[pt] A reconstrução de superfícies é um problema que recebe bastante atenção em Computação Gráfica dada a importância de suas aplicações. Uma solução comum é representar essas superfícies por malhas triangulares. Neste trabalho é proposta uma estrutura de tetraedros com cúbicas definidas em seu interior que são utilizadas para aproximar a superfície. Essas cúbicas, chamadas de TetraQuads, são superfícies implícitas de grau 3 definidas como interpolação de quádricas posicionadas nos vértices dos tetraedros. Esses elementos foram idealizados de forma que seja rápido o processamento para visualização dessa estrutura pelo hardware gráfico. Os objetos definidos dessa maneira carregam mais informações do ponto de vista da geometria diferencial que uma malha triangular. Por esse motivo, têm uma modelagem mais complexa a ser resolvida. Esse problema é discutido ao apresentar os passos para reconstrução de superfícies por TetraQuads a partir de nuvens de pontos. / [en] Surface reconstruction is a problem that receives a lot of attention in Computer Graphics due to the importance and the number of its applications. A common solution is to represent these surfaces through triangular meshes. This work introduces an alternative structure of tetrahedrons with cubics defined in its interior, which are used to approximate the surface. Those cubics, called TetraQuads, are third-degree implicit surfaces defined as an interpolation of quadrics positioned at the tetrahedrons vertices. These elements are constructed for an efficient visualization by the graphics hardware. Objects defined in this manner contain more information from the differential geometry point of view than a triangle mesh, which entails a more complex modeling problem. This problem is discussed throughout the steps of surface reconstruction from point clouds through TetraQuads.

[pt] O Envelope de Retas Médias - ERM consiste da união de três conjuntos invariantes afins: o Affine Envelope Symmetry Set - AESS; o Mid-Parallel Tangents Locus - MPTL; e a Evoluta Afim - EA. O ERM de curvas planas convexas é um assunto que tem sido muito explorado. Porém, não existe na literatura nenhum estudo do ERM para superfícies. Por isso, o objetivo principal desta tese é generalizar o ERM de curvas convexas para superfícies convexas. Para tanto, dividimos a tese em duas partes. A primeira consiste de uma revisão sobre a geometria afim de curvas planas e do estudo do ERM com uma nova abordagem. Na segunda parte realizamos uma breve introdução da geometria afim de hipersuperfícies e a generalização do ERM. Na generalização do ERM, trabalhamos com superfícies, definimos os planos médios e estudamos o que denominamos Envelope de Planos Médios -EPM. Provamos que, o EPM assim como o ERM, é formado por três conjuntos invariantes afins: a Superfície de Centros de 3 mais 3-Cônicas - SC3C; o Mid-Parallel Tangents Surface -MPTS; e a Evoluta de Curvas Médias - ECM. / [en] The Envelope of Mid-Lines - EML consists of the union of three affine invariant sets: the Affine Envelope Symmetry Set - AESS; the Mid-Parallel Tangents Locus - MPTL; and the Affine Evolute. The EML of convex planar curves is a subject that has been very explored. However, there is no study in the literature of the EML for surfaces. Therefore, the main objective of this thesis is to generalize the EML of convex curves to convex surfaces. We divide the writing into two parts. The first part consists of a study of the EML with a new approach. In the second part we consider the EML for surfaces, that we call Envelope of Mid-Planes - EMP. We prove that, the EMP, like the EML, is formed by three affine invariant sets: the Centers of 3 plus 3-Conics Surface - C3CS; the Mid-Parallel Tangents Surface -MPTS; and the Medial Curves Evolute - MCE.