Για την αντιμετώπιση του προβλήματος ρύθμισης ενός συστήματος μη ελάχιστης φάσης είναι γνωστοί δύο τρόποι από τη θεωρία των γραμμικών συστημάτων. Ο ένας αφορά στην επιλογή βέλτιστης συνθετικής εξόδου ως προς την οποία το σύστημα είναι ελάχιστης φάσης. Ο δεύτερος τρόπος περιλαμβάνει άμεση κατασκευή βέλτιστου νόμου ανάδρασης καταστάσεων ως προς ένα σύνθετο δείκτη απόδοσης. Στην παρούσα εργασία αρχικά αναπτύσσεται μέθοδος για τη σύνθεση βέλτιστου νόμου ανάδρασης καταστάσεων για μη γραμμικές διεργασίες, όπου η είσοδος υπεισέρχεται μη γραμμικά στις διαφορικές εξισώσεις, με βάση ένα σύνθετο τετραγωνικό δείκτη απόδοσης. Ο δείκτης αυτός εξαρτάται τόσο από τη ρυθμιστική απόκλιση, όσο και από την απόκλιση της μεταβλητής χειρισμού. Για την επίλυση του προβλήματος δυναμικής βελτιστοποίησης χρησιμοποιούνται οι εξισώσεις Hamilton – Jacobi μέσω των οποίων υπολογίζεται ο βέλτιστος νόμος ανάδρασης καταστάσεων. Η λύση των εξισώσεων Hamilton – Jacobi υπολογίζεται με βάση την επαναληπτική μέθοδο Newton – Kantorovich. Σε κάθε βήμα της επανάληψης επιλύεται προσεγγιστικά μια μερική διαφορική εξίσωση τύπου Zubov με τη βοήθεια αναπτύγματος σε δυναμοσειρά. Στο Νοστό βήμα της επανάληψης η μέθοδος παράγει τη Νοστής τάξης προσέγγιση του αναπτύγματος κατά Taylor του βέλτιστου νόμου ανάδρασης καταστάσεων. Η παραπάνω μέθοδος εφαρμόζεται σε προβλήμα ρύθμισης της συγκέντρωσης προϊόντος σε σύστημα δύο μη ισοθερμοκρασιακών αντιδραστήρων CSTR, όπου λαμβάνει χώρα εξώθερμη αντίδραση, στην περίπτωση που η είσοδος υπεισέρχεται μη γραμμικά στις δυναμικές εξισώσεις της διεργασίας. Επίσης μελετώνται οι ιδιότητες σύγκλισης της επαναληπτικής μεθόδου Newton – Kantorovich, όταν αυτή εφαρμόζεται για την επίλυση της εξίσωσης Hamilton – Jacobi – Bellman που αντιστοιχεί στο πρόβλημα βελτιστοποίησης ενός σύνθετου τετραγωνικού δείκτη απόδοσης υπό τους περιορισμούς μιας μη γραμμικής δυναμικής όπου η είσοδος υπεισέρχεται γραμμικά στις διαφορικές εξισώσεις. Στη συνέχεια, για τη βέλτιστη ρύθμιση μη γραμμικών συστημάτων με ασταθή δυναμική μηδενιστών (συστήματα μη ελάχιστης φάσης), χρησιμοποιείται ο συνήθης τετραγωνικός δείκτης απόδοσης ISE. Στην περίπτωση αυτή το πρόβλημα δυναμικής βελτιστοποίησης είναι ιδιόμορφο. Για την επίλυση του προβλήματος αυτού το μη γραμμικό σύστημα μετασχηματίζεται στην κανονική μορφή Byrnes-Isidori, εφαρμόζεται η θεωρία Hamilton – Jacobi και υπολογίζεται στατικά ισοδύναμη συνθετική έξοδος με ευσταθή δυναμική μηδενιστών. Η ρύθμιση της συνθετικής εξόδου στο προκαθορισμένο σημείο επιτυγχάνεται με γραμμικοποίηση εισόδου/εξόδου. Για την επίλυση των σχετικών εξισώσεων Hamilton–Jacobi αναπτύσσεται η επαναληπτική μέθοδος Newton – Kantorovich, η οποία περιλαμβάνει την επίλυση μιας μερικής διαφορικής εξίσωσης τύπου Zubov σε κάθε βήμα της επανάληψης. Η μέθοδος εφαρμόζεται σε πρόβλημα ρύθμισης της συγκέντρωσης του επιθυμητού προϊόντος σε μη ισοθερμοκρασιακό αντιδραστήρα CSTR με κινητική Van de Vusse που παρουσιάζει ασταθή δυναμική μηδενιστών. Τέλος, οι δύο μέθοδοι συγκρίνονται με βάση τους επιμέρους δείκτες απόδοσης ISE και ISC, των οποίων ο γραμμικός συνδυασμός συνιστά το σύνθετο δείκτη απόδοσης της πρώτης μεθόδου, ενώ τα αποτελέσματά τους συγκρίνονται όταν αυτές εφαρμόζονται σε πρόβλημα ρύθμισης της συγκέντρωσης του επιθυμητού προϊόντος σε μη ισοθερμοκρασιακό αντιδραστήρα CSTR με κινητική Van de Vusse. / For the control of nonlinear nonminimum – phase systems, there are two possible lines of attack, originating from linear systems theory: a) direct calculation of the optimal state feedback with respect to a quadratic performance index that represents a combination of an error measure and a control effort measure (composite index), and b) calculation of the ISE-optimal minimum-phase output and subsequent input/output linearization on that output. This work develops a numerical algorithm for the calculation of an optimal nonlinear state feedback law for nonlinear systems. A quadratic performance index is used, which contains quadratic error terms and quadratic input penalty terms. The optimization problem is solved using the Hamilton-Jacobi equations, which determine the optimal nonlinear state feedback law. A Newton-Kantorovich iteration is developed for the solution of the pertinent Hamilton-Jacobi equations, which involves solving a Zubov partial differential equation at each step of the iteration, using a power series method. At step N of the iteration, the method generates the (N+1)-th order truncation of the Taylor series expansion of the optimal state feedback function. The method is applied to the problem of controlling a system of two non-isothermal continuous stirred tank reactors (CSTR), where an exothermic reaction takes place. Convergence properties of the algorithm are also developed independently of Kantorovich’s theorem, and the results are illustrated in a numerical example. For the optimal regulation of nonminimum-phase nonlinear systems, the performance index ISE (Integral of the Square of the Error) is used. The problem of minimizing ISE subject to the dynamics of the system and closed-loop stability is singular. The problem of calculation of an ISE-optimal, statically equivalent, minimum-phase output for nonminimum-phase compensation is formulated using Hamilton-Jacobi theory and the Byrnes-Isidori normal form representation of the nonlinear system. An input/output linearizing state feedback law is applied to regulate the synthetic output to a constant set point. A Newton-Kantorovich iteration is developed for the solution of the pertinent Hamilton-Jacobi equations, which involves solving a Zubov equation at each step of the iteration. The method is applied to the problem of controlling a nonisothermal CSTR with Van de Vusse kinetics, which exhibits nonminimum-phase behaviour. Finally, the two methods are compared with respect to the constituent indexes ISE and ISC (Integral of the Square of the Control), whose linear combination forms the composite performance index. The numerical results from both methods are compared in the control of a nonisothermal CSTR with Van de Vusse kinetics.

Το Πι-κριτήριο των Bittanti et al. (1973) έχει χρησιμοποιηθεί εκτενώς σε εφαρμογές με στόχο την πρόβλεψη ενδεχόμενης βελτίωσης της απόδοσης ενός μη γραμμικού συστήματος υπό περιοδική είσοδο. Το κριτήριο όμως έχει τοπική ισχύ και περιορίζεται σε περιοδικές διαταραχές μικρού πλάτους. Η παρούσα εργασία αναπτύσσει μια μέθοδο προσδιορισμού διορθώσεων υψηλότερης τάξης στο πι-κριτήριο, προερχόμενη από βασικά αποτελέσματα της θεωρίας κεντρικής πολλαπλότητας (Center Manifold theory). Η προτεινόμενη μέθοδος βασίζεται στην επίλυση της μερικής διαφορικής εξίσωσης της κεντρικής πολλαπλότητας με χρήση δυναμοσειρών. Το τελικό αποτέλεσμα της προτεινόμενης προσέγγισης είναι ο κατά προσέγγιση υπολογισμός του δείκτη απόδοσης υπό μορφή σειράς, η οποία παρέχει ακριβή αποτελέσματα σε μεγαλύτερα εύρη. Η προτεινόμενη μέθοδος εφαρμόζεται σε έναν συνεχή αντιδραστήρα πλήρους ανάδευσης (CSTR), όπου στόχος είναι η μεγιστοποίηση της παραγωγής του επιθυμητού προϊόντος. Κατασκευάστηκε αλγόριθμος που προβλέπει την μόνιμη κατάσταση στην οποία καταλήγει ένα σύστημα απομάκρυνσης αζώτου που αποτελείται από αντιδραστήρα εμβολικής ροής και δεξαμενή δευτεροβάθμιας καθίζησης με ανακύκλωση. Με χρήση υπολογιστικού μοντέλου βασιζόμενο στο ASM3 υπολογίστηκαν οι μόνιμες καταστάσεις αυτού του συστήματος για ένα εύρος καταστάσεων λειτουργίας. Βρέθηκαν οι βέλτιστες τιμές των βαθμών ελευθερίας για την ελαχιστοποίηση του συνολικού αερισμού και για την ελαχιστοποίηση του συνολικού αζώτου στην απορροή. Και στις δύο περιπτώσεις στις βέλτιστες μόνιμες καταστάσεις παρατηρήθηκε έκπλυση των Nitrobacter δηλαδή παράκαμψη της παραγωγής των νιτρικών. / The frequency-dependent Pi criterion of Bittanti et al. (1973) has been used extensively in applications to predict potential performance improvement under periodic forcing in a nonlinear system. The criterion, however, is local in nature and is limited to periodic forcing functions of small magnitude. The present work develops a method to determine higher-order corrections to the pi criterion, derived from basic results of Center Manifold theory. The proposed method is based on solving the Center Manifold partial differential equation via power series. The end result of the proposed approach is the approximate calculation of the performance index in the form of a series expansion, which provides accurate results under larger amplitudes. The proposed method is applied to a continuous stirred tank reactor, where the yield of the desired product must be maximized. An algorithm was constructed, that predicts the steady state of a nitrogen removal system consisting of a plug flow reactor and a secondary clarifier with recycle. Using a numerical model based on ASM3 and a grid of degrees of freedom, the steady states of this system were calculated. The optimal values for minimizing the total aeration were found, as well as those for minimizing the total nitrogen exit flow. In both cases the Nitrobacter bacteria were washed out thus indicating the bypassing of nitrate production.

This work focuses in two main directions of rotor dynamics field, the simulation of rotor bearing systems and the fault diagnosis. From the serious multiple faults that can appear in a rotor bearing system two of them are the target of current research: the transverse fatigue crack of a rotor and the radial extended wear in a bearing. The transverse crack is a defect able to bring a catastrophic failure of the system when the growth (depth) takes high percentage values relatively to radius of the shaft (i.e. >60%) and the symptoms of crack presence have been widely investigated during last four decades yielding efficient methods for the early crack detection. On the other hand the defect of bearing wear is much less investigated without results connected with wear diagnosis methods. Concerning previous works in those two defects the current dissertation’s persuasion is firstly to make a proposal in bearing wear detection, secondly to achieve a method definition able to detect a breathing transverse crack in a different way from those referred to literature. For the subject of crack detection, a different crack breathing model is proposed with emphasis in coupled local compliances definition and their variation during rotation while for the subject of bearing wear detection, a wear model from the literature is used with emphasis in rotor bearing system construction in a different way in relation to what up to now is available in literature. The rotor bearing system construction (simulation) is a matter widely investigated since early 60’s and some points of the current work try to differ in the way that the rotor and the fluid film bearings interact in discrete time. The concept of nonlinear fluid film forces is confronted in this work leaving out the nonlinear stiffness and damping bearing fluid film coefficients and assuming that during the journal whirling no equilibrium point must be defined in order to evaluate the future progress of vibration. Towards generality the fluid film bearings are not defined geometrically as short or long. These two specific geometric assumptions of short/long bearing appear widely in real machines and yield analytical expressions of fluid film forces but in current work the finite fluid film bearing is used demanding the well known finite difference method in order to evaluate the impedance forces, as many researches have propose. Both defects are met in a rotor bearing system parted from a continuous rotor and finite fluid film bearings. An entire chapter is dedicated in the way that Rayleigh equation of rotor motion incorporates internal damping using exclusively Real number confrontment, and in the way that fluid film forces react in rotor motion by defining boundary conditions in every discrete time moment. The definition of boundary conditions in discrete time makes them functions of the entire system response yielding a nonlinear dynamic system with the resulting time xx histories to be characterized from periodicity or quasi-periodicity sometimes depending in the defects presence. An extended analysis of time histories of the intact and the defected system is made in order to invest the symptoms of each defect in magnitudes of time and frequency domain. Timefrequency analysis is performed using continuous wavelet transform in virtually or really (the former from simulation, the latter from experiment) acquired time histories in order to extract the variable coupling phenomenon exclusively due to the breathing crack from the other two main reasons of coupling, the bearings and the shaft. Vertical response due to crack coupling is amplified when the crack coupled compliances become larger under an electromagnetic horizontal excitation in the rotor. This rapid in time variable coupling due to crack is used at last in order to detect the crack presence. The external excitation is used also in the case of wear detection since results of time-frequency analysis yield unexpected amplification of specific harmonics when the wear defect is present. Both considerations about the corresponding fault detection are tried in a real experimental system after the observation that response of the current rotor bearing simulation converges with the response of the physical system in characteristics that are judged important for the method robustness. The general speculation is that both defects have to be detected without the need of operation interruption since this cannot be feasible (high cost) in real turbo machinery plants and in an early growth that coincides with safe machine operation. The defect growths have to be at least 10% (of radius) for the crack and 20% (of radial clearance) for bearing wear so as the methods to be efficient. / Η συγκεκριμένη διατριβή επικεντρώνεται κυρίως σε δύο κατευθύνσεις του αντικειμένου της δυναμικής των περιστρεφόμενων αξόνων: την προσομοίωση συστημάτων αξόνων και εδράνων και την ανίχνευση βλαβών σ΄αυτά τόσο σε αναλυτικό όσο και σε πειραματικό επίπεδο. Από τις συνήθως απαντώμενες βλάβες σε τέτοια συστήματα δύο από αυτές αποτελούν στόχους για τη συγκεκριμένη εργασία: η εγκάρσια ρωγμή λόγω κόπωσης του άξονα και η ακτινική φθορά των εδράνων ολίσθησης. Η εγκάρσια ρωγμή είναι μία βλάβη ικανή να επιφέρει ολοκληρωτική καταστροφή της μηχανής στην οποία παρουσιάζεται, όταν η έκτασή της υπερβαίνει το 60% περίπου της διαμέτρου και τα συμπτώματα της ρωγμής στην ταλαντωτική συμπεριφορά του συστήματος έχουν εκτενώς διερευνηθεί τις τελευταίες δεκαετίες, με αποτέλεσμα την ανάπτυξη ποικίλων μεθόδων για την έγκαιρη ανίχνευση της βλάβης. Αντιθέτως, η φθορά των εδράνων αποτελεί μία βλάβη πολύ λιγότερο διερευνημένη συγκριτικά με τη ρωγμή, χωρίς αποτελέσματα για την διάγνωσή της κατά τη λειτουργία της μηχανής. Έχοντας υπ’ όψη τις εργασίες των προηγουμένων ετών στο αντικείμενο της ανίχνευσης αυτών των δύο βλαβών, η παρούσα διατριβή έχει ως στόχο πρωτίστως να προτείνει μεθόδους για την ανίχνευση της φθοράς του εδράνου και δευτερευόντως να επιτύχει την ανίχνευση της ρωγμής με ένα διαφορετικό ως προς τη φιλοσοφία, και απλό ως προς την εφαρμογή τρόπο, αναφορικά με τις μέχρι σήμερα μεθόδους. Για το αντικείμενο της ανίχνευσης της ρωγμής, προτείνεται αρχικά μία διαφορετική προσομοίωση της συμπεριφοράς της κατά την περιστροφή με έμφαση στον υπολογισμό των τοπικών ενδοτικοτήτων σύζευξης κατά την διάρκεια της λειτουργίας του συστήματος, ενώ για το αντικείμενο της ανίχνευσης της φθοράς χρησιμοποιείται ένα ήδη υπάρχον μοντέλο από τη βιβλιογραφία. Και οι δύο βλάβες ενσωματώνονται σε μία νέα ως προς τη βιβλιογραφία προσομοίωση συστήματος αξόνων και εδράνων η οποία αντιμετωπίζει τον άξονα και τα έδρανα ως ένα ενιαίο σύστημα χρησιμοποιώντας τις πιο ακριβείς έως τώρα προσεγγίσεις ταλάντωσης συνεχούς μέσου και της υδροδυναμικής θεωρίας των εδράνων. Η προσομοίωση συστημάτων αξόνων και εδράνων είναι ένα ζήτημα ευρέως διερευνημένο από τις αρχές της δεκαετίας του ΄60 και ορισμένα στοιχεία της παρούσας διατριβής, πάνω στην αντιμετώπιση του θέματος αυτού, έχουν ως στόχο τη βελτίωση με την παρούσα ανάλυση της υπάρχουσας γνώσης, για τον τρόπο που έδρανο και άξονας αλληλεπιδρούν σε διακριτό χρόνο. xxii Το θέμα των μη γραμμικών δυνάμεων του φιλμ λιπαντικού των εδράνων αντιμετωπίζεται σε αυτή τη διατριβή υπολογίζοντας κατευθείαν τις μη γραμμικες δυνάμεις που ασκούνται από το φιλμ στον άξονα. Η παραδοχή αυτή βοηθάει την προσομοίωση ιδιαίτερα σε περιπτώσεις που δεν υπάρχει σημείο ισσοροπίας λόγω περιδήνησης μεγάλου εύρους ή λειτουργείας σε κρίσιμη ταχύτητα. Επίσης, για λόγους γενικότητας και πληρότητας της προσομοίωσης, δεν γίνεται η κατά κόρον κατά τη βιβλιογραφία παραδοχή του εδράνου απείρου μήκους (infinitely long bearing) ή του εδράνου αμελητέου μήκους (infinitely short bearing). Αυτές οι δύο ακραίες υποθέσεις για το έδρανο επιτρέπουν αναλυτικές εκφράσεις για τη υδροδυναμική λίπανση αλλά δεν απαντώνται απαραίτητα στην πραγματικότητα. Στην παρούσα διατριβή χρησιμοποιούνται πεπερασμένα έδρανα τα οποία επιλύονται με ήδη γνωστό και αξιόπιστο τρόπο, όπως πολλοί ερευνητές έχουν προτείνει, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών. Η ανάγκη για την παρουσία εσωτερικής (υστερητικής) απόσβεσης στην προσομοίωση του συνεχούς άξονα είναι αναπόφευκτη, από τη στιγμή που απαιτούνται λύσεις πάνω στο συντονισμό, ούτως ώστε να αναδειχθούν οι επιδράσεις των βλαβών, που στη περιοχή του συντονισμού γίνονται εντονώτερες. Ο απειρισμός της απόκρισης, απουσία εσωτερικής απόσβεσης, δεν αφήνει περιθώρια για διερεύνηση των επιπτώσεων των βλαβών πάνω στην κατάσταση συντονισμού και για το λόγο αυτό η εσωτερική υστερητική απόσβεση ενσωματώνεται προκειμένου να επιτρέψει υπολογισμό της απόκρισης. Ο τρόπος με τον οποίο εισάγεται η υστερητική απόσβεση δεν διαφοροποιείται από τη βιβλιογραφία καθώς η απόσβεση εισάγεται με τη χρήση του μιγαδικού μέτρου ελαστικότητας και διάτμησης αλλά η επίλυση του προβλήματος αντιμετωπίζεται με τη χρήση μόνο πραγματικών αριθμών προκειμένου να είναι εφικτή η εισαγωγή των εδράνων στο σύστημα. Διεξάγεται μια εκτεταμένη ανάλυση των χρονοσειρών του συστήματος με και χωρίς βλάβη, προκειμένου να διερευνηθούν τα συμπτώματα κάθε βλάβης στα πεδία χρόνου και συχνότητας. Η ανάλυση χρόνου-συχνότητας εκτελείται χρησιμοποιώντας το Συνεχή Μετασχηματισμό Wavelets (CWT) στις πειραματικές και αναλυτικές χρονοσειρές προκειμένου να εξαχθεί το μεταβλητό φαινόμενο συζεύξεων που οφείλεται αποκλειστικά στην ανοιγοκλείνουσα ρωγμή, από τους άλλους δύο κύριους λόγους της σύζευξης, δηλ. αυτούς των ανισότροπων εδράνων και των συζευγμένων εξισώσεων του περιστρεφόμενου άξονα. Εδώ χρησιμοποιήθηκε η ιδέα της χρήσης εξωτερικού ηλεκτρομαγνητικού διεγέρτη οριζόντιας διεύθυνσης, κατάλληλης συχνότητας και εύρους, ώστε να αναδειχθούν χαρακτηριστικά των βλαβών κατά τη λειτουργία. Η κατακόρυφη απόκριση, εξ αιτίας της σύζευξης ταλαντώσεων λόγω της ρωγμής, ενισχύεται όταν η ρωγμή βρίσκεται σε θέση όπου οι ενδοτικότητες σύζευξης γίνονται μεγαλύτερες, σε σχέση με την οριζόντια διεύθυνση xxiii εφαρμογής της ηλεκτρομαγνητικής διέγερσης στον άξονα. Αυτή η μεταβλητή σύζευξη παρουσιάζεται μόνο λόγω της ρωγμής και χρησιμοποιείται τελικά για την ανίχνευσή της. Η εξωτερική διέγερση χρησιμοποιείται επίσης και στην περίπτωση της ανίχνευσης φθοράς, δεδομένου ότι η ανάλυση των ταλαντώσεων στο πεδίο του χρόνου ή της συχνότητας, δείχνει ότι ενισχύονται συγκεκριμένες αρμονικές όταν η φθορά υπεισέρχεται στο σύστημα. Και οι δύο μέθοδοι για την αντίστοιχη ανίχνευση των βλαβών δοκιμάζονται σε ένα πραγματικό πειραματικό σύστημα. Η φιλοσοφία της μεθόδου ανίχνευσης των βλαβών βασίζεται στο ότι και οι δύο βλάβες πρέπει να ανιχνευθούν κατά τη λειτουργία του συστήματος. Πράγματι, υπάρχει η ανάγκη για έγκαιρη διάγνωση των βλαβών, σε πρώϊμο στάδιό τους, στο χρονικό διάστημα που μεσολαβεί ανάμεσα σε δύο διαδοχικές συντηρήσεις διασφαλίζοντας την ασφαλή λειτουργία των μηχανών. Η έκταση των προς ανίχνευση βλαβών πρέπει να είναι τουλάχιστον 20% (της ακτίνας) για τη ρωγμή και 20% (της ακτινικής χάρης) για την φθορά έτσι ώστε η μέθοδος ανίχνευσης να χαρακτηρίζεται αποδοτική. Οι κύριοι στόχοι της παρούσας διατριβής είναι: Η προσομοίωση ενός περιστρεφομένου και εσωτερικά αποσβενύμενου συνεχούς άξονα, εδραζομένου σε φθαρμένα ή μη πεπερασμένα έδρανα ολίσθησης. Η προσομοίωση και ο υπολογισμός των τοπικών καμπτικών ενδοτικοτήτων σύζευξης της περιστρεφόμενης ανοιγοκλείνουσας ρωγμής και η προσομοίωση των συζευγμένων ταλαντώσεων του ρηγματωμένου συστήματος άξονα-εδράνων. Η αναλυτική και πειραματική εφαρμογή του ρηγματωμένου και του φθαρμένου συστήματος και η διερεύνηση των επιδράσεων της ρωγμής και της φθοράς στην ταλαντωτική του συμπεριφορά. Η ανάπτυξη μεθόδων έγκαιρης ανίχνευσης της ρωγμής και της φθοράς.

Σε αυτή την εργασία, ασχολούμαστε με το πρόβλημα της επίλυσης συστημάτων μη γραμμικών αλγεβρικών ή/και υπερβατικών εξισώσεων και συγκεκριμένα αναφερόμαστε σε βελτιωμένες αλγοριθμικές τεχνικές επίλυσης τέτοιων συστημάτων. Μη γραμμικά συστήματα υπάρχουν σε πολλούς τομείς της επιστήμης, όπως στη Μηχανική, την Ιατρική, τη Χημεία, τη Ρομποτική, τα Οικονομικά, κ.τ.λ. Υπάρχουν πολλές μέθοδοι για την επίλυση συστημάτων μη γραμμικών εξισώσεων. Ανάμεσά τους η μέθοδος Newton είναι η πιο γνωστή μέθοδος, λόγω της τετραγωνικής της σύγκλισης όταν υπάρχει μια καλή αρχική εκτίμηση και ο Ιακωβιανός πίνακας είναι nonsingular. Η μέθοδος Newton έχει μερικά μειονεκτήματα, όπως τοπική σύγκλιση, αναγκαιότητα υπολογισμού του Ιακωβιανού πίνακα και ακριβής επίλυση του γραμμικού συστήματος σε κάθε επανάληψη. Σε αυτή τη μεταπτυχιακή διπλωματική εργασία αναλύουμε τη μέθοδο Newton και κατηγοριοποιούμε μεθόδους που συμβάλλουν στην αντιμετώπιση των μειονεκτημάτων της μεθόδου Newton, π.χ. Quasi-Newton και Inexact-Newton μεθόδους. Μερικές πιο πρόσφατες μέθοδοι που περιγράφονται σε αυτή την εργασία είναι η μέθοδος MRV και δύο νέες μέθοδοι Newton χωρίς άμεσες συναρτησιακές τιμές, κατάλληλες για προβλήματα με μη ακριβείς συναρτησιακές τιμές ή με μεγάλο υπολογιστικό κόστος. Στο τέλος αυτής της μεταπτυχιακής εργασίας, παρουσιάζουμε τις βασικές αρχές της Ανάλυσης Διαστημάτων και τη Διαστηματική μέθοδο Newton. / In this contribution, we deal with the problem of solving systems of nonlinear algebraic or/and transcendental equations and in particular we are referred to improved algorithmic techniques of such kind of systems. Nonlinear systems arise in many domains of science, such as Mechanics, Medicine, Chemistry, Robotics, Economics, etc. There are several methods for solving systems of nonlinear equations. Among them Newton's method is the most famous, because of its quadratic convergence when a good initial guess exists and the Jacobian matrix is nonsingular. Newton's method has some disadvantages, such as local convergence, necessity of computation of Jacobian matrix and the exact solution of linear system at each iteration. In this master thesis we analyze Newton's method and we categorize methods that contribute to the treatment of drawbacks of Newton's method, e.g. Quasi-Newton and Inexact-Newton methods. Some more recent methods which are described in this thesis are the MRV method and two new Newton's methods without direct function evaluations, ideal for problems with inaccurate function values or high computational cost. At the end of this master thesis, we present the basic principles of Interval Analysis and Interval Newton's method.