[pt] Apresentaremos uma versão de Teorema Ergódico Multiplicativo para cociclos subaditivos devido a Karlsson e Margulis. Como aplicação, analisaremos três exemplos de cociclos nos seguintes espaços: Grafo gerado por grupo livre em dois geradores, disco hiperbólico, espaco das matrizes positivas simétricas definidas. Também usaremos o Teorema de Karlsson e Margulis para mostrar o Teorema de Oseledets. / [en] We will show a version of Multiplicative Ergodic Theorem for subbaditive cocycles due to Karlsson and Margulis. As an application, we will analyze three examples of cocycles in following spaces: graph generated by free group of two generators, hyperbolic disc, space of positive definite symetric matrices. Also, we will use the Theorem of Karlsson and Margulis to prove Theorem of Oseledets.

[pt] Provamos que campos de vetores C1- genéricos em uma variedade compacta não possuem probabilidades invariantes absolutamente contínuas em relação a uma medida de volume. Este trabalho estende ao caso de tempo contínuo um resultado de Avila e Bochi. / [en] We prove that C1-generic vector fields in a compact manifold do not have absolutely continuous invariant probabilities. This extends a result of Avila and Bochi to the continuous time case.

[pt] Os expoentes de Lyapunov são uma ferramenta bastante utilizada quando busca-se entender o comportamento de sistemas dinâmicos, em particular de cociclos lineares. De fato, concentramo-nos no expoente maximal, pois este determina o comportamento geral do sistema, de modo que sua positividade pode ser um indicativo de que estamos lidando com um sistema caótico. Nesse sentido estudamos um teorema provado por Michael Herman, que fornece uma cota inferior para o expoente de Lyapunov maximal de uma classe de cociclos lineares definidos por rotações no círculo. A prova deste resultado utiliza um processo de complexificação do cociclo e um argumento de subharmonicidade. Surpreendentemente, essa cota inferior é na verdade uma identidade, o que foi provado posteriormente por Avila e Bochi. Como será mostrado nesta dissertação, o argumento para obter a identidade depende crucialmente da harmonicidade, e não da mera subharmonicidade de certas funções associadas às iterações do cociclo. / [en] Lyapunov exponents are a widely used tool when trying to understand the behavior of dynamical systems in general, and in particular that of linear cocycles. We focus on the maximal exponent, as it determines the general behavior of the system, in that its positivity can be an indication that we are dealing with a chaotic system. In this sense, we study a theorem obtained by Michael Herman, providing a lower bound on the maximal Lyapunov exponent of a class of linear cocycles defined by circle rotations. The proof of this result employs the complexification of the cocycle and an argument based on subharmonicity. Surprisingly, this lower bound is in fact an identity, which was proven later by Avila and Bochi. As it will be shown in this dissertation, the argument for obtaining this identity depends crucially on the harmonicity, as opposed to the mere subharmonicity of certain functions associated with the iterates of the cocycle.

[pt] Uma medida de probabilidade com suporte compacto em um grupo de matrizes determina uma sequência de matrizes aleatórias i.i.d. Considere o processo multiplicativo correspondente e suas médias geométricas. O teorema de Furstenberg-Kesten, análogo da lei dos grandes números neste cenário, garante que as médias geométricas desse processo multiplicativo convergem quase certamente para uma constante, chamada de expoente de Lyapunov maximal da medida dada. Este conceito pode ser reformulado no contexto mais geral da teoria ergódica usando cociclos lineares aleatórios sobre o shift de Bernoulli. Uma questão natural diz respeito às propriedades de regularidade do expoente de Lyapunov como uma função dos seus dados. Sob uma condição de irredutibilidade e em um cenário específico (que foi posteriormente generalizado por vários autores) Le Page estabeleceu a continuidade de Holder do expoente de Lyapunov. Recentemente, Baraviera e Duarte obtiveram uma prova direta e elegante deste tipo de resultado. Seu argumento usa a fórmula de Furstenberg e as propriedades de regularidade da medida estacionária. Seguindo sua abordagem, neste trabalho obtemos um novo resultado mostrando que, sob a mesma hipótese de irredutibilidade, o expoente de Lyapunov depende Hölder continuamente da medida, relativamente à métrica de Wasserstein, generalizando assim o resultado de Baraviera e Duarte. / [en] A compactly supported probability measure on a group of matrices determines a sequence of i.i.d. random matrices. Consider the corresponding multiplicative process and its geometric averages. Furstenberg-Kesten s theorem, the analogue of the law of large numbers in this setting, ensures that the geometric averages of this multiplicative process converge almost surely to a constant, called the maximal Lyapunov exponent of the given measure. This concept can be reformulated in the more general context of ergodic theory using random linear cocycles over the Bernoulli shift. A natural question concerns the regularity properties of the Lyapunov exponent as a function of the data. Under an irreducibility condition and in a specific setting (which was later generalized by various authors) Le Page established the Holder continuity of the Lyapunov exponent. Recently, Baraviera and Duarte obtained a direct and elegant proof of this type of result. Their argument uses Furstenberg s formula and the regularity properties of the stationary measure. Following their approach, in this work we obtain a new result showing that under the same irreducibility hypothesis, the Lyapunov exponent depends Holder continuously on the measure, relative to the Wasserstein metric, thus generalizing the result of Baraviera and Duarte.