Στην παρούσα διπλωματική εργασία παρουσιάζεται η μεθοδολογία εξαγωγής διαφορικών εξισώσεων κατά Hamilton. Οι προκύπτουσες διαφορικές εξισώσεις είναι n το πλήθος (όπου n είναι το πλήθος των βαθμών ελυθερίας του συστήματος) διαφορικές εξισώσεις πρώτου βαθμού και περιγράφουν την δυναμική συμπεριφορά ενός μηχανικού συστήματος. Παρουσιάζεται το εκτενές θεωρητικό πλαίσιο που απορρέει απο τις εξισώσεις του Ηamilton και αξιοποιούνται οι θεωρητικές αρχές κατα την περιγραφή και τον έλεγχο του συστήματος σφαίρας-ράβδου. / In the diploma thesis we present the Hamiltonian formalism in order to derive first order differential equations which represent the dynamical behaviour of a mechanical system. The derived differential equations are n first order equations (where n is the number of system's degrees of freedom). We present the extensive theoretical framework that is derived from the Hamilton's equations which we use so that to describe and control the ball and beam system.

Στη διπλωματική αυτή εργασία μελετάται η πιο απλή περίπτωση από τις νηματοποιήσεις του Hopf και παράλληλα η γεωμετρική δομή της τρισδιάστατης σφαίρας. Για το σκοπό αυτό εισάγονται οι έννοιες των κβατερνίων και βασικά στοιχεία από τη θεωρία πολλαπλοτήτων. / An introduction of the simplest Hopf fibration and an elementary study of the 3-sphere are the basic aims of this graduation thesis. Besides, quaternions and elements of manifold theory are widely used.

Η παρούσα διατριβή εντάσσεται ερευνητικά στην περιοχή της μη γραμμικής ανάλυσης και ειδικότερα στην εύρεση βέλτιστων σταθερών για ανισότητες Sobolev στο χώρο Rn με ανώτερης τάξης δεκαδικές παραγώγους. Επίσης, δίνονται οι αντίστοιχες βέλτιστες σταθερές αυτών των ανισοτήτων πάνω στη σφαίρα Sn με τη χρησιμοποίηση ως βασικού εργαλείου την στερεογραφική προβολή. Τέλος, σαν μια εφαρμογή των ευρεθέντων ανισοτήτων έχουμε ένα θεώρημα σχετικό με αυτό των Rellich-Kondrashov και το οποίο είναι εξαιρετικής σημασίας, ιδιαίτερα στο λογισμό των μεταβολών.

Οι γειώσεις διαδραματίζουν πρωτεύοντα ρόλο στην προστασία οποιασδήποτε εγκατάστασης, είτε πρόκειται για ηλεκτρικές εγκαταστάσεις ισχύος, είτε για τηλεπικοινωνίες, είτε για αντικεραυνική προστασία. Σκοπός του συστήματος γείωσης είναι η ταχεία διάχυση του κεραυνικού ρεύματος ή γενικότερα του ρεύματος σφάλματος μέσα στη γη, χωρίς να δημιουργούνται επικίνδυνες υπερτάσεις στον περιβάλλοντα χώρο, τόσο για τους ανθρώπους όσο και για τον ηλεκτρολογικό και ηλεκτρονικό εξοπλισμό. Για να είναι ένα σύστημα γείωσης αποδοτικό, θα πρέπει η αντίσταση γείωσής του να έχει πολύ χαμηλή τιμή ούτως ώστε να διασφαλίζεται η απρόσκοπτη διέλευση του ρεύματος προς τη γη. Για να επιτευχθεί μια τέτοια χαμηλή τιμή, λαμβάνοντας υπόψη ότι δεν είναι δυνατόν να επιλέγουμε πάντα το μέρος όπου θα εγκατασταθεί το σύστημα γείωσης με γνώμονα τη χαμηλή ειδική αντίστασή του, μπορούμε να προβούμε σε αύξηση των διαστάσεων του ηλεκτροδίου γείωσης (μήκος και διάμετρος), σε εγκατάσταση περισσοτέρων του ενός ηλεκτροδίων και τέλος σε προσθήκη βελτιωτικού υλικού (μη συμβατική γείωση) το οποίο μειώνει την ειδική αντίσταση του εδάφους γύρω απ’ το ηλεκτρόδιο. Η τελευταία επιλογή είναι ιδιαίτερα δημοφιλής σε εδάφη με πολύ υψηλές τιμές ειδικής αντίστασης ή και με αυξημένο κίνδυνο διάβρωσης του ηλεκτροδίου. Στα πλαίσια της παρούσας διπλωματικής εργασίας, προσομοιώθηκαν διάφορα συστήματα γείωσης, συμβατικά και μη, με διαφορετικά μήκη και αριθμούς ηλεκτροδίων, σε ομοιογενή και πολυστρωματικά εδάφη με διαφορετικές ειδικές αντιστάσεις, διαφορετικές εγχύσεις ρεύματος και με ή χωρίς χρήση βελτιωτικού, με σκοπό τη μελέτη της επίδρασης κάθε παράγοντα στην τελική διαμόρφωση της αντίστασης γείωσης και των αναπτυσσόμενων τάσεων/ηλεκτρικών πεδίων. Ιδιαίτερη έμφαση δόθηκε στα μη συμβατικά συστήματα και στη σύγκριση της απόδοσής τους με την απόδοση των αντίστοιχων συμβατικών. Όλες οι προσομοιώσεις πραγματοποιήθηκαν στο πρόγραμμα Opera-3d που χρησιμοποιεί τη Μέθοδο Πεπερασμένων Στοιχείων για τον υπολογισμό των ηλεκτρομαγνητικών πεδίων και ακολούθως, των λοιπών σχετικών μεγεθών. Ακολουθεί μια σύντομη περιγραφή των θεμάτων που πραγματεύεται το κάθε κεφάλαιο. Στο Κεφάλαιο 1 γίνεται εισαγωγή στην έννοια των γειώσεων, αναφέρονται τα είδη και οι μέθοδοι γείωσης καθώς επίσης και οι διάφοροι τύποι των ηλεκτροδίων γείωσης και οι διατάξεις τοποθέτησής των. Στο Κεφάλαιο 2 παρουσιάζονται ορισμένα χαρακτηριστικά μεγέθη των συστημάτων γείωσης: η αντίσταση γείωσης, που αποτελεί μέτρο της απόδοσής τους και η ειδική αντίσταση του εδάφους που τα περιβάλλει. Γίνεται αναφορά τόσο στο θεωρητικό υπολογισμό όσο και στην πειραματική τους μέτρηση. Στο Κεφάλαιο 3 γίνεται αναφορά στα βελτιωτικά υλικά γειώσεων και στα διάφορα υλικά που έχουν χρησιμοποιηθεί κατά καιρούς γι’ αυτό το σκοπό. Στο Κεφάλαιο 4 γίνεται αναφορά στις διάφορες μεθόδους υπολογισμού πεδιακών μεγεθών. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται στη Μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων μιας και αυτή χρησιμοποιήθηκε στα πλαίσια της διπλωματικής. Στο Κεφάλαιο 5 παρουσιάζεται το πρόγραμμα Opera-3d, στο οποίο πραγματοποιήθηκαν οι προσομοιώσεις, καθώς και τα ποικίλα πακέτα ανάλυσης που χρησιμοποιεί. Γίνεται επίσης αναφορά στις εξισώσεις και τον αλγόριθμο που χρησιμοποιεί για τον υπολογισμό των ηλεκτρομαγνητικών μεγεθών του εκάστοτε προβλήματος. Στο Κεφάλαιο 6 περιγράφονται αναλυτικά οι διατάξεις των συστημάτων γείωσης που προσομοιώθηκαν και τα μοντέλα πεπερασμένων στοιχείων που δημιουργήθηκαν. Παράλληλα, παρουσιάζονται τα γραφήματα και τα αποτελέσματα που προέκυψαν σε κάθε περίπτωση. Τέλος, γίνεται αναφορά στη μετεπεξεργασία των αποτελεσμάτων, με σκοπό τον υπολογισμό της αντίστασης γείωσης, αλλά και στο θεωρητικό υπολογισμό της τελευταίας. Δίνεται μάλιστα και μία επέκταση του τύπου του Fagan [16] για την περίπτωση διστρωματικού εδάφους στο οποίο έχει γίνει προσθήκη βελτιωτικού. Στο Κεφάλαιο 7 γίνεται σχολιασμός των αποτελεσμάτων και καταγραφή διαφόρων χρήσιμων συμπερασμάτων. Τα αποτελέσματα επιδεικνύουν αφενός την τεράστια επίδραση που ασκεί το περιβάλλον έδαφος στην αντίσταση γείωσης ενός συστήματος και αφετέρου τη βελτίωση που επιτυγχάνεται απ’ το διπλασιασμό του μήκους του ηλεκτροδίου (μείωση αντίστασης γείωσης έως και 36,7%), την τοποθέτηση βελτιωτικού γύρω απ’ αυτό (μείωση έως και 68,3%) καθώς και την προσθήκη πλέον του ενός ηλεκτροδίων σε κατάλληλη μεταξύ τους απόσταση (μείωση 29,2% για δύο ηλεκτρόδια σε απόσταση τετραπλάσια του μήκους τους). Επίσης, προκύπτει ότι οι μη συμβατικές γειώσεις με βελτιωτικά προκαλούν πιο ομαλή μείωση του δυναμικού, περιορίζοντας έτσι τις αναπτυσσόμενες βηματικές τάσεις και τάσεις επαφής. Τέλος, προτείνεται ένας θεωρητικός τρόπος υπολογισμού της αντίστασης γείωσης σε περιπτώσεις μη συμβατικών συστημάτων με βελτιωτικά ειδικής αντίστασης ≤1Ωm. / Grounding systems contribute considerably to the protection of constructions (electrical power installations, telecommunications or even lightning protection). The main objective of a grounding system is to quickly dissipate fault current into the ground, without causing dangerous overvoltages in the surrounding area, both for people and electrical or electronic equipment. For a grounding system to be effective, its grounding resistance should be low enough so as to make sure that the fault current is dissipated into the earth without any hindrances. To achieve such a low value, taking into account that it is not always possible to install a grounding system in a low resistivity soil, one could increase the electrode dimensions (its length and diameter), add more electrodes and finally enhance the surrounding ground by using various ground enhancing compounds (conductive backfills – nonconventional grounding). In this way, the surrounding soil resistivity decreases and that’s why this option is commonly used in sites where resistivity is very high or where corrosion constitutes a common threat to the electrode life span. In the context of the present diploma thesis, various grounding systems were simulated, both conventional and nonconventional. The parameters that were modified were: numbers and lengths of electrodes, current injections and homogenous or multilayered soil with different resistivity values and either with or without conductive backfills. The objective was to study the effect of each of the aforementioned parameters on the grounding resistance and the potential/electric field. Special emphasis was given on nonconventional grounding systems and their effectiveness comparing to conventional ones. The simulations were conducted in Opera-3d, a program that calculates electromagnetic fields through the Finite Element Method. A brief description of the issues that are analyzed in each chapter can be found next. Chapter 1 constitutes an introduction to the meaning and role of “grounding”. The reader is then acquainted with the grounding types and methods as well as the various types of electrodes and their set-ups. Chapter 2 focuses on certain typical quantities of grounding systems: namely, the grounding resistance and the surrounding soil resistivity. Chapter 3 provides information on the various ground enhancing compounds. Chapter 4 focuses on the various methods used for the calculation of electromagnetic fields. A more detailed reference to the Finite Element Method is given. Chapter 5 provides information on the Opera-3d program, which was used for the simulations, as well as the various analysis programs that are included. Information are also provided on the equations and the algorithm used by the program in order to calculate the electromagnetic fields. Chapter 6 provides an illustration of the various grounding set-ups which were simulated as well as the corresponding finite element models that were designed. Furthermore, the simulation results and graphs are presented. Last but not least, post-processing takes place in order to calculate the grounding resistance. The latter one is also calculated using theoretical formulas. An expansion of Fagan’s formula [16] is also given in the case of two-layered soil which has been enriched by a conductive backfill. In Chapter 7 the results are discussed and several observations are made. The results demonstrate the great impact the surrounding soil has on the grounding resistance. They also show the improvement which is achieved by doubling the electrode length (decrease of grounding resistance up to 36,7%), adding conductive backfills (decrease up to 68,3%) and installing more than one electrodes at appropriate distances (29,2% decrease in the case of two electrodes at a distance four times their length). Nonconventional grounding systems with conductive backfills are found to cause a smoother potential reduction, thus minimizing the step and touch voltages. Finally, a theoretical way of calculating the grounding resistance in nonconventional grounding systems with backfill resistivity ≤1Ωm is proposed.