Η παρούσα διατριβή έχει ως θέμα της το κβαντικό χάος σε μπιλλιάρδα. Ειδικότερα, εισάγεται ένας μετασχηματισμός (Μετασχηματισμός Εφελκυσμού), ο οποίος προβάλλει το σύνορο ενός μπιλλιάρδου πάνω στον μοναδιαίο κύκλο. Αυτό εισάγει μια μη-Ευκλείδια μετρική στο επίπεδο και έναν διαφορικό τελεστή, ο οποίος περιέχει όλη την πληροφορία σχετικά με το σχήμα του συνόρου και τις ιδιότητες, ως προς την ολοκληρωσιμότητα ή μη, του μπιλλιάρδου. Κλασικά οι ευθείες γραμμές της ελεύθερης κίνησης αντιστοιχούν σε γεωδαισιακές, και κβαντομηχανικά το ενεργειακό φάσμα είναι αυτό του τελεστή Laplace-Beltrami με Dirichlet συνοριακές συνθήκες στον μοναδιαίο κύκλο. Οι γεωδαισιακές εξισώσεις είναι μη-γραμμικές, ομως στο διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών σκεδάσεων υπάρχουν δύο ολοκληρώματα κίνησης, αυτό της κινητικής ενέργειας και αυτό της στροφορμής, οπότε είναι δυνατή η λύση τους. Οι λύσεις αυτές μπορούν να χρησιμοποιηθούν στο κλασικό πρόβλημα σκέδασης. Κβαντικά παίρνουμε το φάσμα των μπιλλιάρδων: Έλλειψη, στάδιο, Robnik και τετράγωνο, για διάφορες τιμές μιας παραμέτρου διαταραχής. Το φάσμα υπολογίζεται διαταρακτικά για μικρές τιμές της παραμέτρου διαταραχής και με διαγωνοποίηση για πιο μεγάλες τιμές της. Η μέθοδος αυτή μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιοδήποτε σχήμα συνόρου μπιλλιάρδου, αρκεί ο μετασχηματισμός να είναι αντιστρέψιμος, και μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν ένας γρήγορος τρόπος προσδιορισμού του φάσματος καθώς και σαν ένα θεωρητικό εργαλείο για την ανάλυση θεμελιακών ιδιοτήτων της ολοκληρωσιμότητας, του χάους και της ενδιάμεσης αυτών περιοχής, μέσω του τελεστή Laplace-Beltrami. Σαν ένδειξη των δυνατοτήτων της μεθόδου παραθέτουμε ένα γραφικό τεστ, όπου για πολύ μικρές αποκλίσεις από τον μοναδιαίο κύκλο ένα ολοκληρώσιμο και δύο εν-δυνάμει χαοτικά μπιλλιάρδα διακρίνονται καθαρά μεταξύ τους από τις κατανομές των διαφορών της διόρθωσης πρώτης τάξης στην ενέργεια. Το τεστ αυτό εμφανίζεται για πρώτη φορά στη βιβλιογραφία και έρχεται να συμπληρώσει την γνωστή κατανομή αποστάσεων εγγυτάτων γειτόνων, η οποία για τόσο μικρές αποκλίσεις από το κυκλικό μπιλλιάρδο δεν καταφέρνει να διαχωρίσει τα ολοκληρώσιμα από τα μη-ολοκληρώσιμα σχήματα. Τέλος εισάγεται η έννοια του ανοικτού μπιλλιάρδου, στο οποίο θεωρείται ότι το σύνορο βρίσκεται στο άπειρο. Τα ανοικτά μπιλλιάρδα αν και είναι ολοκληρώσιμα, περιέχουν εντούτοις την πληροφορία για την ολοκληρωσιμότητα ή μη των αντιστοίχων κλειστών σχημάτων. Για την εξαγωγή της τελευταίας πληροφορίας χρησιμοποιούνται διάφοροι μέθοδοι όπως συναρτήσεις αυτο- και ετερο- συσχέτισης. / For a billiard of a general shape a transformation is introduced (Stretching Transformation) which projects the boundary on the unit circle. This introduces a non-Euclidean metric on the plane, which contains all relevant information of the shape of the boundary. Classically the straight lines of the free motion correspond to geodesics and quantum mechanically the energy spectrum is that of Laplace-Beltrami operator with Dirichlet boundary conditions on the unit circle. The geodesic equations are highly non-linear. Nevertheless for the interval between two consecutive scatterings we have two integrals of motion, the kinetic energy and the angular momentum. This fact helps to solve explicitly the geodesic equations. These solutions can be used to derive interesting properties for the classical scattering. Quantum mechanically the spectrum of the above billiards is obtained for certain parameter values both perturbatively for small values of the parameter and also using a diagonalisation procedure. This method is applicable to any particular form of a billiard for which the transformation is invertible and can be used on one hand as a quick method of approximate spectral determination and as a theoretical tool to analyze specific properties of integrability and chaos through the associated connection form and the Laplace-Beltrami operator. As aν indication of the potentiality of this method we present a graphical test where for very small deviations from the circular billiard an integrable and two non-integrable billiards can be distinguished by the distribution of the differences of the first order corrections while this distinction is not evident by the usual test for the nearest neighbor level spacing. Furthermore the open billiard concept is being introduced. An open billiard is one whose boundary is assumed to be at infinity, thus being classified as an integrable billiard, which contains nevertheless the information about potential non-integrability within. Various methods for the extraction of this hidden information are being investigated.