Hemos de considerar la estructura de multiplicadores y derivaciones en álgebras de operadores. En procura de que el trabajo no se diluya en especificaciones técnicas tratamos en todo caso de situarlo en el contexto general de la teoría de derivaciones en álgebras de Banach. Por ello se citará frecuentemente [35], trabajo que adjuntamos a esta tesis, en el Anexo I. Asimismo, en varias de las secciones de este documento daré los elementos mínimos que permítan al lector una mejor comprensión de los temas abordados. El trabajo está dividido en cuatro capítulos principales, a saber: el Capítulo 1 de carácter introductorio, el Capítulo 2 acerca derivaciones en álgebras nucleares, el Capítulo 3 acerca de B-derivaciones, y el Capítulo 4 sobre ( ; )-derivaciones. Los resultados principales del Capítulo 2, publicados en [36], están en la Sección 2.6. La entidad de este estudio reside en el Teorema 2.5.2, que precisa condiciones fuertemente restrictivas de amenabilidad o super-amenabilidad de álgebras nucleares construídas sobre pares duales de espacios de Banach. Estudiamos entonces la estructura de las derivaciones de tipo Hadamard cuyos resultados principales son Lema 2.6.10, Prop. 2.6.11, Prop. 2.6.12, Prop. 2.6.14, Prop. 2.6.15 y Teo. 2.6.13. Los resultados principales del Capítulo 3, publicados en [38], los tenemos en las Secciones 3.2 y 3.3. Consideramos un teorema de estructura y y la descripción exhaustiva de B- derivaciones sobre l1 (N) en la forma de los teoremas 3.2.1, 3.3.1 y el Corolario 3.3.2. En el Capítulo 4 consideraré dos problemas enunciados por M. Mirzavaziri (cf. [40], 2009) acerca de estructura de ( ; )-derivaciones. La investigación, de carácter algebraica, pudo hacerse en un marco elemental finito-dimensional. Los resultados principales, pu-blicados en [37], los tenemos en los teoremas 4.2.2, 4.2.3 y 4.2.5. / We consider the structure of multipliers and derivations in operator algebras. In order to avoid a lot of technical specifications and for the sake of clearness we try to put our matter in the general framework of the theory of derivations on Banach algebras. So, I added my undergraduated thesis [35], in the Appendix I, where various aspects of the theory are treated more exhaustively. The work is divided into four main chapters; the Chapter 1 by way of introduction, the Chapter 2 about derivations in nuclear algebras, the Chapter 3 about B-derivations and the Chapter 4 about ( ; )-derivations. The main results of Chapter 2, published in [36], are in Section 2.6. The importance of this study lies in Theorem 2.5.2, that requires highly restrictive conditions of amenabilithy or super-amenabilithy of nuclear algebras built on dual pairs of Banach spaces. Then studied the structure of derivations type Hadamard (Lemma 2.6.10, Prop. 2.6.11, Prop. 2.6.12, Prop. 2.6.14, Prop. 2.6.15 and Teo. 2.6.13). The main results of Chapter 3, published in [38], we have them in Sections 3.2 and 3.3. We consider a structure theorem and the comprehensive description of B--derivations on l1 (N) in the form of Theorems 3.2.1, 3.3.1 and the Corollary 3.3.2. In Chapter 4 solve two problems stated by M. Mirzavaziri (cf. [40], 2009) about the structure of ( ; )-derivations. The research, algebraic in nature, could be done in a basic finitedimensional framework. The main results, reported in [37], are in the Theorems 4.2.2, 4.2.3 and

Sin excepción, en este trabajo U denota un álgebra de Banach compleja. Los aportes originales de este trabajo se dan en tres capítulos: - En el Capítulo 2 asumimos que el álgebra de Banach U es Arens regular y consideramos derivaciones acotadas D : U→U* : Como U** admíte una estructura natural de álgebra de Banach estudiamos problemas concernientes a cuándo el operador adjunto D* : U** → U* es derivación. En particular, analizaremos el caso de la clase D(U) de derivaciones tales que (a,D(a)) = 0 para todo E U, las que caracterizamos. Veremos que para que el álgebra U sea débilmente amenable es necesario y suficiente que D(U) sea no trivial. Analizamos esta problemática en el caso específico de álgebras de Beurling construídas sobre el grupo aditivo de los enteros. Esta investigación está publicada en el New York Journal of Matematics [1]. - En el Capítulo 3 nos damos a la tarea de caracterizar los elementos a** E U** para los que a**U* es débil*-cerrado. Esta investigación tiene relación con la existencia de aproximaciones acotadas de la identidad en ideales cerrados del álgebra, por lo que se trata de un tema que requiere atención. El material presentado está en etapa de prensa de las Actas del XIV Congreso Dr. A. Monteiro [2]. - En el Capítulo 4 retomamos el tema derivaciones, ahora sobre el álgebra de convolución asociada a permutaciones de un conjunto numerable en si mismo. Es profusa la literatura sobre el particular, y naturalmente se da la necesidad de estudiar álgebras de convolución nito-dimensionales. Veremos cómo las algebras de convolución sobre grupos nitos de permutaciones pueden ser inmersas en álgebras de matrices. Por otra parte, si bien toda derivación centralizante sobre un álgebra de Banach mapea sobre el radical se verá que esta condición no es necesaria, incluso en el contexto finito dimensional. Esta investigación está en prensa en Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyíregyháziensis [3]. / Without exception, U will denote a complex Banach algebra. Our original contributions in this work are given in three chapters: - In Chapter 2 we assume that the Banach algebra U is Arens regular and we consider bounded derivations D : U→U* : As U** has a natural structure of a Banach algebra we seek on conditions under which the adjoint operator D* : U** U→U* is a derivation. We shall characterize the class D(U) of bounded derivations so that (a,D(a)) = 0 for all a E U. We shall prove that the Banach algebra U is weakly amenable if and only if D(U) is non trivial. We shall consider this matters in the speci c case of Beurling algebras constructed on the additive group of integers. This research was published in the New York Journal of Mathematics [1]. - In Chapter 3 we shall characterize the elements a** E U** so that a**U* is weak*- closed. This investigation is connected with the existence of bounded approximate identities within closed ideals of U and is a matter that deserves attention. This investigation is in press of Actas del XIV Congreso Dr. A. Monteiro [2]. - In Chapter 4 we return to the issue of derivations, now on the convolution algebra on the discrete permutation group on a countable set. There is a huge literature in this matter and it is necessary to study nite dimensional convolution algebras. Althought any central derivation maps on the radical we shall see that this condition is not necessary, event in the nite dimensional context. This investigation is in press of Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyíregyháziensis [3]. / TEXTO PARCIAL en período de teletrabajo

O objetivo da dissertação é provar que toda álgebra, sobre o corpo dos números reais, algébrica e absolutamente valuada é de dimensão nita, e portanto isótopa a D . Observamos que H é a álgebra real dos Quatérnios e D R , C , H ou a álgebra real dos Octônios. A demonstração do resultado é feita gradualmente, considerando inicialmente álgebras reais absolutamente valuadas algébrica com unidade, a seguir com unidade e nalmente, algébrica. Na demonstração do teorema será necessário combinar resultados não triviais de álgebras não associativas, análise funcional, álgebras de Banach e técnicas de ultraprodutos de espaços normados. As álgebra absolutamente valuadas não são necessariamente associativas. Abraham Adrian 1947 mostrou que R , C , H e D são as únicas álgebras reais absolutamente valuadas dimensão nita e com unidade; o mesmo Albert dois anos depois, em 1949 , caracterizou Albert em de essas mesmas álgebras como as únicas que são absolutamente valuadas algébricas e com unidade sobre os reais. Em 1960 Fred B. Wright e Kazimierz Urbanik provaram que R , C , D são as únicas álgebra reais absolutamente valuadas e com unidade. Recentemente, em 1997 , Kaidi El-Amin, Maria Isabel Ramírez e Ángel Rodríguez Palacios mostraram que H e toda álgebra real absolutamente valuadas e algébrica é isótopa a uma de estas quatro. Nosso objetivo é desenvolver e unicar os resultados obtidos nestes 4 trabalhos. / Our goal here is to study the absolute valued algebraic real algebras. In order to reach our intention, we regard an absolute valued real algebra and on which one we impose: First, such one is nite-dimensional algebra; second; such one is algebraic algebra; third, such one is with unity; and in the end such one is algebraic algebra. In the latter case, our aim, it needs of certain classic results of functional analysis and others one of Banach algebras; then, we reach that such one real algebra is isotope to one of the classical absolute valued real algebras algebra and D R , C , H or D . Where H is the Quaternions real is the Octonions real algebra. The absolute valued algebras are not necessarily associative. Abraham Adrian Albert was the rst mathematician considering absolute valued algebras in a context not necessarily associative. In 1947 , he proved that any nite-dimensional absolute valued real algebra with unit element is isomorphic to either real eld H or the Octonions algebra D . Two years R , the complex eld C , the Quaternions algebra later, he demonstrated that R , C , H and D are the unique absolute valued algebraic real algebras with unit element. Recently, in 1997 , Kaidi El-Amin, Maria Isabel Ramírez and Ángel Rodríguez Palacios proved that any absolute valued algebraic real algebra is nite-dimensional.

Submitted by Leonardo Cavalcante (leo.ocavalcante@gmail.com) on 2018-04-23T20:47:31Z No. of bitstreams: 1 Arquivototal.pdf: 1433584 bytes, checksum: fb8978802ac3b768c50f569bc4124e5e (MD5) / Made available in DSpace on 2018-04-23T20:47:31Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Arquivototal.pdf: 1433584 bytes, checksum: fb8978802ac3b768c50f569bc4124e5e (MD5) Previous issue date: 2014-03-20 / Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq / In this dissertation we develop a rst contact with the theory of Banach Algebras and C*-algebras. As usual of a rst contact, we build the Spectral Theory in Banach algebras with unit. We present the characterization theorems of C *-algebras of Gelfand-Naimark and Gelfand-Naimark-Segal, including the GNS construction. Moreover, we prove a theorem which characterizes all complex homomorphisms in the C*-algebra C(X), as point-evaluation homomorphisms. We also present, as a curiosity, a proof of the Fundamental Theorem of Algebra using the Gelfand-Mazur Theorem. As a prerequisite to the Gelfand-Naimark-Segal's characterization of C *-algebras, we further develop, in the background, the theory of the direct sum of any family of Hilbert spaces. . / Nesta dissertação desenvolveremos um primeiro contato com a Teoria de Álgebras de Banach e C*-álgebras. Como tópico de um primeiro contato, construiremos a Teoria Espectral em Álgebras de Banach com unidade. Apresentaremos os Teoremas de Caracterização de C*-álgebras de Gelfand-Naimark, e Gelfand-Naimark-Segal, incluindo a constru c~ao GNS. Al em disso, provamos um teorema que caracteriza todos os homomor smos complexos na C*-álgebra C(X) como sendo homomor smos de avaliação. Apresentaremos também, como curiosidade, uma prova do Teorema Fundamental da Álgebra a partir do Teorema de Gelfand-Mazur. Como um pré requisito a Caracterização de Gelfand-Naimark-Segal de C*-álgebras, desenvolvemos ainda, em segundo plano, a teoria da soma direta de uma familia qualquer de espaços de Hilbert.