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Es wird eine selbstkonsistente, approximative L\"osung f\"ur das verd\"unnte, ungeordnete Kondo-Gitter-Modell (KLM) vorgeschlagen, um die miteinander verkn\"upften elektronischen und magnetischen Eigenschaften von sogenannten ''local moment''-Systemen wie den verd\"unnten magnetischen Halbleitern zu diskutieren. Untersucht werden Verbindungen der Form $A_{1-x}M_x$, in denen magnetische ($M$) und nicht-magnetische Atome ($A$) statistisch \"uber das Kristallgitter verteilt sind. Die Kopplung zwischen den lokalisierten Momente und den quasi-freien Elektronen (L\"ocher) wird im Rahmen einer modifizierten RKKY-Theorie behandelt, die das KLM auf ein effektives Heisenberg-Modell abbildet. Die Unordnungen in dem elektronischen Teilsystem und in dem magnetischen Momentensystem werden nach Methoden behandelt, die der ''coherent potential approximation'' (CPA) angepa{\ss}t sind. Es wird eine Erweiterung der CPA zur Berechnung der sich wechselseitig bedingenden elektronischen und magnetischen Eigenschaften verd\"unnter ''local moment''-Systeme vom Typ $A_{1-x}M_x$ f\"ur die Situation vorgeschlagen, in der eine durch Kristallfeldparameter bedingte Unordnung in der N\"{a}chste-Nachbar-Schale des Aufatoms ber\"ucksichtigt werden mu\ss. Dabei werden Kristallfeldparameter zwischen zwei nicht-magnetischen Atomen ($\lambda^{AA}$), zwischen einem magnetischen und einem nicht-magnetischen Atom ($\lambda^{AM}$) und zwischen zwei magnetischen Atomen ($\lambda^{MM}$) unterschieden. Schl\"usselgr\"o{\ss}en wie die langreichweitigen und oszillierenden effektiven Austauschintegrale und die Curie-Temperatur und die elektronischen und magnonischen Quasiteilchen-Zustandsdichten werden im Detail in Abh\"angigkeit der Konzentration $x$ der magnetischen Ionen, der Ladungstr\"ager-Konzentration $n$, der Interband-Austauschkopplung $J$, der Temperatur und der Kristallfeldparameter untersucht. / We propose a self-consistent approximate solution of the disordered Kondo-lattice model (KLM) to get the interconnected electronic and magnetic properties of ''local-moment'' systems like diluted ferromagnetic semiconductors. Aiming at $(A_{1-x}M_x)$ compounds, where magnetic (M) and non-magnetic (A) atoms are distributed randomly over a crystal lattice, we present a theory which treats the subsystems of itinerant charge carriers and localized magnetic moments in a homologous manner. The coupling between the localized moments due to the itinerant electrons (holes) is treated by a modified RKKY-theory which maps the KLM onto an effective Heisenberg model. The disordered electronic and magnetic moment systems are both treated by coherent potential approximation (CPA) methods. An extension of CPA to perform a self-consistent model calculation of the electronic and magnetic properties of diluted local-moment systems $A_{1-x}M_x$ described by ferromagnetic Kondo-lattice model ($s-f$ model), where we included disorder in the first environment shell by use of crystal field parameters between two non-magnetic, one magnetic and non-magnetic, and two magnetic atoms, respectively $\lambda^{AA},\lambda^{AM},\lambda^{MM}$, and to get the interconnected electronic and magnetic properties of systems like diluted ferromagnetic semiconductors (DMS) is proposed. We discuss in detail the dependencies of the key-terms such as the long range and oscillating effectice exchange integrals and the Curie temperature as well as the electronic and magnonic quasiparticle densities of states on the concentration $x$ of magnetic ions, the carrier concentration $n$, the exchange coupling $J$ and the crystal field parameters.

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Ce mémoire présente les résultats sur l’étude de la supraconductivité et de la réponse à des impuretés locales électrique et magnétiques des semi-métaux de Luttinger. Ces semi-métaux correspondent à des matériaux tri-dimensionnels dont la relation de dispersion électronique est caractérisée par des bandes quadratiques qui se touchent, en présence d’un fort couplage spin-orbite caractérisé par une pseudo-spin-3/2. Expérimentalement, certains semi-métaux de Luttinger supraconducteurs possèdent une température critique ne pouvant être expliquée par les théories conventionnelles (BCS) se référant principalement au mécanisme des phonons. Le volet supraconductivité de notre travail s’intéresse à la résolution numérique de l’équation d’Eliashberg, une théorie microscopique de la supraconductivité, avec interactions Coulombiennes écrantées comme mécanisme d’appariement des paires de Cooper. Nos résultats concernant la température critique montrent une dépendance linéaire avec la température de Fermi du matériau et nous constatons un accord entre température critique expérimentale et de notre modèle pour divers semi-métaux de Luttinger à base de bismuth, comme YPtBi, YPdBi, LuPtBi et LuPdBi. La réponse en densité de charge et spin à des impuretés locales électriques et magnétiques est aussi étudiée à température nulle analytiquement et à température non-nulle numériquement et est comparée aux résultats connus du gaz d’électron libre et des semi-métaux de Dirac. Contrairement à ces dernier, une réponse magnétique anisotropique est observée pour les semi-métaux de Luttinger et la susceptibilité magnétique de spin résultante se trouve être diamagnétique. Un Hamiltonien d’interaction entre deux impuretés magnétiques médié par le mécanisme RKKY, l’interaction entre des impuretés magnétiques obtenue par l’intermédiaire des électrons libres du matériau, est aussi présenté et discuté pour différents semi-métaux. Cette interaction par couplage RKKY pourrait être à l’origine de phases magnétiques exotiques, comme dans le cas du pyrochlore Pr2Ir2O7. Nous terminons en soulignant les explorations possibles concernant nos résultats, en ajoutant ou modifiant des termes brisant une symétrie dans l’Hamiltonien initial. / In this master thesis, I review my work on the superconductivity and on the inhomogeneities induced by impurities in Luttinger semimetals. Luttinger semimetals are characterized by a quadratic band-touching between electron and hole bands, at a time-reversal-invariant point of the Brillouin zone, and that describes effectively pseudo-spin 3/2 fermions. The superconductivity in some Luttinger semimetals can be peculiar due to the increase of the optical dielectric constant through interband excitations. For example, in YPtBi, the superconducting critical temperature is at odds with theoretical expectations from the BCS theory where Cooper pairs are induced by lattice vibrations, the phonons. We thus explore another mechanism of superconductivity, through the microscopic theory of Eliashberg that we solve numerically and where Cooper pairs are induced by the screened Coulomb interaction. In particular we compute the critical temperature and show that it scales linearly with the Fermi temperature of electrons, and compare our results to experimental observations. The multiple bands in Luttinger semimetals also affect the inhomogeneities in charge and in spin due to a charged or a magnetic impurity. We mainly study this phenomenon at zero temperature through analytical calculations and explore the influence of temperature numerically. We compare our results with inhomogeneities in a normal and in a Dirac electron gas. In particular, our results indicate that Luttinger semimetals tend to be diamagnetic on the contrary to normal and Dirac electron gases. We also derive the effective Hamiltonian of two magnetic impurities, where their mutual interaction is mediated by conduction electrons, also known as the RKKY mechanism. This interaction by RKKY coupling could be at the origin of exotic magnetic phases, as in the case of the pyrochlore Pr2Ir2O7. We finish by highlighting possible explorations of our results, by adding or modifying terms in the initial Hamiltonian.