Entenderemos por anillos "blowup" cierto tipo de anillos graduados asociados a filtraciones de un anillo conmutativo A. Los anillos blowup aparecen a menudo en Algebra Conmutativa y Geometría Algebraica. Expondremos a continuación algunas de las aplicaciones de estos anillos en diversos problemas y que han motivado el estudio de sus propiedades. En el estudio de singularidades aparecen también anillos "blowup" asociados a filtraciones no ádicas. Otra de las aplicaciones de los anillos blowup es la construcción de contraejemplos al Problema 14 de Hilbert. Además, buenas propiedades aritméticas de los anillos "blowup" asociados a un ideal nos aseguran un buen comportamiento de sus funciones de Hilbert y viceversa.Lo anterior supone una pequeña ilustración de las múltiples ocasiones en que aparecen los anillos "blowup" y de porqué es interesante el estudio de sus propiedades aritméticas.En esta memoria estudiaremos principalmente la profundidad, y en particular la propiedad Cohen-Macaulay de los anillos y módulos "blowup" noetherianos asociados a filtraciones generales de un anillo local (A, m) de dimensión d. Diversos autores se han dedicado al estudio de tal propiedad en el caso de filtraciones ádicas en los últimos años el número de trabajos en esta dirección ha sido muy alto. Podemos destacar esencialmente dos tipos de resultados. Por una parte, los que relacionan la propiedad Cohen-Macaulay de A, GA{I) y RA{I) y, por otra, resultados positivos acerca de la propiedad Cohen-Macaulay de los mismos. Un tercer tipo de resultados sería el estudio de la propiedad Cohen-Macaulay de Fm(/), pero los resultados conocidos en este sentido son escasos.

Todos los anillos que se consideran son Conmutativos y Noetherianos. En torno y a partir de la Conjetura de Serre de Multiplicidades (1957) se ha desarrollado durante estos últimos 25 años una importante área de trabajo en el Álgebra Conmutativa que ha acabado denominándose Conjeturas Homológicas. De entre todas estas conjeturas una de las que mayor trascendencia ha tenido es la denominada de Grandes Módulos de Cohen-Macaulay, formulada por M. Hoschter en 1973 y que dice así:Sea "A" un anillo local y a(1), .,a(n) un sistema de parámetros de A. Existente entonces un A-módulo M para el que a(1), .., a(n) es M-sucesión. Se dice entonces que M es un gran módulo de Cohen-Macaulay respecto a a(1), ., a(n). La importancia de esta Conjetura proviene fundamentalmente de dos razones. Una la que tiene como consecuencia la mayoría de las restantes Conjecutras Homológicas, y otra que fue demostrada afirmativamente por el propio Hochster siempre que el anillo contenga un cuerpo, recubriendo así y también ampliando la mayoría de los resultados hasta entonces conocidos en este campo. Los grandes módulos de Cohen-Macaulay no son por lo general de tipo finito, pues existen anillos de dimensión 2 para los que ningún gran módulo de Cohen-Macaulay puede ser de generación finita. De hecho la existencia para todo anillo completo A de un A-gran módulo de Cohen-Macaulay de tipo finito, es decir, de un gran módulo de Cohen-Macaulay con grado igual a la dimensión del anillo, constituye la Conjetura de Pequeños Módulos de Cohen-Macaulay, de la que muy poco se sabe. Resulta entonces que casi ninguna de las propiedades verificadas por los módulos de tipo finito pueden extenderse a los grandes módulos de Cohen-Macaulay; por ejemplo, existen anillos A de dimensión 2 y A-grandes módulos de Cohen-Macaulay M con M sucesiones que no conmutan. Por otro lado, P. Grifith en 1975 y en un intento de demostrar la Conjetura de Pequeños Módulos de Cohen-Macaulay a partir de la de Grandes Módulos de Cohen-Macaulay, construye sobre los anillos completos A que contienen un cuerpo grandes módulos de Cohen-Macaulay M para los que todo sistema de parámetros de A es M-sucesión.También M. Hochster demostró mediante una modificación de sus célebres "Modificaciones" que sobre todos los anillos que contienen un cuerpo existen tales Módulos de Cohen-Macaulay, pero son Bartjin y Strooker quienes en 1981 se dan cuenta de la abundancia de tales módulos al demostrar que el completado separado de todo gran módulo de Cohen-Macaulay verifica esta propiedad. Finalmente, R.Y. Sharp, quien los denomina "Grandes Módulos de Cohen-Macaulay Equilibrados", inicia un estudio sistemático con la idea base de que los grandes módulos de Cohen-Macaulay constituyen una buena generalización al caso no finito de la noción Cohen-Macaulay.El objetivo de esta Memoria es entonces el estudio de los grandes módulos de Cohen-Macaulay equilibrados desde tres puntos de vista distintos:- El del grado y la dimensión de Krull.- El de la conservación de la propiedad por extensión plana de escalares. - El de las propiedades nomológicas relacionadas con la dimensión inyectiva. Estas cuestiones constituyen respectivamente los capítulos 2º, 3º y 4º de esta Memoria. En cada caso mostramos las diferencias y anomalías que se producen respecto al caso de generación finita. Dada la no finitud de los grandes módulos de Cohen-Macaulay equilibrados es necesario utilizar métodos específicos en su estudio. Hacemos notar que en lo referente al grado se dispone de los métodos desarrollados recientemente por H.-B. Foxby en el contexto más general de su Teoría de Complejos y otros trabajos previos. Por el contrario, ha sido necesario desarrollarlos para aquellas cuestiones relacionadas con la dimensión de Krull, y en especial lo relativo a los sistemas de parámetros. Todo ello configura el primer capítulo de esta Memoria. Deseo agradecer al Dr. Rafael Mallol, de quien recibí mis primeras lecciones de Álgebra Conmutativa, el haber aceptado de la Dirección de esta Memoria y el interés puesto en ella. Así mismo, debo agradecer al Dr. José María Giral toda su colaboración e inestimables consejos, especialmente durante el período de tiempo que fui becario de la Fundación Agustí Pedro i Pons de la Universidad de Barcelona y en el que se elaboró parte de esta Memoria.

DE LA TESIS:La noción de "ideal primo" (Dedekind 1871) ha ido adquiriendo cada vez mayor importancia hasta ocupar, con la Teoría de Esquemas de Grothendieck el centro mismo del Algebra Conmutativa. El estudio de los anillos conmutativos se convierte así en el de los esquemas afines con base en espacios topológicos que son el espectro primo de un anillo conmutativo, correspondiéndose funtorialmente los homomorfismos de anillos A->B con morfismos de esquemas que inducen en los espacios base las aplicaciones continuas Spec B -> Spec A. Un responsable fundamental en una parte de esta evolución es W. Krull (1899-1971). Señalemos algunos aspectos de su contribución únicamente desde el punto de vista de nuestro trabajo. A Krull se debe (en 1926) la definición de dimensión de un anillo como supremo de las longitudes de las cadenas de ideales primos de A asociando por primera vez el objeto geométrico Spec A al objeto algebraico A. Su famoso "Hauptidealsatz" hace que, en palabras de Northcott un anillo noetheriano deje de ser un pálido reflejo de un anillo de polinomios y convierte al conjunto ordenado Spec A en algo semejante al conjunto de subvariedades irreducibles de una variedad algebraica afín Spec A verifica la condición de cadena descendente en un sentido fuerte la altura de un ideal primo es finita entre dos ideales primos comparables no adyacentes existen infinitos ideales primos, etc. Más tarde Krull demuestra que si A es un anillo local regular h(P)+ch(P)=dim A para todo P Spec A Pasamos a describir el contenido de la memoria en términos generales Un complemento de esta descripción son las introducciones a los tres capítulos de que consta así como los comenta nos intercalados en ellos. Se ha preferido prescindir de capítulo 0 y de enunciados de definiciones y resultados conocidos, salvo en contadas ocasiones bien especificadas. A cambio se citan con precisión todos los datos utilizados a riesgo de ser a veces un poco prolijos. El estudio de la propiedad de going-between ocupa los capítulos II y III de nuestra memoria El capítulo I es independiente de dicha propiedad y tiene como fin básico el cálculo de la dimensión de Krull en una extensión de anillos. Parte de los resultados son utilizados luego en los dos capítulos posteriores pero creemos que primordialmente son de interés por sí mismos. La motivación principal está en conseguir para una extensión ACB de anillos íntegros fórmulas que relacionen dim B con dim A y gr tr (A)B en las condiciones mas generales posibles. Tales fórmulas existen en la literatura solo cuando B es un anillo de polinomios ó una extensión entera aparte del clásico caso de las álgebras afines sobre un cuerpo El objetivo se logra de hecho de forma óptima con la única restricción de que A sea un anillo noetheriano.Se comienza el capítulo I introduciendo lo que hemos llamado radical dimensional de un anillo y dando métodos de calculo de dicho ideal y también de la intersección de ciertas familias de idea les primos de un anillo noetheriano relacionadas con la dimensión. El radical dimensional aparece luego como la obstrucción a que la dimensión de Krull pueda expresarse para un anillo noetheriano cualquiera en términos del grado de trascendencia como ocurre con las álgebras afines sobre un cuerpo. En el capítulo II se comienza el estudio de la propiedad de "going-between". Se define lo que llamamos GB-extensión A C B es una GB-extensión si la aplicación Spec B -> Spec A tiene la propiedad de "going-between". Tras el examen de las generalidades del caso se centra el interés en la relación entre GB-extensiones y las más simples GD-extensiones, definidas relativamente a la propiedad de "going-down". Se observa el papel de puente que van a jugar en ello los anillos de valoración a causa de la simplicidad de su espectro. El capítulo III presenta los resultados de mayor interés (y sin duda los más complejos) en torno a la propiedad de "going-between". Se trata en definitiva de averiguar qué anillos noetherianos son GB(2)-anillos lamentablemente la condición se revela muy restrictiva por encima de la dimensión 3. Se abordan con diferentes métodos dos casos fundamentales anillos que son álgebras finitogeneradas y anillos de series formales. Resulta obligado explicar la disparidad de los métodos empleados en las dos partes del capítulo III. La condición necesaria (III 1-1) es en principio de generalidad total, pero plantea a su vez un difícil problema (conjetura de Kaplansky-Hochster) cuando se puede asegurar que dos ideales primos de altura 2 contienen simultáneamente algún ideal primo de altura 1. Aunque en ciertos casos geométricos el problema aparece como "naif", existen contraejemplos al caso general y de hecho sólo recientemente se tienen datos positivos en anillos de polinomios (McAdam). Esto explica el largo y paciente peregrinaje que representan las demostraciones de las proposiciones (III 1-4) y (III 1-6) antes mencionadas y la forma de sus enunciados. Asimismo pone de manifiesto que el método no es aplicable a los anillos de series. Finalmente digamos que los resultados obtenidos hacen pensar como improbable la existencia de GB(2)-anillos noetherianos de dimensión superior a 3 e incluso en éste último caso, un GB(2)-anillo aparece como algo muy semejante a un anillo henseliano.