Cette thèse est consacrée à l'étude expérimentale de la spirale turbulente, le régime de coexistence laminaire-turbulent en forme d'hélice observé dans l'écoulement de Taylor-Couette, l'écoulement cisaillé entre deux cylindres coaxiaux. A cette fin nous avons réalisé des écoulements de Couette aux dimensions inégalées. Nous montrons que la spirale turbulente est un motif de grande longueur d'onde devant l'écartement des cylindres et ne peut exister si le rapport d'aspect azimutal est inférieur à 50. Nous révélons pour la première fois, l'existence d'un régime équivalent, partageant les mêmes propriétés d'un point de vue qualitatif et quantitatif, dans l'écoulement de Couette plan, l'écoulement cisaillé entre deux parois planes circulant à vitesses égales mais opposées, pourvu que ses rapports d'aspect soient suffisamment grands. Ceci nous incite à considérer la spirale turbulente comme la manifestation propre à l'écoulement de Taylor-Couette d'un motif de coexistence laminaire-turbulent ordonné de grande longueur d'onde générique des écoulements cisaillés. Nous avons étudié son émergence à partir de l'écoulement turbulent et constaté que le motif apparaît progressivement suivant un scénario identique pour les deux écoulements. L'étude quantitative conduite dans l'écoulement de Taylor-Couette, montre qu'il apparaît comme le résultat d'une instabilité de l'écoulement turbulent homogène, la coexistence laminaire-turbulent étant obtenue loin du seuil lorsque l'amplitude des modulations est suffisamment forte pour qu'il y ait relaxation vers l'état laminaire dans les minima. Le motif apparaît via une bifurcation supercritique et un jeu d'équations de Ginzburg-Landau couplées à coefficients réels suffisent pour reproduire nos observations à condition d'y ajouter du bruit. La cohérence de cette démarche est confirmée par la détermination des coefficients et nous proposons un schéma global de la transition dans le cadre d'une dynamique potentielle en présence de bruit.

Dans cette thèse, nous étudions la formation de domaines ferroélectriques dans des nanostructures, à partir d'une modélisation faisant intervenir les équations de Ginzburg-Landau et d’Électrostatique, ainsi que des conditions aux limites d'application potentielle. Dans la première partie de la thèse, les nanostructures sont constituées d'une couche ferroélectrique entièrement enclavée dans un environnement paraélectrique. Nous introduisons un modèle depuis un couplage de ces équations et élaborons, pour son investigation, un schéma numérique faisant usage d’Éléments Finis. Des simulations numériques montrent l'efficacité de ce schéma, qui permet d'établir, par exemple, l'existence de cycles d'hystérésis sous l'influence de paramètres aussi bien physiques que géométriques. Dans la seconde partie, les nanostructures sont constituées d'une couche ferroélectrique partiellement enclavée qui s'intercale entre deux couches paraélectriques. Deux modèles sont proposés à partir d'une variante du couplage réalisé dans la première partie, et se distinguent dans la prescription des conditions aux limites. Des conditions de type Neumann interviennent dans le premier modèle, pour lequel un schéma numérique aussi basé sur des approximations par Eléments Finis est introduit. Dans le second modèle, des conditions périodiques sont prises en considération ; un schéma numérique s'appuyant ici sur une hybridation des méthodes de Différences Finies et d'Eléments Finis est présenté. Les simulations numériques basées sur ces deux schémas permettent de renseigner sur les permittivités dites effectives, des nanostructures, ou encore sur la constitution des parois de domaines ferroélectriques / In this thesis, we study the formation of ferroelectric domains in nanostructures by modeling based on the Ginzburg-Landau and Electrostatics equations, together with boundary conditions that are suitable for real applications. In the first part of the thesis, the nanostructures are made up of a ferroelectric layer, fully enclosed in a paraelectric environment. We introduce a model based on the coupled system of equations and then develop, for its investigation, a numerical scheme using Finite Elements. Numerical simulations show the efficiency of this scheme, which allows us to establish, for instance, the existence of hysteresis cycles under the influence of physical or geometric parameters. In the second part, the nanostructures are made up of a partially enclosed ferroelectric layer that lies between two paraelectric layers. Two models are introduced from a variant of the coupling performed in the first part, and differ in the prescription of the boundary conditions. Neumann type conditions are prescribed in the first model, for which a numerical scheme also based on Finite Element approximations is developed. In the second model, periodic conditions are taken into account; a numerical scheme based on a combination of Finite Difference and Finite Element methods is presented. Numerical simulations from these schemes allow us, for instance, to investigate the so-called effective permittivities, of the nanostructures, or the formation of ferroelectric domain walls

Nous nous intéresserons d'abord aux équations stochastiques de Navier-Stokes bidimensionnelles (NS), de Ginzburg-Landau Complexes (CGL) et de Schrödinger non-linéaires (NLS) munies d'un bruit blanc en temps et régulier pour la variable spatiale. En nous appuyant sur des méthodes de couplages, nous établirons le caractère exponentiellement (resp polynomialement) mélangeant de NS et CGL (resp NLS) lorseque le bruit recouvre un nombre suffisant de bas modes. Deux des innovations majeures de ces résultats sont le fait que l'on s'autorise à traiter des équations non-dissipatives telles que NLS et que l'on considère des bruits non additifs.<br />Dans un deuxième temps, nous considérerons les équations de Navier-Stokes stochastiques tridimensionnelles (NS3D). Nous établirons la régularité Hp et Gevrey des solutions stationnaires de NS3D et nous en déduirons des informations sur l'échelle de dissipation de Kolmogorov (K41). Puis, nous établirons le caractère exponentiellement mélangeant des solutions de NS3D lorsque le bruit est à la fois suffisament régulier et non-dégénéré.