[pt] O Grupo de Cremona é o grupo das Transformações birracionais do plano projetivo e tem um papel muito importante em Geometria Birracional. Pelo Teorema de Nöether-Castelnuovo (final do século XIX), o Grupo de Cremona é gerado pelos automorfismos do plano projetivo e pela Transformação Quadrática Padrão. Apesar de compreendermos bem o grupo de automorfismos do Plano Projetivo e a Transformação Quadrática Padrão, o estudo do Grupo de Cremona é bastante desafiador, e sua estrutura ainda não é totalmente conhecida. Somente em 2013, Cantat e Lamy provaram que o Grupo de Cremona não é simples no caso de um corpo algebricamente fechado. Em 2016, Anne Lonjou provou o mesmo para qualquer corpo. Ambas as provas se baseiam em uma ação por isometrias do Grupo de Cremona em um espaço hiperbólico de dimensão infinita. Nosso objetivo será entender essa ação e como ela pode ser usada no estudo do Grupo de Cremona. / [en] The Cremona Group is the group of Birrational Transformations of the projective plane and has a very important role in Birrational Geometry. By the Nöether-Castelnuovo Theorem (late 19th century), the Cremona Group is generated by the automorphisms of the projective plane and by the Standard Quadratic Transformation. Although we understand well the group of automorphisms of the projective plane and the Standard Quadratic Transformation, the study of the Cremona Group is quite challenging, and its structure is not yet fully known. Only in 2013, Cantat and Lamy proved that the Cremona Group is not simple in the case of an algebraically closed field. In 2016, Anne Lonjou proved the same for any field. Both proofs are based on an action by isometries of the Cremona Group in a hyperbolic space of infinite dimension. Our goal will be to understand this action and how it can be used in the study of the Cremona Group.

[pt] Este trabalho traz uma proposta de ensino de transformações geométricas, mais especificamente, isometrias de translação, de rotação e de reflexão. Começamos tecendo considerações sobre o uso de tecnologias digitais em sala de aula e sobre as possibilidades de explorar a arte como ferramenta de enriquecimento dos processos de ensino e de aprendizagem matemáticos. Passamos pelos aspectos teóricos das isometrias no plano e, em seguida, explicamos a atividade na qual baseia-se o presente estudo, realizada com 101 alunos da primeira série do Ensino Médio de uma escola particular do Rio de Janeiro, RJ. Apresentamos, ainda, o feedback de parte dos(as) alunos(as) participantes, nossas impressões sobre esse feedback e a descrição detalhada das etapas da atividade, que pode ser aplicada tanto em turmas de Fundamental II quanto de Ensino Médio. / [en] This work presents a proposal for teaching geometric transformations, more specifically, translation, rotation and reflection isometries. We start by considering the use of digital technologies in the classroom, and the possibilities of exploring art as a tool to enhance mathematical teaching and learning processes. Next, we describe the theoretical aspects of isometries in the plane, and then explain the activity on which the present study was based. The activity was carried out with 101 1st grade high school students in a private school in Rio de Janeiro, RJ. We also present the feedback from part of the participating students, our impressions of this feedback, and the detailed description of the stages of the activity, which can be applied both in elementary and high school classes.

[pt] Apresentaremos uma versão de Teorema Ergódico Multiplicativo para cociclos subaditivos devido a Karlsson e Margulis. Como aplicação, analisaremos três exemplos de cociclos nos seguintes espaços: Grafo gerado por grupo livre em dois geradores, disco hiperbólico, espaco das matrizes positivas simétricas definidas. Também usaremos o Teorema de Karlsson e Margulis para mostrar o Teorema de Oseledets. / [en] We will show a version of Multiplicative Ergodic Theorem for subbaditive cocycles due to Karlsson and Margulis. As an application, we will analyze three examples of cocycles in following spaces: graph generated by free group of two generators, hyperbolic disc, space of positive definite symetric matrices. Also, we will use the Theorem of Karlsson and Margulis to prove Theorem of Oseledets.