with kinematics being represented by two translational degrees-of-freedom in the plane of symmetry. Element and conditions such as rotation fixity or rotation continuity between adjoining elements are imposed in the formulation by using a penalty procedure. Coupling between rotation and translational degrees-of-freedom is granted in the model with the assumption that straight and perpendicular to the mid-surface after deformation. The element formulation includes linear deformations due to membrane and bending of the shell in both circunferential and longitudinal directions. The proposed model is employed in the analysis of some numerical examples and the solutions are compared to other numerical or analytical results to demonstrate the element effectiveness in the representation of axisymmetric thin shells.

[pt] A formulação de um modelo para a análise por elementos finitos, da torção de vigas retas com seção transversal I é apresentada. O modelo de viga isoparamétrico para seções retangulares que não se deformam em seu plano ou fora deste, é estendido para acomodar o empenamento das seções complexas submetidas a carregamentos de torção. Utiliza-se graus de liberdade generalizados na representação do campo de deformações da seção reta e modificações nas relações de compatibilidade geométricas são introduzidas no sentido de acomodar as deformações de cisalhamento devido a rotação da seção. As condições de compatibilidade no engastamento e entre elementos adjacentes devidas a flexão nos flanges são garantidas empregando-se uma técnica de penalidades entre os graus de liberdade de rotação longitudinal no ponto nodal. Implementa-se o modelo numérico demonstrando-se a sua aplicabilidade na representação de problemas de torção linear em vigas retas, com diversas seções, e.g, triangular equilátera, elíptica, retangular, I – simétrica e não simétrica e T. / [en] The formulation of a finite element model for studying the torsion of estraight beams with I-cross section is presented. The isoparametric beam model with rectangular cross sections which do not have deformation in the section plane or out of it, is extended to accommodate the warping of complex cross sections submitted to torsion loadings. The deformation field of the cross section is represented by generalized degrees of freedom and modifications in the original beam geometric compatibility relations were performed to accommodate shear deformations due to section rotation. The compatibility conditions at fixed end and between two connected elements due to the flange bending are assured using a penalty technique to the longitudinal rotation degrees of freedom at the nodal point. The proposed numerical model is implemented and some sample analyses demonstrate its capabilities on the representation of the problem of linear torsion of straight beams with different cross section shapes; e.g, triangular equilateral, elliptic, rectangular, I – symmetric and non symmetric and T section.