[pt] É considerado o problema da estabilidade de sistemas dinâmicos bilineares em ambiente estocástico. Após a apresentação de uma coletânea de resultados já existentes, são propostas novas condições de estabilidade para sistemas discretos utilizando o método direto de Lyapunov. Tais resultados são comparados com os já existentes. / [en] The stability of bilinear dynamic systems in a stochastic environment is considered, including a survey on this field. New conditions for stability of discrete systems using the direct method of Lyapunov are proposed. The results developed here are compared with chose in the current literature.

[pt] No presente trabalho desenvolveu-se o projeto básico de um Simulador de Movimentos em Escala, que é um equipamento utilizado para reproduzir as excitações de base provocadas pelo pavimento sobre o qual um veículo em escala trafega. Utilizando modelos consagrados na literatura, obteve-se a representação matemática do Simulador, que é tratado como 3 subsistemas acoplados entre si, mediante a aplicação de um procedimento baseado no Fluxo de Potência. Para o tratamento dos modelos em escala é empregada a Teoria de Similaridade, através da qual são determinados números adimensionais que relacionam o sistema real com o seu equivalente reduzido ou ampliado. São apresentadas 3 metodologias, das quais duas tradicionais, e uma outra que é conhecida como Método por Inspeção. Aplicam-se estes procedimentos a modelos de veículos com 1, 2, 4 e 7 graus de liberdade. Emprega-se também a Análise Dimensional para achar um modelo em escala do Simulador e do sistema completo, isto é um conjunto Simulador – Veículo acoplado. Para todos os casos são realizadas simulações para os modelos real e em escala, utilizando parâmetros típicos encontrados na literatura ou em manuais de operação de equipamentos semelhantes, com o objetivos de verificar o comportamento dos sistemas, determinar a influência da redução ou ampliação do tamanho, e validar os procedimentos empregados. / [en] In this work a Scale Ground Simulator was developed. This is na equipment used to reproduce the base motion in a vehicle, due the Road where it is running. Using a procedure based on the Power flow, coupling the 3 main Simulator subsystems, a mathematical representation for the Simulator was obtained, from classical models mentioned in the bibliography. The scale models treatment was perfomed using the Similarity Theory, that permits the determination of non dimensional numbers relating the real system with its equivalent reduced or amplified. It was presented 3 methodologies, two of them are traditional and other one which is known as Inspection Method. These procedures were applied to 1, 2, 4, and 7 degrees of freedom vehicle models. Dimensional Analysis is also used to find scale models for the Simulator and for the complete system, i.e. the coupled set Simulator – Vehicle. Simulations were made for all situations, in real and scale models, using typical parameters found in literature or in equipment operation manuals, aiming to verify the systems performance, to determine the size reduction or amplification influence of and to validate the procedures presented.

[pt] Os expoentes de Lyapunov são uma ferramenta bastante utilizada quando busca-se entender o comportamento de sistemas dinâmicos, em particular de cociclos lineares. De fato, concentramo-nos no expoente maximal, pois este determina o comportamento geral do sistema, de modo que sua positividade pode ser um indicativo de que estamos lidando com um sistema caótico. Nesse sentido estudamos um teorema provado por Michael Herman, que fornece uma cota inferior para o expoente de Lyapunov maximal de uma classe de cociclos lineares definidos por rotações no círculo. A prova deste resultado utiliza um processo de complexificação do cociclo e um argumento de subharmonicidade. Surpreendentemente, essa cota inferior é na verdade uma identidade, o que foi provado posteriormente por Avila e Bochi. Como será mostrado nesta dissertação, o argumento para obter a identidade depende crucialmente da harmonicidade, e não da mera subharmonicidade de certas funções associadas às iterações do cociclo. / [en] Lyapunov exponents are a widely used tool when trying to understand the behavior of dynamical systems in general, and in particular that of linear cocycles. We focus on the maximal exponent, as it determines the general behavior of the system, in that its positivity can be an indication that we are dealing with a chaotic system. In this sense, we study a theorem obtained by Michael Herman, providing a lower bound on the maximal Lyapunov exponent of a class of linear cocycles defined by circle rotations. The proof of this result employs the complexification of the cocycle and an argument based on subharmonicity. Surprisingly, this lower bound is in fact an identity, which was proven later by Avila and Bochi. As it will be shown in this dissertation, the argument for obtaining this identity depends crucially on the harmonicity, as opposed to the mere subharmonicity of certain functions associated with the iterates of the cocycle.

[pt] Uma medida de probabilidade com suporte compacto em um grupo de matrizes determina uma sequência de matrizes aleatórias i.i.d. Considere o processo multiplicativo correspondente e suas médias geométricas. O teorema de Furstenberg-Kesten, análogo da lei dos grandes números neste cenário, garante que as médias geométricas desse processo multiplicativo convergem quase certamente para uma constante, chamada de expoente de Lyapunov maximal da medida dada. Este conceito pode ser reformulado no contexto mais geral da teoria ergódica usando cociclos lineares aleatórios sobre o shift de Bernoulli. Uma questão natural diz respeito às propriedades de regularidade do expoente de Lyapunov como uma função dos seus dados. Sob uma condição de irredutibilidade e em um cenário específico (que foi posteriormente generalizado por vários autores) Le Page estabeleceu a continuidade de Holder do expoente de Lyapunov. Recentemente, Baraviera e Duarte obtiveram uma prova direta e elegante deste tipo de resultado. Seu argumento usa a fórmula de Furstenberg e as propriedades de regularidade da medida estacionária. Seguindo sua abordagem, neste trabalho obtemos um novo resultado mostrando que, sob a mesma hipótese de irredutibilidade, o expoente de Lyapunov depende Hölder continuamente da medida, relativamente à métrica de Wasserstein, generalizando assim o resultado de Baraviera e Duarte. / [en] A compactly supported probability measure on a group of matrices determines a sequence of i.i.d. random matrices. Consider the corresponding multiplicative process and its geometric averages. Furstenberg-Kesten s theorem, the analogue of the law of large numbers in this setting, ensures that the geometric averages of this multiplicative process converge almost surely to a constant, called the maximal Lyapunov exponent of the given measure. This concept can be reformulated in the more general context of ergodic theory using random linear cocycles over the Bernoulli shift. A natural question concerns the regularity properties of the Lyapunov exponent as a function of the data. Under an irreducibility condition and in a specific setting (which was later generalized by various authors) Le Page established the Holder continuity of the Lyapunov exponent. Recently, Baraviera and Duarte obtained a direct and elegant proof of this type of result. Their argument uses Furstenberg s formula and the regularity properties of the stationary measure. Following their approach, in this work we obtain a new result showing that under the same irreducibility hypothesis, the Lyapunov exponent depends Holder continuously on the measure, relative to the Wasserstein metric, thus generalizing the result of Baraviera and Duarte.