This thesis studies the connection between the limiting distributions of rational points on horocyle flows and the value distribution of incomplete Gauss sums. A key property of the horocycle flow on a finite-area hyperbolic surface is that long closed horocycles are uniformly distributed. In this thesis we embed rational points on such horocycles on the modular surface and investigate their equidistribution properties. We later extend this study to the metaplectic cover of the modular surface. On the other hand, it is well known that the classical Gauss sums can be evaluated in closed form depending on the residue class of the number of terms in the sum modulo 4. This is not the case for the incomplete Gauss sums, where we restrict the range of summation to a sub-interval (both long and short relative to the complete sums) and study their limiting behavior at random argument as the number of terms goes to infinity. The main ingredient in the proof is the equidistribution of rationals on metaplectic horocyles mentioned above. We also establish an analogue of the weak invariance principle for incomplete Gauss sums.

No description available.

The main objects of study in this thesis are the reflection groups associated with hyperbolic simplices. Initially we will restrict ourselves to three dimensions, and in particular to the non-compact cases which arise.  The compact cases have been studied in detail by Reid. We will use the upper half-space model of hyperbolic three space to obtain representations of these groups as Klienian groups. Then by using established techniques for determining the arithmeticity and commensurability of Klienian groups, we will divide them accordingly into commensurability classes. Profiting by some existing ideas, we will then establish geometric results which be used to confirm explicitly the results on commensurability. In the latter part of the thesis we move up a dimension to hyperbolic four space and discuss the simplex groups there and, in particular, their existence through Coxeter schemes and Gram matrices.  Their arithmeticity is also established and, for completeness, a calculation of their volumes. These results are derived mainly from the work of Vinberg.  We will then produce a test for commensurability from ideas of Borel and Harish-Chandra. It uses quadratic spaces, and the one-to-one correspondence between classes of quadratic forms and commensurability classes of orthogonal groups. The test developed for classifying the simplex groups is original but uses derived tools and ideas from various sources. As all the hyperbolic four space simplices are arithmetic, this classification by associated quadratic forms into commensurability classes is complete. Some of these results have been derived by other authors using different techniques. Again geometric results are established in order to confirm the algebraic results. Finally there is a discussion of how these ideas could be extended into higher dimensions and to other objects in hyperbolic space.

In 1809 Gauss published a probabilistic analysis of the method of least squares, a method which he claimed to have been using as a simple algorithm for a decade or more. Laplace, in part as a result of dissatisfaction with Gauss's approach, and in part because of his own long-standing interest in probability theory, developed and considerably modified the method, collecting his conclusions in his masterly Theorie Analytique des Probabilites of 1812. His book became the basis for the study of error theory in subsequent years. Prior to Gauss's work a number of attempts at error analysis were made. Cotes, Mayer, Euler, Boscovich, Lambert, Laplace and Legendre developed simple ad hoc algorithms for treating discrepant observations; Simpson, Lagrange, Daniel Bernoulli and again Laplace investigated the probabilistic implications of error theory. In this thesis I examine the work of these men in the light of the various characteristics of eighteenth century science which might have led them to investigate the nature of errors: the enthusiasm of the experimental philosophers for mathematising nature, together with their insistence on the supremacy of empirical results; the increasingly stringent demands for precision made by the astronomers; and the rapid growth of probability theory as a branch of mathematics.

To each pair of characters $(\chi,\psi)$ on a Fuchsian group of the first kind we associate a space of functions generalizing the space of second--order cusp forms. We determine the dimensions of these spaces and construct explicit bases. We separate two cases according to the weight. The first case deals with weight higher than 2 whilst the second deals with the more complicated case of weight 2. An application of these results to Percolation Theory is provided in the last section.

- / -

Το περίφημο Ευκλείδειο Αίτημα (5ο αίτημα), όπως διατυπώνεται στα Στοιχεία του Ευκλείδη, απασχόλησε τον μαθηματικό κόσμο για περίπου 2000 χρόνια. Ξεκινώντας λοιπόν από το βιβλίο που αποτέλεσε ορόσημο για τη μαθηματική σκέψη, αναφερόμαστε σε ορισμένες αδυναμίες (κυρίως στο βαθμό αυστηρότητας) που έχουν επισημάνει σε αυτό οι κριτικοί και στεκόμαστε στο εξής γεγονός: Ο Ευκλείδης δεν έδωσε αποδείξεις για ορισμένες ιδέες και δηλώσεις του. Επειδή όμως αυτές οι δηλώσεις ήταν απαραίτητες για τις περαιτέρω μελέτες του τις έθεσε ως αληθινές. Η ιδέα ότι ορισμένες προτάσεις, μέσα στο πλαίσιο μιας θεωρίας, θα πρέπει να λαμβάνονται ως αληθινές χωρίς απόδειξη, είναι πολύ αρχαιότερη του Ευκλείδη. Ήδη ο Αριστοτέλης είχε εκθέσει στα «Αναλυτικά» του, μια θεωρητική επεξεργασία αυτής της αναγκαιότητας. Ο Ευκλείδης ακολουθεί την παγιωμένη αυτή τακτική προτάσσοντας τα πέντε αιτήματά του στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων του. Πολλές προσπάθειες απόδειξης του 5ου αιτήματος έγιναν από σεβαστό αριθμό μαθηματικών. Όμως η εμφάνιση απόδειξης στο πρόβλημα δεν φαινόταν να «επιθυμεί» να έρθει στο φως. Έτσι, και ενώ είχε περάσει ένα αρκετά μεγάλο χρονικό διάστημα, τελικά μέσα από την άρνηση του ίδιου του 5ου αιτήματος ήρθαν στο προσκήνιο οι Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες. Η άρνηση του 5ου αιτήματος οδήγησε στην άποψη πως είναι δυνατή η ύπαρξη μίας Γεωμετρίας ανεξάρτητης από το 5ο αίτημα θέτοντας έτσι τη βάση για την ανάπτυξη μίας νέας λογικά συνεπούς θεωρίας, η οποία έμελε να εκφράζει πιο πιστά αυτό που πράγματι συμβαίνει γενικά στη φύση και όχι σε μια ειδική περιοχή της . Σε πρώτο στάδιο, για να παρουσιάσουμε μία πλήρη ιστορική αναδρομή, χρησιμοποιούμε ως "σημείο εκκίνησης" τα χρόνια που προηγήθηκαν της συγγραφής των Στοιχείων. Μέσω αυτής της αναδρομής στόχος μας είναι να αναδειχθούν τόσο η φύση, όσο και ο σημαντικός ρόλος του Ευκλείδειου αιτήματος στη μαθηματική εξέλιξη. Στην καταγραφή αυτή, είναι δυνατό να συναντήσει κανείς πληροφορίες για το κλίμα που ευνόησε τη συγγραφή των Στοιχείων, ιδιαίτερα χαρακτηριστικά του συγγραφέα τους, αλλά και του ίδιου του έργου, μέσα από μία γενική θεώρηση που στόχο έχει πάντα την βαθύτερη κατανόηση του 5ου αιτήματος. Στη συνέχεια και έχοντας εξετάσει εν συντομία τα ιδιαίτερα αλλά και τα βασικά χαρακτηριστικά των Στοιχείων και του συγγραφέα τους μεταβαίνουμε στο βασικό θέμα της εργασίας. Πρόκειται, αρχικά, για την έκθεση των πέντε αιτημάτων, ενώ ακολουθεί η εκτενής παρουσίαση του 5ου αιτήματος. Βασικό αντικείμενο μελέτης μας σε αυτό το στάδιο είναι οι διαφορετικές διατυπώσεις που χρησιμοποιήθηκαν για να καταγραφεί το ίδιο ακριβώς θέμα, καθώς επίσης και οι ποικίλες προσπάθειες απόδειξής του. Παρουσιάζουμε ορισμένες από τις βασικότερες αποδείξεις του 5ου αιτήματος, τα δυνατά σημεία τους αλλά και τις αδυναμίες/ σφάλματα που επισημάνθηκαν από τους μελετητές. Το δέκατο ένατο αιώνα, οι μαθηματικοί άλλαξαν τακτική και επιχείρησαν να δείξουν ότι το 5ο αίτημα έπεται από τα άλλα τέσσερα: για να το κάνουν αυτό, πήραν τα τέσσερα αξιώματα και την άρνηση του 5ου και προσπάθησαν να εντοπίσουν τυχόν αντιφάσεις. Μόνο που αντί για αντιφάσεις, ανακάλυψαν μια καινούρια, διαφορετική, εσωτερικά συνεπή γεωμετρία. Το βασικότερο βήμα προς την ανακάλυψη των μη Ευκλείδειων γεωμετριών έγινε με την άρνηση του 5ου αιτήματος. Η καινούρια ιδέα που ήρθε στο προσκήνιο πρότεινε ουσιαστικά την αντικατάσταση του 5ου αιτήματος από την άρνησή του. Επομένως, εάν επιχειρούσαμε να καταγράψουμε το περιεχόμενο της εργασίας συνοπτικά θα καταλήγαμε στα εξής: Πρόκειται για μία ιστορική αναδρομή που έχει βασικό της θέμα, αρχικά την παρουσίαση του Ευκλείδειου αιτήματος, έπειτα τις προσπάθειες απόδειξής του και τέλος την ανακάλυψη των Μη Ευκλείδειων Γεωμετριών μέσω της άρνησής του. / --

Στην εργασία αυτή θα παρουσιάσουμε το θεώρημα Gauss-Bonnet. Το θεώρημα αυτό είναι ένα από τα σημαντικότερα θεωρήματα της θεωρίας επιφανειών. Για πρώτη φορά δημοσιεύθηκε από τον O. Bonnet (1819-1892) το 1848, αλλά πιθανότατα να ήταν γνωστό στον Gauss. Μελετάμε το ολοκλήρωμα της καμπυλότητας Gauss K μιας συμπαγούς προσανατολισμένης επιφάνειας S. Στη συνέχεια δείχνουμε τη συσχέτιση του ολοκληρώματος αυτού, με την χαρακτηριστική του Euler, η οποία είναι μια σημαντική τοπολογική αναλλοίωτος της επιφάνειας S. Επίσης αναφερόμαστε στη γενίκευση του θεωρήματος Gauss-Bonnet σε μεγαλύτερες διαστάσεις. / In this work we study the Gauss-Bonnet Theorem. This theorem is one of the most important theorems in differential geometry of surfaces. Ιt was published by O. Bonnet (1819-1892) in 1848, but propably it was also known to Gauss. We study the integral of the Gauss curvature K of a compact, orientable surface S. Next we describe the connection of this integral with the Euler characteristic which is an important topological invariant of S. We also exam the generalization of the Gauss-Bonnet theorem in bigger dimensions.

Dans cette thèse, on s'intéresse à la construction et à la déformation de structures CR-sphériques sur des variétés de dimension 3. Pour le faire, on étudie en détail l'espace hyperbolique complexe, son groupe d'isométries et des objets géométriques liés à cet espace. On montre un théorème de chirurgie qui permet de construire des structures CR-sphériques sur des chirurgies de Dehn d'une variété à pointe portant une structure CR-sphérique : il s'applique aux structures de Deraux-Falbel sur le complémentaire du noeud de huit et à celles de Schwartz et de Parker-Will sur le complémentaire de l'entrelacs de Whitehead. On définit aussi les variétés de caractères de groupes de type fini pour les formes réelles de SL(n,C) comme des sous-ensembles de la variété des caractères SL(n,C) fixes par des involutions anti-holomorphes. Ces variétés de caractères, dont on étudie en détail l'exemple du groupe Z/3Z*Z/3Z, fournissent des espaces de déformation pour des représentations d'holonomie de structures CR-sphériques. À l'aide de ces espaces de déformations, et des outils liés aux sphères visuelles dans CP^2, on construit une déformation explicite du domaine de Ford construit par Parker et Will et qui donne une uniformisation CR-sphérique sur le complémentaire de l'entrelacs de Whitehead. Cette déformation fournit une infinité d'uniformisations CR-sphériques sur une chirurgie de Dehn particulière de cette variété, et des uniformisations CR-sphériques sur une infinité de chirurgies de Dehn sur le complémentaire de l'entrelacs de Whitehead. / In this thesis, we study the construction and deformation of spherical-CR structures on three dimensional manifolds. In order to do it, we give a detailed description of the complex hyperbolic plane, its group of isometries and some geometric objects attached to this space such as bisectors and extors. We show a surgery theorem which allows to construct spherical-CR on Dehn surgeries of a cusped spherical-CR manifold : this theorem can be applied for the Deraux-Falbel structure on the figure eight knot complement and for Schwartz's and Parker-Will structures on the Whitehead link complement. We also define the character varieties for a real form of SL(n,C) for finitely generated groups as some subsets of the SL(n,C)-character variety invariant under an anti-holomorphic involution. We study in detail the example of the group Z/3Z*Z/3Z. These character varieties give deformation spaces for the holonomy representations of spherical-CR structures. With these deformation spaces and tools related to the visual spheres of a point in CP^2, we construct an explicit deformation of the Ford domain constructed by Parker and Will, which gives a spherical-CR uniformisation of the Whitehead link complement. This deformation provides infinitely many spherical-CR uniformisations of a particular Dehn surgery of the manifold, and spherical-CR unifomisations for infinitely many Dehn surgeries of the Whitehead link complement.

L'objet de ce travail est de prouver des théorèmes de géométrie hyperbolique en utilisant des méthodes développées par Euler, Schubert et Steiner en géométrie sphérique. On donne des analogues hyperboliques de certaines formules trigonométriques en utilisant la méthode des variations et une formule pour l'aire d'un triangle. Euler utilisa cette idée en géométrie sphérique.On résout ensuite le problème de Lexell en géométrie hyperbolique. Cette partie est basée sur un travail en collaboration avec Weixu Su. En utilisant l'analogue hyperbolique des identités de Cagnoli, on prouve deux résultats classiques en géométrie hyperbolique. Ensuite, on donne les solutions aux problèmes de Schubert (en collaboration avec Vincent Alberge) et de Steiner. En suivant les idées de Norbert A'Campo, on donne l'ébauche de la preuve de la formule de Schlafli en utilisant la géométrie intégrale. Cette recherche peut être généralisée partiellement au cas de la dimension 3. / Our aim is to prove sorne theorems in hyperbolic geometry based on the methods of Euler, Schubert and Steiner in spherical geometry. We give the hyperbolic analogues of sorne trigonometrie formulae by method of variations and an a rea formula in terms of sides of triangles, both due to Euler in spherical case. We solve Lexell's problem. This is a joint work with Weixu Su. We give a shorter formula than Euler's a rea formula. Using hyperbolic analogues of Cagnoli's identities, we prove two classical results in hyperbolic geometry. Further, we give solutions of Schubert's and Steiner's problems. The study of Schubert's problem is a joint work with Vincent Alberge. Finally, following ideas of Norbert A' Campo, we give the sketch of the proof of Schlafli formula using integral geometry. The mentioned theorems can be generalized to the case of dimension 3 partially by means of the techniques used developed in this the sis.