Στη διπλωματική αυτή εργασία μελετάται η πιο απλή περίπτωση από τις νηματοποιήσεις του Hopf και παράλληλα η γεωμετρική δομή της τρισδιάστατης σφαίρας. Για το σκοπό αυτό εισάγονται οι έννοιες των κβατερνίων και βασικά στοιχεία από τη θεωρία πολλαπλοτήτων. / An introduction of the simplest Hopf fibration and an elementary study of the 3-sphere are the basic aims of this graduation thesis. Besides, quaternions and elements of manifold theory are widely used.

Μια πολλαπλότητα Riemann (M, g) ονομάζεται Einstein αν έχει σταθερή καμπυλότητα Ricci. Είναι γνωστό ότι αν (M=G/K, g) είναι μια συμπαγής ομογενής πολλαπλότητα Riemann, τότε οι G-αναλλοίωτες μετρικές Einstein μοναδιαίου όγκου, είναι τα κρίσιμα σημεία του συναρτησοειδούς ολικής βαθμωτής καμπυλότητας περιορισμένο στο χώρο των G-αναλλοίωτων μετρικών με όγκο 1. Για μια G-αναλλοίωτη μετρική Riemann η εξίσωση Einstein ανάγεται σε ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων. Οι θετικές πραγματικές λύσεις του συστήματος αυτού είναι ακριβώς οι G-αναλλοίωτες μετρικές Einstein που δέχεται η πολλαπλότητα Μ. Μια σημαντική οικογένεια συμπαγών ομογενών χώρων αποτελείται από τις γενικευμένες πολλαπλότητες σημαιών. Κάθε τέτοιος χώρος είναι μια τροχιά της συζυγούς αναπαράστασης μιας συμπαγούς, συνεκτικής, ημι-απλής ομάδας Lie G. Πρόκειται για ομογενείς πολλαπλότητες της μορφής G/C(S), όπου C(S) είναι ο κεντροποιητής ενός δακτυλίου S στην G. Κάθε τέτοιος χώρος δέχεται ένα πεπερασμένο πλήθος από G-αναλλοίωτες μετρικές Kahler-EInstein. Στην παρούσα διατριβή ταξινομούμε όλες τις πολλαπλότητες σημαιών G/K που αντιστοιχούν σε μια απλή ομάδα Lie G, των οποίων η ισοτροπική αναπαράσταση διασπάται σε 2 ή 4 μη αναγώγιμους και μη ισοδύναμους Ad(K)-αναλλοίωτους προσθετέους. Για κάθε τέτοιο χώρο λύνουμε την αναλλοίωτη εξίσωση Εinstein, και παρουσιάζουμε την αναλυτική μορφή νέων G-αναλλοίωτων μετρικών Einstein. Στις περισσότερες περιπτώσεις παρουσιάζουμε την πλήρη ταξινόμηση των αναλλοίωτων μετρικών Einstein. Επίσης εξετάζουμε το ισομετρικό πρόβλημα. Για την κατασκευή της εξίσωσης Einstein σε κάποιες πολλαπλότητες σημαιών με 4 ισοτροπικούς προσθετέους χρησιμοποιούμε την νηματοποίηση συστροφής που δέχεται κάθε πολλαπλότητα σημαιών επί ενός ισοτροπικά μη αναγώγιμου συμμετρικού χώρου συμπαγούς τύπου. Αυτή η μέθοδος είναι καινούργια και μπορεί να εφαρμοστεί και σε άλλες πολλαπλότητες σημαιών. / A Riemannian manifold (M, g) is called Einstein, if it has constant Ricci curvature. It is well known that if (M=G/K, g) is a compact homogeneous Riemannian manifold, then the G-invariant \tl{Einstein} metrics of unit volume, are the critical points of the scalar curvature function restricted to the space of all G-invariant metrics with volume 1. For a G-invariant Riemannian metric the Einstein equation reduces to a system of algebraic equations. The positive real solutions of this system are the $G$-invariant Einstein metrics on M. An important family of compact homogeneous spaces consists of the generalized flag manifolds. These are adjoint orbits of a compact semisimple Lie group. Flag manifolds of a compact connected semisimple Lie group exhaust all compact and simply connected homogeneous Kahler manifolds and are of the form G/C(S), where C(S) is the centralizer (in G) of a torus S in G. Such homogeneous spaces admit a finite number of G-invariant complex structures, and for any such complex structure there is a unique compatible G-invariant Kahler-Einstein metric. In this thesis we classify all flag manifolds M=G/K of a compact simple Lie group G, whose isotropy representation decomposes into 2 or 4, isotropy summands. For these spaces we solve the (homogeneous) Einstein equation, and we obtain the explicit form of new G-invariant Einstein metrics. For most cases we give the classification of homogeneous Einstein metrics. We also examine the isometric problem. For the construction of the Einstein equation on certain flag manifolds with four isotropy summands, we apply for first time the twistor fibration of a flag manifold over an isotropy irreducible symmetric space of compact type. This method is new and it can be used also for other flag manifolds. For flag manifolds with two isotropy summands, we use the restricted Hessian and we characterize the new Einstein metrics as local minimum points of the scalar curvature function restricted to the space of G-invariant Riemannian metrics of volume 1. We mention that the classification of flag manifolds with two isotropy summands gives us new examples of homogeneous spaces, for which the motion of a charged particle under the electromagnetic field, and the geodesics curves, are completely determined.