Η παρούσα διατριβή έχει ως θέμα της το κβαντικό χάος σε μπιλλιάρδα. Ειδικότερα, εισάγεται ένας μετασχηματισμός (Μετασχηματισμός Εφελκυσμού), ο οποίος προβάλλει το σύνορο ενός μπιλλιάρδου πάνω στον μοναδιαίο κύκλο. Αυτό εισάγει μια μη-Ευκλείδια μετρική στο επίπεδο και έναν διαφορικό τελεστή, ο οποίος περιέχει όλη την πληροφορία σχετικά με το σχήμα του συνόρου και τις ιδιότητες, ως προς την ολοκληρωσιμότητα ή μη, του μπιλλιάρδου. Κλασικά οι ευθείες γραμμές της ελεύθερης κίνησης αντιστοιχούν σε γεωδαισιακές, και κβαντομηχανικά το ενεργειακό φάσμα είναι αυτό του τελεστή Laplace-Beltrami με Dirichlet συνοριακές συνθήκες στον μοναδιαίο κύκλο. Οι γεωδαισιακές εξισώσεις είναι μη-γραμμικές, ομως στο διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών σκεδάσεων υπάρχουν δύο ολοκληρώματα κίνησης, αυτό της κινητικής ενέργειας και αυτό της στροφορμής, οπότε είναι δυνατή η λύση τους. Οι λύσεις αυτές μπορούν να χρησιμοποιηθούν στο κλασικό πρόβλημα σκέδασης. Κβαντικά παίρνουμε το φάσμα των μπιλλιάρδων: Έλλειψη, στάδιο, Robnik και τετράγωνο, για διάφορες τιμές μιας παραμέτρου διαταραχής. Το φάσμα υπολογίζεται διαταρακτικά για μικρές τιμές της παραμέτρου διαταραχής και με διαγωνοποίηση για πιο μεγάλες τιμές της. Η μέθοδος αυτή μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιοδήποτε σχήμα συνόρου μπιλλιάρδου, αρκεί ο μετασχηματισμός να είναι αντιστρέψιμος, και μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν ένας γρήγορος τρόπος προσδιορισμού του φάσματος καθώς και σαν ένα θεωρητικό εργαλείο για την ανάλυση θεμελιακών ιδιοτήτων της ολοκληρωσιμότητας, του χάους και της ενδιάμεσης αυτών περιοχής, μέσω του τελεστή Laplace-Beltrami. Σαν ένδειξη των δυνατοτήτων της μεθόδου παραθέτουμε ένα γραφικό τεστ, όπου για πολύ μικρές αποκλίσεις από τον μοναδιαίο κύκλο ένα ολοκληρώσιμο και δύο εν-δυνάμει χαοτικά μπιλλιάρδα διακρίνονται καθαρά μεταξύ τους από τις κατανομές των διαφορών της διόρθωσης πρώτης τάξης στην ενέργεια. Το τεστ αυτό εμφανίζεται για πρώτη φορά στη βιβλιογραφία και έρχεται να συμπληρώσει την γνωστή κατανομή αποστάσεων εγγυτάτων γειτόνων, η οποία για τόσο μικρές αποκλίσεις από το κυκλικό μπιλλιάρδο δεν καταφέρνει να διαχωρίσει τα ολοκληρώσιμα από τα μη-ολοκληρώσιμα σχήματα. Τέλος εισάγεται η έννοια του ανοικτού μπιλλιάρδου, στο οποίο θεωρείται ότι το σύνορο βρίσκεται στο άπειρο. Τα ανοικτά μπιλλιάρδα αν και είναι ολοκληρώσιμα, περιέχουν εντούτοις την πληροφορία για την ολοκληρωσιμότητα ή μη των αντιστοίχων κλειστών σχημάτων. Για την εξαγωγή της τελευταίας πληροφορίας χρησιμοποιούνται διάφοροι μέθοδοι όπως συναρτήσεις αυτο- και ετερο- συσχέτισης. / For a billiard of a general shape a transformation is introduced (Stretching Transformation) which projects the boundary on the unit circle. This introduces a non-Euclidean metric on the plane, which contains all relevant information of the shape of the boundary. Classically the straight lines of the free motion correspond to geodesics and quantum mechanically the energy spectrum is that of Laplace-Beltrami operator with Dirichlet boundary conditions on the unit circle. The geodesic equations are highly non-linear. Nevertheless for the interval between two consecutive scatterings we have two integrals of motion, the kinetic energy and the angular momentum. This fact helps to solve explicitly the geodesic equations. These solutions can be used to derive interesting properties for the classical scattering. Quantum mechanically the spectrum of the above billiards is obtained for certain parameter values both perturbatively for small values of the parameter and also using a diagonalisation procedure. This method is applicable to any particular form of a billiard for which the transformation is invertible and can be used on one hand as a quick method of approximate spectral determination and as a theoretical tool to analyze specific properties of integrability and chaos through the associated connection form and the Laplace-Beltrami operator. As aν indication of the potentiality of this method we present a graphical test where for very small deviations from the circular billiard an integrable and two non-integrable billiards can be distinguished by the distribution of the differences of the first order corrections while this distinction is not evident by the usual test for the nearest neighbor level spacing. Furthermore the open billiard concept is being introduced. An open billiard is one whose boundary is assumed to be at infinity, thus being classified as an integrable billiard, which contains nevertheless the information about potential non-integrability within. Various methods for the extraction of this hidden information are being investigated.

Η Κβαντική Πληροφορία είναι μια ιδιότητα των κβαντικών συστημάτων που σχετίζεται με την κβαντομηχανική επαλληλία και την συσχέτιση των συστημάτων σε Ενδιαπλοκή. Λόγω της αλληλεπίδρασης με το κλασικό περιβάλλον η Ενδιαπλοκή χάνεται ταχύτατα με συνέπεια να περιορίζεται δραματικά η πρακτική της χρησιμότητα. Πραγματοποιήθηκε διερεύνηση διαφόρων διατάξεων κβαντικών συστημάτων είτε σε αλληλεπίδραση με άλλα συστήματα είτε μεμονωμένων, αλλά με την συνθήκη το αντίστοιχο κλασικό μη γραμμικό σύστημα να είναι χαοτικό ή ολοκληρώσιμο. Ερευνητικά αποτελέσματα: 1. Ο ρυθμός μεταβολής της Ενδιαπλοκής με την μεταβολή μιας παραμέτρου σύζευξης φράσσεται από την καμπυλότητα των ενεργειακών επιπέδων. Το αποτέλεσμα έχει γενική ισχύ, διότι βασίζεται σε γενικές ιδιότητες των τυχαίων πινάκων που κωδικοποιούν την χαοτική ή την κανονική συμπεριφορά των συστημάτων,2. Ο ρόλος της λεπτομερούς δομής του κλασικού χώρου των φάσεων. Ερευνήθηκε η εξάρτηση της Ενδιαπλοκής από την τιμή παραμέτρου σύζευξης σε σχέση με το διάγραμμα διακλαδώσεων του Βηματικού Στρόβου, καθώς και σε σχέση με την ύπαρξη Κβαντικών Ουλών, 3. Η μη γραμμικότητα συστημάτων σε συνδυασμό με την παρουσία εξωτερικών πεδίων μπορεί να οδηγήσει σε βέλτιστες τιμές ορισμένων παραμέτρων που ευνοούν την δημιουργία Ενδιαπλοκής θερμικά. Μελετήθηκε κατάλληλο μοντέλο, 4. Κβαντικός δίαυλος βρίσκεται σε αλληλεπίδραση με το τοπικό περιβάλλον. Οι ιδιότητες του τοπικού περιβάλλοντος (χάος ή κανονικότητα) μπορούν να επηρεάσουν τις δυνατότητες του διαύλου, 5. Ένα ανοικτό κβαντικό σύστημα αλληλεπιδρά με τοπικό κβαντικό περιβάλλον λίγων βαθμών ελευθερίας, καθώς και με ένα ολικό Μαρκοβιανό περιβάλλον και τελικά προκαλείται απώλεια κβαντικής συνάφειας. Διερευνήθηκε, αριθμητικά, ο τρόπος με τον οποίο, οι κλασικές ιδιότητες του τοπικού περιβάλλοντος επηρεάζουν τον ρυθμό απώλειας συνάφειας του συστήματος. / Quantum Information is a particular property of quantum systems which is associated with the quantum mechanical superposition principle and the correlation of the systems in the entangled states. Due to the interaction with the classical environment, this basic property of Entanglement is lost very quickly, with the result, its practical usefulness to be dramatically reduced. The present Thesis is concerned with the study of various arrangements of quantum systems either in interaction with other systems, or isolated, but with the condition that the corresponding classical non linear system is chaotic or integrable. Results presented in the thesis: 1. Τhe rate of change of entanglement of a quantum system with respect to the change of an interaction parameter is bounded by the curvature of the energy levels. This result has a general validity, because it is based on general properties of random matrices, which may encode the regular or chaotic behavior of physical systems, 2. The role of the detailed structure of the classical phase space. The dependence of entanglement on the position of a parameter of interaction in connection to the bifurcation diagram in the model of quantum kicked top was studied. An analysis was carried out for a possible impact of the existence of scars on the behavior of entanglement, 3. The non linearity of systems combined with the presence of external fields may lead to optimal values of certain parameters which favor the thermal creation of entanglement. A particular model was studied in which this behavior is observed, 4. A quantum channel is in interaction with its local environment. The question posed, is whether the properties of the local environment (chaos or integrability) may influence the capabilities of the channel, 5. An open quantum system interacts with a quantum local environment, which in general has few degrees of freedom, and a global infinite one. It was numerically investigated how the classical properties of the local environment Influence the decoherence rate of the system.