Το περίφημο Ευκλείδειο Αίτημα (5ο αίτημα), όπως διατυπώνεται στα Στοιχεία του Ευκλείδη, απασχόλησε τον μαθηματικό κόσμο για περίπου 2000 χρόνια. Ξεκινώντας λοιπόν από το βιβλίο που αποτέλεσε ορόσημο για τη μαθηματική σκέψη, αναφερόμαστε σε ορισμένες αδυναμίες (κυρίως στο βαθμό αυστηρότητας) που έχουν επισημάνει σε αυτό οι κριτικοί και στεκόμαστε στο εξής γεγονός: Ο Ευκλείδης δεν έδωσε αποδείξεις για ορισμένες ιδέες και δηλώσεις του. Επειδή όμως αυτές οι δηλώσεις ήταν απαραίτητες για τις περαιτέρω μελέτες του τις έθεσε ως αληθινές. Η ιδέα ότι ορισμένες προτάσεις, μέσα στο πλαίσιο μιας θεωρίας, θα πρέπει να λαμβάνονται ως αληθινές χωρίς απόδειξη, είναι πολύ αρχαιότερη του Ευκλείδη. Ήδη ο Αριστοτέλης είχε εκθέσει στα «Αναλυτικά» του, μια θεωρητική επεξεργασία αυτής της αναγκαιότητας. Ο Ευκλείδης ακολουθεί την παγιωμένη αυτή τακτική προτάσσοντας τα πέντε αιτήματά του στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων του. Πολλές προσπάθειες απόδειξης του 5ου αιτήματος έγιναν από σεβαστό αριθμό μαθηματικών. Όμως η εμφάνιση απόδειξης στο πρόβλημα δεν φαινόταν να «επιθυμεί» να έρθει στο φως. Έτσι, και ενώ είχε περάσει ένα αρκετά μεγάλο χρονικό διάστημα, τελικά μέσα από την άρνηση του ίδιου του 5ου αιτήματος ήρθαν στο προσκήνιο οι Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες. Η άρνηση του 5ου αιτήματος οδήγησε στην άποψη πως είναι δυνατή η ύπαρξη μίας Γεωμετρίας ανεξάρτητης από το 5ο αίτημα θέτοντας έτσι τη βάση για την ανάπτυξη μίας νέας λογικά συνεπούς θεωρίας, η οποία έμελε να εκφράζει πιο πιστά αυτό που πράγματι συμβαίνει γενικά στη φύση και όχι σε μια ειδική περιοχή της . Σε πρώτο στάδιο, για να παρουσιάσουμε μία πλήρη ιστορική αναδρομή, χρησιμοποιούμε ως "σημείο εκκίνησης" τα χρόνια που προηγήθηκαν της συγγραφής των Στοιχείων. Μέσω αυτής της αναδρομής στόχος μας είναι να αναδειχθούν τόσο η φύση, όσο και ο σημαντικός ρόλος του Ευκλείδειου αιτήματος στη μαθηματική εξέλιξη. Στην καταγραφή αυτή, είναι δυνατό να συναντήσει κανείς πληροφορίες για το κλίμα που ευνόησε τη συγγραφή των Στοιχείων, ιδιαίτερα χαρακτηριστικά του συγγραφέα τους, αλλά και του ίδιου του έργου, μέσα από μία γενική θεώρηση που στόχο έχει πάντα την βαθύτερη κατανόηση του 5ου αιτήματος. Στη συνέχεια και έχοντας εξετάσει εν συντομία τα ιδιαίτερα αλλά και τα βασικά χαρακτηριστικά των Στοιχείων και του συγγραφέα τους μεταβαίνουμε στο βασικό θέμα της εργασίας. Πρόκειται, αρχικά, για την έκθεση των πέντε αιτημάτων, ενώ ακολουθεί η εκτενής παρουσίαση του 5ου αιτήματος. Βασικό αντικείμενο μελέτης μας σε αυτό το στάδιο είναι οι διαφορετικές διατυπώσεις που χρησιμοποιήθηκαν για να καταγραφεί το ίδιο ακριβώς θέμα, καθώς επίσης και οι ποικίλες προσπάθειες απόδειξής του. Παρουσιάζουμε ορισμένες από τις βασικότερες αποδείξεις του 5ου αιτήματος, τα δυνατά σημεία τους αλλά και τις αδυναμίες/ σφάλματα που επισημάνθηκαν από τους μελετητές. Το δέκατο ένατο αιώνα, οι μαθηματικοί άλλαξαν τακτική και επιχείρησαν να δείξουν ότι το 5ο αίτημα έπεται από τα άλλα τέσσερα: για να το κάνουν αυτό, πήραν τα τέσσερα αξιώματα και την άρνηση του 5ου και προσπάθησαν να εντοπίσουν τυχόν αντιφάσεις. Μόνο που αντί για αντιφάσεις, ανακάλυψαν μια καινούρια, διαφορετική, εσωτερικά συνεπή γεωμετρία. Το βασικότερο βήμα προς την ανακάλυψη των μη Ευκλείδειων γεωμετριών έγινε με την άρνηση του 5ου αιτήματος. Η καινούρια ιδέα που ήρθε στο προσκήνιο πρότεινε ουσιαστικά την αντικατάσταση του 5ου αιτήματος από την άρνησή του. Επομένως, εάν επιχειρούσαμε να καταγράψουμε το περιεχόμενο της εργασίας συνοπτικά θα καταλήγαμε στα εξής: Πρόκειται για μία ιστορική αναδρομή που έχει βασικό της θέμα, αρχικά την παρουσίαση του Ευκλείδειου αιτήματος, έπειτα τις προσπάθειες απόδειξής του και τέλος την ανακάλυψη των Μη Ευκλείδειων Γεωμετριών μέσω της άρνησής του. / --