Ce mémoire présente les résultats sur l’étude de la supraconductivité et de la réponse à des impuretés locales électrique et magnétiques des semi-métaux de Luttinger. Ces semi-métaux correspondent à des matériaux tri-dimensionnels dont la relation de dispersion électronique est caractérisée par des bandes quadratiques qui se touchent, en présence d’un fort couplage spin-orbite caractérisé par une pseudo-spin-3/2. Expérimentalement, certains semi-métaux de Luttinger supraconducteurs possèdent une température critique ne pouvant être expliquée par les théories conventionnelles (BCS) se référant principalement au mécanisme des phonons. Le volet supraconductivité de notre travail s’intéresse à la résolution numérique de l’équation d’Eliashberg, une théorie microscopique de la supraconductivité, avec interactions Coulombiennes écrantées comme mécanisme d’appariement des paires de Cooper. Nos résultats concernant la température critique montrent une dépendance linéaire avec la température de Fermi du matériau et nous constatons un accord entre température critique expérimentale et de notre modèle pour divers semi-métaux de Luttinger à base de bismuth, comme YPtBi, YPdBi, LuPtBi et LuPdBi. La réponse en densité de charge et spin à des impuretés locales électriques et magnétiques est aussi étudiée à température nulle analytiquement et à température non-nulle numériquement et est comparée aux résultats connus du gaz d’électron libre et des semi-métaux de Dirac. Contrairement à ces dernier, une réponse magnétique anisotropique est observée pour les semi-métaux de Luttinger et la susceptibilité magnétique de spin résultante se trouve être diamagnétique. Un Hamiltonien d’interaction entre deux impuretés magnétiques médié par le mécanisme RKKY, l’interaction entre des impuretés magnétiques obtenue par l’intermédiaire des électrons libres du matériau, est aussi présenté et discuté pour différents semi-métaux. Cette interaction par couplage RKKY pourrait être à l’origine de phases magnétiques exotiques, comme dans le cas du pyrochlore Pr2Ir2O7. Nous terminons en soulignant les explorations possibles concernant nos résultats, en ajoutant ou modifiant des termes brisant une symétrie dans l’Hamiltonien initial. / In this master thesis, I review my work on the superconductivity and on the inhomogeneities induced by impurities in Luttinger semimetals. Luttinger semimetals are characterized by a quadratic band-touching between electron and hole bands, at a time-reversal-invariant point of the Brillouin zone, and that describes effectively pseudo-spin 3/2 fermions. The superconductivity in some Luttinger semimetals can be peculiar due to the increase of the optical dielectric constant through interband excitations. For example, in YPtBi, the superconducting critical temperature is at odds with theoretical expectations from the BCS theory where Cooper pairs are induced by lattice vibrations, the phonons. We thus explore another mechanism of superconductivity, through the microscopic theory of Eliashberg that we solve numerically and where Cooper pairs are induced by the screened Coulomb interaction. In particular we compute the critical temperature and show that it scales linearly with the Fermi temperature of electrons, and compare our results to experimental observations. The multiple bands in Luttinger semimetals also affect the inhomogeneities in charge and in spin due to a charged or a magnetic impurity. We mainly study this phenomenon at zero temperature through analytical calculations and explore the influence of temperature numerically. We compare our results with inhomogeneities in a normal and in a Dirac electron gas. In particular, our results indicate that Luttinger semimetals tend to be diamagnetic on the contrary to normal and Dirac electron gases. We also derive the effective Hamiltonian of two magnetic impurities, where their mutual interaction is mediated by conduction electrons, also known as the RKKY mechanism. This interaction by RKKY coupling could be at the origin of exotic magnetic phases, as in the case of the pyrochlore Pr2Ir2O7. We finish by highlighting possible explorations of our results, by adding or modifying terms in the initial Hamiltonian.