Spelling suggestions: "subject:"ιδεώδη"" "subject:"ιδεώδης""
1 |
Στοιχεία από τη θεωρία αντιμεταθετικών δακτυλίωνΔακουρά, Μαρία 20 October 2010 (has links)
Οι αντιμεταθετικοί δακτύλιοι έχουν την προέλευσή τους από τη θεωρία αριθμών και από την αλγεβρική γεωμετρία στον 19ο αιώνα. Σήμερα είναι ιδιαίτερα σημαντικοί και έχουν ενδιαφέρουσα επίδραση στην αλγεβρική γεωμετρία και στην θεωρία αριθμών, χρησιμοποιώντας μεθόδους αντιμεταθετικής άλγεβρας. Εδώ περιγράφουμε τις βασικές μεθόδους και κάνουμε τα πρώτα βήματα σε αυτό το θέμα. Στο εξής όλοι οι δακτύλιοι θα είναι αντιμεταθετικοί, εκτός αν θεωρήσουμε κάτι άλλο.
Το κεντρικό θέμα της αξιωματικής ανάπτυξης της γραμμικής άλγεβρας είναι ένας διανυσματικός χώρος επί ενός σώματος. Η αξιωματοποίηση της γραμμικής άλγεβρας, η οποία επιτεύχθηκε το 1920, μορφοποιήθηκε σε μια μεγάλη έκταση, από την επιθυμία να εισάγουμε γεωμετρικές έννοιες στη μελέτη συγκεκριμένων κλάσεων των συναρτήσεων στην ανάλυση. Κατ’ αρχάς, ασχοληθήκαμε αποκλειστικά με τους διανυσματικούς χώρους των πραγματικών αριθμών ή των μιγαδικών αριθμών. Η έννοια ενός module είναι μια άμεση γενίκευση ενός διανυσματικού χώρου. Η γενίκευση αυτή επιτυγχάνεται απλά αντικαθιστώντας το σώμα των συντελεστών διά ενός δακτυλίου.
Ο ευκολότερος τρόπος για να ορίσουμε ένα module μπορούμε να πούμε ότι είναι ένα αλγεβρικό σύστημα το οποίο ικανοποιεί τα ίδια αξιώματα όπως ένας διανυσματικός χώρος εκτός του ότι οι συντελεστές ανήκουν σ’ ένα δακτύλιο R με μονάδα αντί ενός σώματος F. Αυτή η φαινομενικά σεμνή γενίκευση οδηγεί σε μια αλγεβρική δομή η οποία είναι μεγίστης σημασίας.
Ιστορικά ο πρώτος δακτύλιος που μελετήθηκε ήταν ο δακτύλιος ℤ των ακεραίων, ο όρος “δακτύλιος” πρωτοχρησιμοποιήθηκε από τον Hilbert (1897) στο “Zahlbericht” του για έναν δακτύλιο αλγεβρικών ακεραίων. Στο ℤ κάθε δακτύλιος είναι κύριος. Στην πραγματικότητα τα ιδεώδη είχαν πρώτα εισαχθεί (από Kummer) ως “ιδεώδεις αριθμοί” στους δακτυλίους αλγεβρικών ακεραίων οι οποίοι εστερούντο μοναδικής παραγοντοντοποίησης (unique factorization). Στο ℤ μπορούμε από δύο αριθμούς a,b να ορίσουμε τον μέγιστο κοινό διαιρέτη (ΜΚΔ) αυτών, (a,b), το γινόμενό τους ab και το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) αυτών, [a,b]. Αυτές οι πράξεις αντιστοιχούν σε πράξεις ιδεωδών σε κάθε δακτύλιο. / Commutative ring has its origins in number theory its origins in number theory and algebraic geometry in the 19th century. Today it is of particular importance in algebraic geometry, and there has been an interesting interaction of algebraic geometry and number theory, using the methods of commutative algebra. Here we can do no more than describe the basic techniques and take the first steps in the first steps in the subject. Throughout this chapter all rings will be commutative, unless otherwise stated.
The central concept of the axiomatic development of linear algebra is that of a vector space over a field. The axiomatization of linear algebra, which was effected in the 1920’s, was motivated to a large extend by the desire to introduce geometric notions in the study of certain classes of functions in analysis. At first one dealt exclusively with vector spaces over the reals or the complexes. It soon became apparent that this restriction was rather artificial , since a large body of the results depended only on the solution of linear equations and thus were valid for arbitrary fields. This led to the study of vactor spaces over arbitrary fields and this is what presently constitutes linear algebra.
The concept of a module is an immediate generalization of that of a vector space. One obtains the generalization by simply replacing the underlying field by any ring.In the first place, one learns from experience that the internal logical structure of mathematics strongly urges the pursuit of such ‘natural’ generalizations. These often result in an improved insight into the theory which led to them in the first place.
The easiest way to define a module is to say that it is an algebraic system that satisfies the same axioms as a vector space except that the scalars come from a ring R with a 1 instead of from a field F. This seemingly modest generalization leads to an algebraic structure that is of the greatest importance. We use here the term R-module, it being understood that the scalars are written on the left.
Historically the first ring to studied was the ring Z of integers, the term ‘ring’ was first used by Hilbert (1897) in his ‘Zahlbericht’ for a ring of algebraic integers. In Z every ideal is principal, in fact ideals were first introduced (by Kummer) as ‘ideal numbers’ in rings of algebraic integers which lacked unique factorization. In Z we can from any two numbers a,b form their highest common factor (HCF, also greatest common divisor, GCD) (a,b), their product ab and their least common multiple (LCM) [a,b]. These operations correspond to operations on ideals in any ring.
Valuation theory may be described as the study of divisibility (in commutative rings) in its purest form, but that is only one aspect. The general formulation leads to the introduction of topological concepts like completion, which provides a powerful tool. It also emphasizes the parallel with the absolute value on the real and complex numbers. After the initial definitions we shall prove the essential uniqueness of the absolute value on R and C, and go on to describe the p-adic numbers, before looking at simple cases of the extension problem.
|
2 |
Επί του συνόρου των δισδιάστατων συμπλόκωνΒροντάκης, Εμμανουήλ 14 December 2009 (has links)
Η παρούσα διατριβή αφορά στη μελέτη του συνόρου υπερβολικών δισδιάστατων πολυέδρων. Οι χώροι οι οποίοι μελετώνται κατασκευάζονται κολλώντας υπερβολικά τρίγωνα τα οποία έχουν 2 τουλάχιστον κορυφές στο άπειρο. Οι συγκολλήσεις γίνονται με ισομετρίες κατά μήκος των πλευρών των τριγώνων και οι χώροι οι οποίοι προκύπτουν εφοδιάζονται φυσιολογικά με μία γεωμετρία η οποία έχει ομοιότητες με την γεωμετρία των υπερβολικών πολλαπλοτήτων.
Αρχικά μελετάμε τις βασικές ιδιότητες των δισδιάστατων ιδεωδών πολυέδρων και αποδεικνύουμε ότι: «Για κάθε δύο σημεία του συνόρου του καθολικού καλύμματος του χώρου που κατασκευάζουμε, υπάρχει άπειρο πλήθος υποχώρων του συνόρου ομοιομορφικών με το οι οποίοι περιέχουν τα σημεία αυτά».
Στη συνέχεια, για μια ειδική κλάση πολυέδρων που κατασκευάζουμε κολλώντας με ισομετρίες κατά μήκος των πλευρών τους πεπερασμένα υπερβολικά τρίγωνα τα οποία έχουν δύο κορυφές στο άπειρο, αποδεικνύουμε επιπλέον ότι: «το σύνορο του καθολικού καλύμματος του χώρου που κατασκευάζουμε είναι τοπικά συνεκτικό κατά τόξα».
Τέλος, στην τρίτη ενότητα δίδουμε μια τοπολογική περιγραφή του συνόρου των ιδεωδών πολυέδρων διάστασης 2. / The present work is related to the study of the visual boundary of hyperbolic two dimensional simplicial complexes. We construct (and study) spaces by gluing hyperbolic triangles with at least two vertices at infinity. We glue the triangles by isometries along their sides and we study the derived spaces.
In the first chapter it is proved that for every two points in the visual boundary of the universal covering of a two dimensional ideal polyhedron, there is an infinity of paths joining them.
In the second chapter, a class of hyperbolic two dimensional complexes X is defined. Is is shown that the limit set of the action of π1(X) on the universal covering of X, is equal to the visual boundary and also that the visual boundary is path connected and locally path connected.
Finally, in the third chapter a kind of Sierpinski set is described which is homeomorphic to the visual boundary of certain ideal polyhedra.
|
Page generated in 0.0175 seconds