La relativité générale est une théorie physique de la gravitation élaborée il y a un siècle, dans laquelle l'univers est modélisé par une variété Lorentzienne (N,gamma) de dimension 4 appelée espace-temps et vérifiant les équations d'Einstein. Lorsque l'on sépare la dimension temporelle des trois dimensions spatiales, les équations de contrainte découlent naturellement de la décomposition 3+1 des équations d'Einstein. Elles constituent une condition nécessaire et suffisante pour pouvoir considérer l'espace-temps N comme l'évolution temporelle d'une hypersurface Riemannienne (m,g) plongée dans N avec une seconde forme fondamentale K. Le triplet (m,g,K) constitue alors une donnée initiale solution des équations de contrainte dont on note C l'ensemble. Dans cette thèse, nous utilisons la méthode de Robert Bartnik pour établir la structure de sous-variété de Hilbert de C pour des données initiales faiblement asymptotiquement hyperboliques, dont la régularité peut être reliée à la conjecture de courbure L^{2} bornée. Les difficultés inhérentes au cas faiblement AH ont nécessité l'introduction de deux opérateurs différentiels d'ordre deux et l'obtention d'estimées de type Poincaré et Korn pour ces opérateurs. Une fois la structure de Hilbert obtenue, nous définissons une fonctionnelle masse lisse sur la sous-variété C et compatible avec nos conditions de faible régularité. L'invariance géométrique de la masse est étudiée et montrée, modulo une conjecture en faible régularité relative au changement de cartes au voisinage de l'infini. Enfin, nous faisons le lien entre les points critiques de la masse et les métriques statiques. / General relativity is a gravitational theory born a century ago, in which the universe is a 4-dimensional Lorentzian manifold (N,gamma) called spacetime and satisfying Einstein's field equations. When we separate the time dimension from the three spatial ones, constraint equations naturally follow on from the 3+1 décomposition of Einstein's equations. Constraint equations constitute a necessary condition,as well as sufficient, to consider the spacetime N as the time evolution of a Riemannian hypersurface (m,g) embeded into N with the second fundamental form K. (m,g,K) is then an element of C, the set of initial data solutions to the constraint equations. In this work, we use Robert Bartnik's method to provide a Hilbert submanifold structure on C for weakly asymptotically hyperbolic initial data, whose regularity can be related to the bounded L^{2} curvature conjecture. Difficulties arising from the weakly AH case led us to introduce two second order differential operators and we obtain Poincaré and Korn-type estimates for them. Once the Hilbert structure is properly described, we define a mass functional smooth on the submanifold C and compatible with our weak regularity assumptions. The geometrical invariance of the mass is studied and proven, only up to a weak regularity conjecture about coordinate changes near infinity. Finally, we make a correspondance between critical points of the mass and static metrics.

Cette thèse est consacrée au problème d’évolution des théories de gravité modifiée : après avoir rappelé ce qu’il en est pour la Relativité Générale (RG), nous exposons le formalisme n + 1 des théories ƒ(R), Brans-Dicke et tenseur-scalaire et redémontrons un résultat connu : le problème de Cauchy est bien posé pour ces théories, et les équations de contrainte se réduisent à celles de la RG avec un champ de matière. Puis nous effectuons la même décomposition n + 1 pour les théories de Lovelock et, ce qui est nouveau, ƒ(Lovelock). Nous étudions ensuite les équations de contrainte des théories de Lovelock et montrons qu’elles sont, dans le cas conformément plat et symétrique en temps, la prescription d’une somme de σk-courbures. Afin de résoudre cette équation de prescription, nous introduisons une nouvelle famille de polynômes semi-symétriques homogènes et développons des résultats de concavité pour ces polynômes. Nous énonçons une conjecture qui, si elle était avérée, nous permettrait de résoudre l’équation de prescription dans de nombreux cas : ∀ P;Q ∈ ℝ[X], avec deg P = deg Q = p, P et Q sont scindés => p ∑ k=0 P(k) Q(p-k) est scindé / This thesis is devoted to the evolution problem for modified gravity theories. After having explained this problem for General Relativity (GR), we present the n + 1 formalism for ƒ(R) theories, Brans-Dicke and scalar-tensor theories. We recall a known result: the Cauchy problem for these theories is well-posed, and the constraint equations are reduced to those of GR with a matter field. Then we proceed to the same n+1 decomposition for Lovelock and ƒ(Lovelock) theories, the latter being an original result. We show that in the locally conformally flat timesymmetric case, they can be written as the prescription of a sum of σk-curvatures. In order to solve the prescription equation, we introduce a new family of homogeneous semisymmetric polynomials and prove some concavity results for those polynomials. We express the following conjecture: if this is true, we are able to solve the prescription equation in many cases. ∀ P;Q ∈ ℝ[X], avec deg P = deg Q = p, P and Q are real-rooted => p ∑ k=0 P(k) Q(p-k) is real-rooted: