Το Σύστημα Αριθμητικής Υπολοίπου (Residue Number System - RNS), είναι ένα σύστημα αριθμητικής το οποίο παρουσιάζει σημαντικά πλεονεκτήματα στην ταχύτητα με την οποία μπορούν να γίνουν οι αριθμητικές πράξεις. Στα RNS οι αριθμοί αναπαρίστανται σαν ένα σύνολο από υπόλοιπα. Οι εφαρμογές του RNS εκτείνονται σε ένα ευρύ φάσμα της επιστήμης και της τεχνολογίας οπότε έχει δοθεί μεγάλο βάρος στην ανάπτυξη αριθμητικών συστημάτων υψηλής απόδοσης. Τέτοιες αριθμητικές μονάδες είναι αθροιστές, πολλαπλασιαστές, κυκλώματα υπολογισμού ρίζας και γεννήτριες υπολοίπου (Residue Generator – RG). Τα RNS συστήματα πολύ συχνά χρησιμοποιούν βάσεις με τρία διαφορετικά moduli της μορφής {2^n-1,2^n,2^n+1}. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι έχουν κατασκευαστεί πολύ αποδοτικά συνδυαστικά κυκλώματα κωδικοποίησης και αποκωδικοποίησης από και προς το δυαδικό σύστημα. Επομένως, ο σχεδιασμός πολύ αποδοτικών αριθμητικών συστημάτων modulo 2^n-1, modulo 2^n, modulo 2^n+1 είναι ζωτικής σημασίας για τις εφαρμογές που χρησιμοποιούν το RNS. Από αυτές τις βάσεις αυτή που απαιτεί τα πιο απαιτητικά κυκλώματα είναι αυτή που έχει σαν moduli το 2^n+1 μια που μόνο αυτή δίνει αριθμούς με n+1 bits. Στη modulo 2^n+1 αριθμητική οι αριθμοί εμφανίζονται συνήθως σε δύο αναπαραστάσεις. Στην αναπαράσταση με βάρη και στη diminished-1 αναπαράσταση. Οι δύο αυτές αναπαραστάσεις έχουν κάποια χαρακτηριστικά που τις διαφοροποιούν και που τις κάνουν κατάλληλες για διαφορετικές εφαρμογές. Στην διπλωματική αυτή θα παρουσιάσουμε μια τεχνική η οποία συνδυάζει τα πλεονεκτήματα των δύο αναπαραστάσεων προσφέροντας έτσι κυκλώματα με μικρότερη επιφάνεια που συνήθως όμως έχουν καλύτερη απόδοση. Αυτή η τεχνική θα εφαρμοστεί σε modulo 2^n+1 αθροιστές πολλαπλών εντέλων (Multi-Operand Modulo Adder – MOMA), σε modulo 2^n+1 αθροιστές και σε RG ενώ θα γίνει μελέτη της απόδοσης τους σε σχέση με τις πιο διαδεδομένες μέχρι τώρα αντίστοιχες αρχιτεκτονικές. / The Residue Number Systen (RNS) is an arithmetic system with many advantages in the speed of arithmetic components. In RNS the numbers are represented as a set of residues. The RNS applications are various so there is a great effort in developing arithmetic components with very high performance. Those arithmetic components are adders, multipliers, residue generators etc. In RNS there are commonly used bases of the form {2^n-1, 2^n, 2^n+1} that is because there has been developed very efficient encoding and decoding from and to the binary system. So the design of very efficient arithmetic components in modulo 2^n-1, modulo 2^n, modulo 2^n+1 is very crucial for RNS applications. From these three modulis the 2^n+1 is the most critical to implement because it is the only one that needs n+1-bits. In modulo 2^n+1 arithmetic the numbers are represented in two forms. In the weighted representation and in the diminished-1 representation. These two representations have some differences that make them suitable for different applications. On this thesis work we introduce a technique that combines the advantages of the two representations. This technique when applied in arithmetic components produces circuits that are smaller and very often faster. We use this techniques to design multi operand modulo 2^n+1 adders (MOMA), fast modulo 2^n+1 adders and residue generators (RG).

Η άθροιση μεγάλων αριθμών είναι μια χρονοβόρα και ενεργοβόρα διαδικασία. Πολλές μέθοδοι έχουν αναπτυχθεί για να μειωθεί η καθυστέρηση υπολογισμού του αθροίσματος λόγω της μετάδοσης κρατουμένου. Τέτοιες είναι η πρόβλεψη κρατουμένου (carry look ahead) και η επιλογή κρατουμένου (carry select). Αυτές οι αρχιτεκτονικές δεν είναι επαρκώς επεκτάσιμες για μεγάλους αριθμούς (με πολλά bits) ή πολλούς αριθμούς, διότι παράγονται μεγάλα και ενεργοβόρα κυκλώματα. Στην παρούσα εργασία μελετάται η μέθοδος υπολοίπου (RNS), η οποία χρησιμοποιεί συστήματα αριθμών μεγαλύτερα από το δυαδικό. Ορίζεται μια βάση τριών αριθμών και οι αριθμοί αναπαρίστανται στα εκάστοτε τρία συστήματα της βάσης. Η άθροιση γίνεται παράλληλα σε κάθε σύστημα και τέλος οι αριθμοί μετατρέπονται πάλι στο δυαδικό. Τα πλεονεκτήματα αυτής της προσέγγισης είναι η παραλληλία και η απουσία μεγάλων κυκλωμάτων διάδοσης κρατουμένου. Το μειονέκτημα είναι ότι χρειάζονται κυκλώματα μετατροπής από και προς το δυαδικό σύστημα. Αυτού του είδους οι αθροιστές συγκρίνονται για κατανάλωση ενέργειας με τους γνωστούς carry look ahead και carry select. Διαπιστώθηκε ότι οι RNS αθροιστές καταναλώνουν λιγότερη ενέργεια. / The addition of many-bits numbers is a time and power consuming task. Many methods are developed to reduce the sum calculation delay due to carry propagation. Such techniques are Carry Look Ahead and Carry Select, Those techniques are not scalable to many bits numbers or a set of many numbers: the circuits needed are big and power consuming. In this thesis, the the RNS technique is investigated. This technique uses radix bigger than binary. A 3-numbers base is defined and the numbers that participate in the sum are represented uniquely in each element radix. The addition is performed in parallel in each radix. Finally the result is transformed back to the binary numbers system. The advantages of this technique are the parallelization of the process and the lack of carry propagation circuits. The disadvantage is that transformation circuits are need from/to binary system. The RNS adders are compared to CLA and CS for power. Such adders are compared to CLA and CS for power consumption. It is found that RNS adders consume less energy.