Στόχος της παρούσας Διατριβής είναι να ερευνήσει τη διαμόρφωση των αντιλήψεων γύρω από τα απειροστά και τις σχετικές μ’ αυτά επ’ άπειρον διαδικασίες σε δύο κατευθύνσεις: 1. Την ιστορική εξέλιξη και ερμηνεία της έννοιας του απειροστού και 2. Την ανάλυση των σχετικών αντιλήψεων των φοιτητών-αυριανών καθηγητών των μαθηματικών. Στο πρώτο μέρος της διατριβής γίνεται ανάλυση και ερμηνεία των αντιλήψεων για τα απειροστά που εκφράστηκαν από την Αρχαία μέχρι τη σύγχρονη εποχή. Η μελέτη αυτή οδηγεί στην κατασκευή ενός ερμηνευτικού πλαισίου που διακρίνει τα ιστορικά ερμηνευτικά πρότυπα (μοντέλα) των απειροστών σε τρία αντιθετικά ζεύγη ως εξής: Ι. Εντασιακά-Εκτασιακά πρότυπα απειροστών. ΙΙ. Ομογενή-Μη ομογενή πρότυπα απειροστών. ΙΙΙ. Μηδενοδύναμα-μη μηδενοδύναμα πρότυπα απειροστών. Το παραπάνω πλαίσιο χρησιμοποιείται στο δεύτερο μέρος της διατριβής ως μεθοδολογικό εργαλείο για το σχεδιασμό διδακτικών πειραμάτων και την ανάλυση των εμπειρικών δεδομένων. Ειδικότερα, έγιναν τρία διδακτικά πειράματα με φοιτητές του Τμήματος των Μαθηματικών. Στο πρώτο πείραμα ερευνήθηκε η έννοια της ταχύτητας σύγκλισης ακολουθίας ως μια διαισθητική προσέγγιση στα απειροστά. Στο δεύτερο πείραμα, ερευνήθηκε η δυνατότητα προσέγγισης στα απειροστά μέσα από κλασσικά θέματα των διακριτών Μαθηματικών, όπως ο υπολογισμός του αθροίσματος των δυνάμεων φυσικών αριθμών. Στο τρίτο πείραμα έγινε διδασκαλία ενός συγκεκριμένου μοντέλου των υπερ-πραγματικών αριθμών και αναλύθηκαν τα αποτελέσματα. Τα κυριότερα συμπεράσματα της διατριβής είναι: 1. Η σημασία της κατασκευής μαθηματικών οντοτήτων που ικανοποιούν τα αξιώματα της Πραγματικής Ανάλυσης, 2. Η σημασία της διαισθητικής προσέγγισης και τα όριά της και 3. Η καταλληλότητα των προτεινόμενων μοντέλων και θεμάτων, ως διδακτικού υλικού. / The aim of this Ph.D thesis is the conceptions regarding infinitesimals and infinitesimal processes in two directions: 1. The historical evolution and interpretation of the concept of infinitesimal and 2. The analysis of the conception of the students–prospective teachers of Mathematics. The first part of the thesis contains a study and an analysis of infinitesimals that appeared in History from Antiquity to our era. This study leads to the construction of a framework of interpretation which distinguishes the interpretative models into three pairs of opposites: I. Homogenous-Nonhomogenous, models of infinitesimals II. Intensional-Extensional, models of infinitesimals III. Nilpotent-Non nilpotent, models of infinitesimals The above framework is applied in the second part of the thesis, as a methodological tool for the design of didactical experiments with students of Mathematics. The first experiment concerns a research study on the notion of the rate of convergence, as an intuitive approach to infinitesimals. The second experiment is referred to the emergence of infinitesimals through classical themes (issues) of discrete mathematics, such as the computation of sums of powers of integers. The third experiment concerns the teaching of a specific model of Hyper-Real numbers and the analysis of its empirical outcomes. The main conclusions of this thesis are: 1. The significance of the construction of mathematical entities, which satisfy the axioms of Real Analysis. 2. The significance of the intuitive approach, as well with a focus on its foreseen limitations. 3. The relevance of the proposed models and themes as potential didactical material.

Στη μελέτη αυτή δεχόμεθα ως βασικές έννοιες την έννοια του συνόλου, την έννοια της συνάρτησης και την έννοια των φυσικών αριθμών. Ορίζουμε και αποδεικνύουμε ό,τι χρειάζεται από την θεωρία των συνόλων για να κατασκευάσουμε το σύστημα των ακεραίων αριθμών, το σύστημα των ρητών και τελικά το σύστημα των πραγματικών αριθμών. Σε όλα τα παραπάνω συστήματα ορίζεται η έννοια της διάταξης και αποδεικνύεται ότι το σύστημα των ρητών αριθμών είναι ένα Αρχιμήδειο σώμα που είναι πυκνό υποσύνολο του σώματος των πραγματικών αριθμών. Εν συνεχεία αποδεικνύονται οι χαρακτηριστικές ιδιότητες του σώματος των πραγματικών αριθμών, δηλαδή η ιδιότητα της πληρότητας (κάθε ακολουθία Cauchy συγκλίνει) και η ιδιότητα του άνω φράγματος (κάθε μή κενό υποσύνολο ,που είναι φραγμένο εκ των άνω, έχει ένα ελάχιστο άνω φράγμα (supremum). Όλα τα παραπάνω και πολλά σχετικά με αυτά περιέχονται στα κεφάλαια 1 ως και 7. Το κεφάλαιο 8 περιέχει μία συλλογή αποτελεσμάτων σχετικά με τους πληθικούς αριθμούς, οι οποίοι ορίζονται και μελετώνται στο κεφάλαιο 3. Πολλά από τα αποτελέσματα αυτά αφορούν στον πληθικό αριθμό των πραγματικών αριθμών. Στο κεφάλαιο 9 ορίζονται όλες οι έννοιες που χρειάζονται για να γίνουν κατανοητά τα αποτελέσματα σχετικά με την θεωρία των καλώς διατεταγμένων συνόλων και την θεωρία των διατακτικών αριθμών (ordinal numbers). Των κεφαλαίων 1, 2, 3 προτάσσεται ιστορικό σημείωμα που αφορά τις έννοιες που αναπτύσσονται σε αυτά. Ανάλογο ιστορικό σημείωμα προτάσσεται των υπολοίπων κεφαλαίων. / In this study, I acknowledge as basic meanings, the meaning of the set, the meaning of the function and the meaning of natural numbers. We define and prove whatever is needed from the theory of sets in order to construct the system of integral numbers, the system of rational numbers and ultimately the field of real numbers. In all the above systems the meaning of arrangement is defined and it is proven that the system of rational numbers is an Archimedean field which is a dense subset of the field of real numbers. Next, the characteristic properties of the field of real numbers are proven, i.e. the property of compactness (each sequence Cauchy converges)and the property of the upper bound (each non empty subset, which is bounded from above , has a minimum upper bound (supremum). All of the above and many other things related to this are contained in chapters 1 to 7. Chapter 8 contains a selection of results relating to cardinal numbers, which are defined and studied in chapter 3 Many of these results relate to cardinal number of reals numbers. In chapter 9, all the meanings which are needed in order for the results relating to the theory of the well-ordered sets and the theory of ordinal numbers, to become understood are included. Preceeding chapters 1, 2, 3 there is a historic note relating to the meanings which are developed in them. There is a corresponding historic note preceeding the rest of the chapters.