Στο πρώτο κεφάλαιο της εργασίας, παρουσιάζεται το πιο απλό παράδειγμα εμφύλλωσης και στη συνέχεια δίνεται ο ορισμός μιας εμφυλλωμένης πολλαπλότητας, υπό δύο διαφορετικές σκοπιές. Ο ορισμός συμπληρώνεται με τον σχολιασμό της τοπολογίας των φύλλων της εμφύλλωσης, δίνοντας το τοπολογικό πλαίσιο της πολλαπλότητας για τον ορισμό του κανονικού εμφυλλωμένου άτλαντα. Η εισαγωγή στη Θεωρία Εμφυλλώσεων ολοκληρώνεται με μία σειρά παραδειγμάτων εμφυλλώσεων, με επικεντρωμένο το ενδιαφέρον στην εμφύλλωση του Reeb και στην προσανατολισμένη εμφύλλωση του Seifert. Στο δεύτερο κεφάλαιο, συνδέεται η έννοια της γεωμετρικής ολοκληρωσιμότητας με την Θεωρία των Εμφυλλώσεων, μέσω του κλασικού θεωρήματος του Frobenius. Τα φύλλα της εμφύλλωσης του χώρου των φάσεων αποτελούν το γεωμετρικό πρότυπο επίλυσης δυναμικών συστημάτων, ως πρώτα ολοκληρώματα. Το κλασικό θεώρημα του Frobenius έδωσε τις αναγκαίες και ικανές συνθήκες ώστε η θεωρούμενη κατανομή να αποτελεί τον εφαπτόμενο χώρο της εμφύλλωσης. Το θεώρημα Frobenius δίνεται και αποδεικνύεται με πέντε ισοδύναμες εκδοχές. Μία από αυτές είναι η αλγεβρική εκδοχή, όπου τα πρώτα ολοκληρώματα καθορίζονται από τους γεννήτορες του ιδεώδους της εξωτερικής άλγεβρας, επιλύoντας τις εξισώσεις Pfaff. Οι παραγόμενες μορφές μέσω της εξωτερικής διαφόρισης των γεννητόρων του ιδεώδους, στην περίπτωση που ικανοποιούν τη συνθήκη ολοκληρωσιμότητας, συγκροτούν στο module των διαφορικών μορφών το διαφορικό ιδεώδες. Ακόμα, γίνεται αναφορά στο Λήμμα του Poincaré, που δίνει τις προϋποθέσεις για την ύπαρξη πρώτων ολοκληρωμάτων, στην περίπτωση απλά συνεκτικών πολλαπλοτήτων, και στην εύρεση ολοκληρωτικού παράγοντα. Στο τρίτο και τελευταίο κεφάλαιο, ως εφαρμογή στη Θεωρία Εμφυλλώσεων, αποδεικνύεται η ύπαρξη φύλλων μέσα στο σύνολο προσβασιμότητας, που καθορίζεται από το εκάστοτε σύστημα ελέγχου. Πρόκειται για το θεώρημα που δόθηκε τη δεκαετία του 70 από τον Sussmann. Ορίζοντας τη Lie άλγεβρα των κατανομών η οποία δημιουργείται από τις επαναλαμβανόμενες αγκύλες Lie. Στα πλαίσια αυτής ελέγχεται η συμπεριφορά των κατανομών, οι οποίες διαχωρίζονται σε ολοκληρώσιμες και bracket generating. Οι τελευταίες παράγουν τον εφαπτόμενο χώρο της πολλαπλότητας και αποτελούν βασική προϋπόθεση για να εφοδιαστεί η πολλαπλότητα με μια υπο-Riemannian δομή. Με αυτή τη δομή ορίζεται η υπο-Riemannian απόσταση από την οποία φτιάχνεται η βάση μιας τοπολογίας που συμπίπτει με τη φυσική τοπολογία της πολλαπλότητας. Σε αυτήν την τοπολογία ορίζονται τα φύλλα του συνόλου προσβασιμότητας. Επιπλέον, δίνεται μια απάντηση και στο πρόβλημα της ελεγξιμότητας, που διαπραγματεύεται η Θεωρία Ελέγχου. Τέλος, γίνεται αναφορά στις γεωδαισιακές εξισώσεις, όπως αυτές ορίζονται στο συνεφαπτόμενο ινώδες των τετραγωνικών μορφών, με χαρακτηριστικό παράδειγμα τις γεωδαισιακές που προκύπτουν από την ομάδα του Heisenberg. / --

Η ψηφιακή απεικόνιση είναι ένας ραγδαία αναπτυσσόμενος κλάδος στην εξέλιξη της τεχνολογίας των υπολογιστών και έχει γίνει ένα συμβατικό εργαλείο στην χαρτογράφηση της τηλεπισκόπησης. Η ανάγκη για καλύτερη ποιότητα απεικόνισης ενισχύει τον ψηφιακό τομέα να παράγει μεθόδους για την αποκατάσταση της γεωμετρικής παραμόρφωσης. Παρά το προχωρημένο επίπεδο της σημερινής τεχνολογίας, είναι γνωστό ότι οι συσκευές εισόδου και εξόδου, σαρωτές οι οποίοι είναι περιφερειακές συσκευές που αποτυπώνουν την εικόνα μιας περιοχής και χρησιμοποιούνται ως επί το πλείστον ως συσκευές εισόδου, προκαλούν παραμορφώσεις στη εικόνα. Στην παρούσα εργασία, γίνεται μια προσπάθεια να αντιμετωπισθούν λάθη στη γεωμετρία με χρήση του προγράμματος Matlab και της μεθόδου της αντιστοίχησης εικόνας. Η αντιστοίχηση εικόνας αποσκοπεί στην εύρεση αντίστοιχων σημείων σε δύο ή περισσότερες εικόνες, τα οποία αποτελούν προβολές του ίδιου σημείου της σκηνής. Η διαδικασία δειγματοληψίας των ψηφιακών εικόνων, το μοντέλο προβολής της σκηνής μέσω αισθητήρα όρασης στο επίπεδο των εικόνων και η κίνηση του αισθητήρα ή και της σκηνής, αποτελούν τους κύριους παράγοντες που καθιστούν το πρόβλημα της αντιστοίχησης αρκετά δύσκολο. Την πλειοψηφία των αλγορίθμων αντιστοίχησης εικόνας συνθέτουν οι παραμετρικές τεχνικές, σύμφωνα με τις οποίες υιοθετείται ένα παραμετρικό μοντέλο, το οποίο εφαρμοζόμενο στη μία εικόνα δύναται να παρέχει μια προσέγγιση της άλλης. Η προσέγγιση αυτή αξιολογείται μέσω ενός δείκτη συνολικού σφάλματος, ενώ η βέλτιστη δυνατή προσέγγιση επιτυγχάνεται με την εκτίμηση των τιμών των παραμέτρων του μοντέλου που βελτιστοποιούν τον δείκτη αυτό. Το βασικό σημείο του προτεινόμενου μοντέλου είναι η εφαρμογή πολυωνυμικών σχέσεων και η σωστή επιλογή του πολυωνυμικού γεωμετρικού μετασχηματισμού, λαμβάνοντας υπόψη τα χαρακτηριστικά της εκάστοτε παραμόρφωσης, για την αντιμετώπιση του προβλήματος. Λειτουργίες μετασχηματισμών χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν τις γεωμετρικές διαφορές μεταξύ δύο εικόνων που έχουν το ίδιο περιεχόμενο. Λαμβάνοντας υπόψη τις συντεταγμένες ενός σημείου σε μια εικόνα ένας μετασχηματισμός θα καθορίσει τις συντεταγμένες του ίδιου σημείου στην άλλη εικόνα. Θα καλούμε μία από τις εικόνες δευτερεύουσα και την άλλη κύρια. Η κύρια εικόνα παραμένει αμετάβλητη ενώ η δευτερεύουσα παραμορφώνεται ώστε να έχει την γεωμετρία της κύριας εικόνας. Οι λειτουργίες των μετασχηματισμών για την αντιστοίχηση εικόνας καθορίζεται βάσει ενός αριθμού αντίστοιχων συντεταγμένων στις δύο εικόνες και επιλέγεται χειροκίνητα. Στην αντιστοίχηση εικόνας δίνονται και η κύρια και η δευτερεύουσα εικόνα με την δευτερεύουσα να παραμορφώνεται ώστε να αντιστοιχηθεί με την κύρια. / Digital imaging is a rapidly growing sector in the development of computer technology and has become a conventional tool in remote sensing mapping. The need for better image quality enhances the digital sector to produce methods for restoring the geometric distortion. Despite the advanced level of today’s technology, it is known that input and output devices, scanners that are peripheral devices that capture the image of a region, and are used mostly as an input device, cause distortions in the image. In this paper, by using the Matlab program and the method of image registration we try to deal with errors in geometry. Image registration aims to find corresponding points in two or more images which are projections of the same point of a scene. The resampling process of digital images, the projection model of the scene through vision sensor at the level of images and the motion of the sensor or scene’s , are the main factors of image mapping. The majority of algorithms of image registration compose the parametric techniques that adopt a parametric model which is applied to an image and can provide an approximation of another image. This approach is evaluated through a total error rate, while the optimal approximation is achieved by the evaluation of the values of the model parameters that optimize this indicator. The key point of the proposed model is the application of polynomial equations and the proper selection of polynomial geometric transformation. Transformation functions are used to describe geometric differences between two images that have the same or overlapping contents. Given the coordinates of a point in one image, a transformation function will determine the coordinates of the same point in the other image. We will call one of the images the slave and the other image the master. Master image is kept unchanged. Slave image needs to be deformed to have the geometry of the master image. The transformation functions for image registration are determined using the coordinates of a number of corresponding points in the images, selected manually. In image registration, both master and slave images are given, and the slave image is deformed to overlay the master image.

Υπάρχουν πολλές ερευνητικές εργασίες σε σχέση με τη συμπεριφορά των μαθητών στην ατζέντα της επίλυσης προβλήματος. Η πλειονότητα αυτών των εργασιών αναφέρεται σε φοιτητές πανεπιστημίου ή σε μαθητές των τελευταίων τάξεων της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Όσες από αυτές καταπιάνονται με μικρότερους μαθητές δίνουν περισσότερο έμφαση στη συμπεριφορά των μαθητών σε αντιπαραβολή με συγκεκριμένα στοιχεία της επίλυσης προβλήματος όπως η διατύπωση εικασιών, η επαλήθευση ή η λήψη αποφάσεων. Επιπλέον στα πλαίσια αυτής της παράδοσης της επίλυσης προβλήματος δε συνηθίζεται να δίνεται έμφαση σε κάποιο συγκεκριμένο μαθηματικό θέμα. Έτσι προτείνεται από την παρούσα εργασία η Επίλυση Προβλήματος Συνυφασμένη με μια Έννοια (ΕΠΣΕ) (στην περίπτωσή μας αυτήν του εμβαδού) η οποία σε ένα πρώτο στάδιο μέσα από μια σειρά προβλημάτων με κοινό εννοιολογικό υπόβαθρο εφοδίασε τους μαθητές- λύτες με μια συλλογή τεχνικών σχετικών με τη συγκεκριμένη έννοια. Αργότερα η χρήση των τεχνικών αυτών δεν ενίσχυε πια την έννοια, και αντί γι αυτό οι λύτες ενέπλεξαν την καλή γνώση της έννοιας που πια κατείχαν προκειμένου να οργανώσουν τις γνωστές μεθόδους τις σχετικές με την έννοια ώστε να δρομολογήσουν στρατηγικές που θα οδηγούσαν στη λύση. Αυτή η πλατφόρμα της ΕΠΣΕ υποστηρίζει την επιχειρηματολογία του λύτη και οδηγεί στην ανάπτυξη ιδιαίτερα εντυπωσιακών στρατηγικών. Τα παραπάνω αποκτούν ενδιαφέρον και για έναν ακόμη λόγο, αυτόν της συμβολής του υπολογιστικού περιβάλλοντος σε κάποια από τα στοιχεία της επίλυσης προβλήματος, όπως αυτό της επαλήθευσης, όπου καταγράφηκαν τα περιθώρια που παρέχει ένα τέτοιο περιβάλλον για την ανάπτυξη επαληθευτικών διαδικασιών σε μεγάλη συχνότητα και ποικιλία ως προς τη μαθηματική τους βαρύτητα. Τέλος η πλατφόρμα που παρουσιάζουμε στην εργασία αυτή, αφήνεται ως ανοιχτή ιδέα για την εφαρμογή της και σε άλλες έννοιες πέρα από το εμβαδόν, του οποίου η περίπτωση πιστεύουμε ότι αποτελεί ένα καλό υπόδειγμα / There are many studies concerning students' behavior in the problem solving agenda. The majority of them refers either to college students or students of upper secondary school. Some of them who deal with younger pupils give more emphasis to the students' behavior vis-a-vis with certain problem solving elements such as conjecturing, verification or decision making. Moreover, this problem solving traditiondoes not usually stress a constant mathematical theme. This is why we propose the term 'Problem Solving Ancillary to a concept' (APS) in our case that of area. In a first stage APS equippes students-solvers with a set of techniques relevant to the specific concept through a series of problems with common conceptual backdrop (in our case that of the area). Later the usage of these techniques does not enhance the concept any more. Instead of this the solvers involved their knowledge of the concept they already possessed in order to organize the known methods that were relevant to the concept so as to set up effective strategies that could solve the problem. The APS platform gives an unusual support to solvers' reasoning and this results to developing quite impressive strategy-making. There is one more reason making all of the above mentioned important: the contribution of the computer environment to some of the problem solving elements such as verification. We recorded and present the development of verification processes in this environment. These processes were more frequent and in a great variety compared to the ones in paper and pencil environment. Finally APS-platform is presented as an open idea beyond area. The case of area however is an excellent example towards this perspective.

Περίληψη Σκοπός της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η διατύπωση µοντέλων µηχανικής και η ανάπτυξη µεθοδολογίας πεπερασµένων στοιχείων, για τηv αριθµητική επίλυση τoυ προβλήµατος της συζευγµένης µη-γραµµικής απόκρισης πιεζοηλεκτρικών κελυφών και πλακών µε εµφυτευµένα πιεζοηλεκτρικά στοιχεία. Η ανάπτυξη της παρούσας µεθόδου στηρίχθηκε σε θεωρίες µεσοµηχανικής για τη ανάλυση στρωµατοποιηµένων πιεζοηλεκτρικών κελυφών και κατά επέκταση πλακών και δοκών. Πιο συγκεκριµένα διατυπώνονται σε επίπεδο στρώσης, οι καταστατικές εξισώσεις του ηλεκτροµηχανικού πεδίου, οι εξισώσεις συµβιβαστού των παραµορφώσεων-µετατοπίσεων, που εµπεριέχουν την γεωµετρική µη γραµµικότητα, καθώς και οι γενικευµένες εξισώσεις κίνησης (εξισώσεις ισορροπίας των τάσεων στο µηχανικό και διατήρησης ηλεκτρικού φορτίου στο ηλεκτρικό πεδίο). Στη συνέχεια δύναται να γραφούν οι παραπάνω εξισώσεις κίνησης σε ολοκληρωτική µορφή, µε την βοήθεια της αρχής των φανταστικών µετατοπίσεων, ώστε να ισχύουν για ολόκληρη την πιεζοηλεκτρική πολύστρωτη δοµή. Τα παραπάνω ολοκληρώµατα όγκου υποβιβάζονται σε ολοκληρώµατα επιφάνειας µε την εισαγωγή των κινηµατικών υποθέσεων για τις ελαστικές και ηλεκτρικές µεταβλητές κατάστασης. Για την επίλυση των παραπάνω συζευγµένων µη γραµµικών ολοκληρωτικών εξισώσεων αναπτύχθηκε µέθοδος πεπερασµένων στοιχείων. ∆υο 8-κοµβα συζευγµένα µη γραµµικά ισοπαραµετρικά πεπερασµένα στοιχεία κελύφους και πλάκας αναπτύσσονται. Στο εσωτερικό των στοιχειών το παραµορφωσιακό πεδίο προσεγγίζεται µε πολυώνυµικές εξισώσεις δευτέρου βαθµού, που ονοµάζονται συναρτήσεις µορφής. Με την βοήθεια των συναρτήσεων µορφής προκύπτουν οι συζευγµένες µη γραµµικές εξισώσεις σε µητρωική µορφή, και λόγω του ότι εξαρτώνται από τη λύση δεν µπορούν να λυθούν απευθείας αλλά χρησιµοποιείται µια σταδιακή- επαναληπτική µέθοδος βασισµένη στη Newton-Raphson τεχνική. Αφού πραγµατοποιηθεί η σύνθεση των ολικών µητρώων, εφαρµοστούν οι µηχανικές και ηλεκτρικές συνοριακές συνθήκες τελικά επιλύονται οι προκύπτουσες γραµµικοποιηµένες συζευγµένες εξισώσεις σε κάθε επανάληψη εως ότου επιτευχθεί σύγκλιση της λύσης. Σε κάθε επανάληψη υπολογίζονται ταπραγµατικά και εφαπτοµενικά µη γραµµικά µητρώα καθώς επίσης και τα διανύσµατα ανισορροπίας µεταξύ των εξωτερικών και εσωτερικών δυνάµεων και ηλεκτρικών φορτίων. Τα µη γραµµικά ελαστικά και πιεζοηλεκτρικά µητρώα, που εµπεριέχουν τη γεωµετρική µη γραµµικότητα, καθώς και τα γραµµικά επιλύονται αριθµητικά µε τη µέθοδο Gauss. Η παρούσα µέθοδος µπορεί να εφαρµοστεί για τη διερεύνηση και αριθµητική επίλυση µιας σειράς προβληµάτων ευφυών πιεζοηλεκτρικών κατασκευών, όπου η γεωµετρική µη γραµµικότητα (µεγάλες µετατοπίσεις και περιστροφές σε σχέση µε το πάχος, αλλά µικρές παραµορφώσεις) παίζει σηµαντικό ή πρωτεύοντα ρόλο, µε ιδιαίτερη έµφαση στα εξής προβλήµατα: Μοντελοποίηση ευφυών κατασκευών υπό µεγάλη κάµψη. Εφαρµογές σε κατασκευές, στις οποίες επιδιώκονται µεγάλες αλλαγές στο σχήµα τους µέσω µεγάλων ενεργών µετατοπίσεων και περιστροφών, υπό την επιβολή ηλεκτρικού πεδίου στους πιεζοηλεκτρικούς διεγέρτες (morphing structures) . Πρόβλεψη κρίσιµων επίπεδων µηχανικών δυνάµεων και ηλεκτρικών τάσεων λυγισµού, οι οποίες µπορεί να οδηγήσουν τις ευφυείς πλάκες και τα κελύφη σε συνθήκες λυγισµού και απώλειας ευστάθειας. Πρόβλεψη και προσοµοίωση του λυγισµού και µετα-λυγισµού σε panel αεροναυπηγικών κατασκευών, µέσω παρακολούθησης της µεταβολής των φυσικών συχνοτήτων της κατασκευής ή της αναπτυσσόµενης ηλεκτρικής τάσης στους πιεζοηλεκτρικούς αισθητήρες. Την ενεργή µεταβολή της δυσκαµψίας (αύξηση ή µείωση) ευφυών κατασκευών µε την επιβολή κατάλληλου ηλεκτρικού δυναµικού στους πιεζοηλεκτρικούς διεγέρτες. Πρόβλεψη της µετάβασης των πιεζοηλεκτρικών κελυφών από τη µια θέση ισορροπίας σε άλλη (snap-through), υπό την επιβολή µηχανικού φορτίου ή πιεζοηλεκτρικής καµπτικής ροπής µέσω των πιεζοηλεκτρικών διεγερτών.πραγµατικά και εφαπτοµενικά µη γραµµικά µητρώα καθώς επίσης και τα διανύσµατα ανισορροπίας µεταξύ των εξωτερικών και εσωτερικών δυνάµεων και ηλεκτρικών φορτίων. Τα µη γραµµικά ελαστικά και πιεζοηλεκτρικά µητρώα, που εµπεριέχουν τη γεωµετρική µη γραµµικότητα, καθώς και τα γραµµικά επιλύονται αριθµητικά µε τη µέθοδο Gauss. Η παρούσα µέθοδος µπορεί να εφαρµοστεί για τη διερεύνηση και αριθµητική επίλυση µιας σειράς προβληµάτων ευφυών πιεζοηλεκτρικών κατασκευών, όπου η γεωµετρική µη γραµµικότητα (µεγάλες µετατοπίσεις και περιστροφές σε σχέση µε το πάχος, αλλά µικρές παραµορφώσεις) παίζει σηµαντικό ή πρωτεύοντα ρόλο, µε ιδιαίτερη έµφαση στα εξής προβλήµατα: Μοντελοποίηση ευφυών κατασκευών υπό µεγάλη κάµψη. Εφαρµογές σε κατασκευές, στις οποίες επιδιώκονται µεγάλες αλλαγές στο σχήµα τους µέσω µεγάλων ενεργών µετατοπίσεων και περιστροφών, υπό την επιβολή ηλεκτρικού πεδίου στους πιεζοηλεκτρικούς διεγέρτες (morphing structures) . Πρόβλεψη κρίσιµων επίπεδων µηχανικών δυνάµεων και ηλεκτρικών τάσεων λυγισµού, οι οποίες µπορεί να οδηγήσουν τις ευφυείς πλάκες και τα κελύφη σε συνθήκες λυγισµού και απώλειας ευστάθειας. Πρόβλεψη και προσοµοίωση του λυγισµού και µετα-λυγισµού σε panel αεροναυπηγικών κατασκευών, µέσω παρακολούθησης της µεταβολής των φυσικών συχνοτήτων της κατασκευής ή της αναπτυσσόµενης ηλεκτρικής τάσης στους πιεζοηλεκτρικούς αισθητήρες. Την ενεργή µεταβολή της δυσκαµψίας (αύξηση ή µείωση) ευφυών κατασκευών µε την επιβολή κατάλληλου ηλεκτρικού δυναµικού στους πιεζοηλεκτρικούς διεγέρτες. Πρόβλεψη της µετάβασης των πιεζοηλεκτρικών κελυφών από τη µια θέση ισορροπίας σε άλλη (snap-through), υπό την επιβολή µηχανικού φορτίου ή πιεζοηλεκτρικής καµπτικής ροπής µέσω των πιεζοηλεκτρικών διεγερτών.πραγµατικά και εφαπτοµενικά µη γραµµικά µητρώα καθώς επίσης και τα διανύσµατα ανισορροπίας µεταξύ των εξωτερικών και εσωτερικών δυνάµεων και ηλεκτρικών φορτίων. Τα µη γραµµικά ελαστικά και πιεζοηλεκτρικά µητρώα, που εµπεριέχουν τη γεωµετρική µη γραµµικότητα, καθώς και τα γραµµικά επιλύονται αριθµητικά µε τη µέθοδο Gauss. Η παρούσα µέθοδος µπορεί να εφαρµοστεί για τη διερεύνηση και αριθµητική επίλυση µιας σειράς προβληµάτων ευφυών πιεζοηλεκτρικών κατασκευών, όπου η γεωµετρική µη γραµµικότητα (µεγάλες µετατοπίσεις και περιστροφές σε σχέση µε το πάχος, αλλά µικρές παραµορφώσεις) παίζει σηµαντικό ή πρωτεύοντα ρόλο, µε ιδιαίτερη έµφαση στα εξής προβλήµατα: Μοντελοποίηση ευφυών κατασκευών υπό µεγάλη κάµψη. Εφαρµογές σε κατασκευές, στις οποίες επιδιώκονται µεγάλες αλλαγές στο σχήµα τους µέσω µεγάλων ενεργών µετατοπίσεων και περιστροφών, υπό την επιβολή ηλεκτρικού πεδίου στους πιεζοηλεκτρικούς διεγέρτες (morphing structures) . Πρόβλεψη κρίσιµων επίπεδων µηχανικών δυνάµεων και ηλεκτρικών τάσεων λυγισµού, οι οποίες µπορεί να οδηγήσουν τις ευφυείς πλάκες και τα κελύφη σε συνθήκες λυγισµού και απώλειας ευστάθειας. Πρόβλεψη και προσοµοίωση του λυγισµού και µετα-λυγισµού σε panel αεροναυπηγικών κατασκευών, µέσω παρακολούθησης της µεταβολής των φυσικών συχνοτήτων της κατασκευής ή της αναπτυσσόµενης ηλεκτρικής τάσης στους πιεζοηλεκτρικούς αισθητήρες. Την ενεργή µεταβολή της δυσκαµψίας (αύξηση ή µείωση) ευφυών κατασκευών µε την επιβολή κατάλληλου ηλεκτρικού δυναµικού στους πιεζοηλεκτρικούς διεγέρτες. Πρόβλεψη της µετάβασης των πιεζοηλεκτρικών κελυφών από τη µια θέση ισορροπίας σε άλλη (snap-through), υπό την επιβολή µηχανικού φορτίου ή πιεζοηλεκτρικής καµπτικής ροπής µέσω των πιεζοηλεκτρικών διεγερτών. / -

O σχεδιασμός και η ανάπτυξη οικονομικών προϊόντων, με ταυτόχρονη ικανοποίηση των αναγκών για υψηλές επιδόσεις και ασφάλεια αποτελεί μια από τις μεγαλύτερες προκλήσεις για τους ερευνητές μηχανικούς και τη βιομηχανία. Ειδικότερα στους τομείς της κατασκευαστικής βιομηχανίας (αεροναυπηγική, ναυπηγική, αυτοκινητοβιομηχανία, διαστημική) των οποίων τα προϊόντα παράγονται σύμφωνα με τις τεχνολογίες αιχμής, επιζητείται από το μηχανικό να σχεδιάζει νέα προϊόντα με υψηλότερες επιδόσεις, χωρίς να αγνοεί την απαίτηση για μείωση του κόστους και του χρόνου ανάπτυξης αυτών. Η τάση αυτή βρίσκει εφαρμογή κατά κύριο λόγο στην αεροναυπηγική, όπου η μείωση του αξιοσημείωτου κόστους ανάπτυξης νέων αεροσκαφών, χωρίς υποβάθμιση της ασφαλούς και υψηλής ποιότητας τους, αποτελεί βασικό και μόνιμο στόχο. Ο κυριότερος παράγοντας που επιβαρύνει σημαντικά την ανάπτυξη νέων αεροσκαφών, τόσο από πλευράς κόστους, όσο και χρονικά, είναι οι πειραματικές δοκιμές πλήρους κλίμακας η μεγάλης κλίμακας σε συνθήκες λειτουργίας, οι οποίες επηρεάζουν σημαντικά το κόστος και το χρόνο ανάπτυξης. Οι συγκεκριμένες δοκιμές συμπεριλαμβάνονται στη διαδικασία του σχεδιασμού, με σκοπό να επαληθεύσουν τα αποτελέσματα των αντίστοιχων δομικών αναλύσεων. Η σημασία των πειραματικών δοκιμών και συγκεκριμένα εκείνων της πλήρους κλίμακας ενισχύεται από το γεγονός ότι επιβάλλονται κατά την πιστοποίηση από τις αρχές Αδειοδότησης, με δεδομένο ότι οι δομικές αναλύσεις της αντίστοιχης κλίμακας (πολύ μεγάλης η πλήρους) δεν παρέχουν ικανοποιητική αξιοπιστία. Η παραπάνω αδυναμία να εξαχθούν ικανοποιητικά αποτελέσματα από τις δομικές αναλύσεις οφείλεται σε δύο βασικά χαρακτηριστικά της ανάλυσης των κατασκευών μεγάλης κλίμακας. Η πρόβλεψη της αστοχίας στις αεροναυπηγικές και άλλες κατασκευές απαιτεί μη-γραμμική ανάλυση, λόγω αιτιών που σχετίζονται με τη συμπεριφορά υλικού (μη-γραμμική συμπεριφορά λόγω ελαστοπλαστικής συμπεριφοράς μεταλλικών υλικών η λόγω αστοχίας συνθέτων υλικών) ή με τη συμπεριφορά της δομής (γεωμετρική μη-γραμμικότητα, προβλήματα επαφής, κλπ/). Επιπρόσθετα, στις κατασκευές αυτές υπάρχει μεγάλη διαφορά κλίμακας μεταξύ των διαστάσεων της περιοχής έναρξης και αρχικής διάδοσης της τοπικής βλάβης με τις συνολικές διαστάσεις της δομής, οι οποίες σχετίζονται με την τελική αστοχία της κατασκευής. Η προσομοίωση με αριθμητικές μεθόδους, με έμφαση στη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων, της δομικής συμπεριφοράς μεγάλης κλίμακας κατασκευών με τα παραπάνω χαρακτηριστικά, οδηγεί σε αριθμητικά πρότυπα εκατομμυρίων βαθμών ελευθερίας, τα οποία απαιτείται να επιλυθούν με μη-γραμμικές μεθόδους. Ο συνδυασμός του μεγέθους των προτύπων αυτών με το μη-γραμμικό χαρακτήρα τους, καθιστά το πρόβλημα δυσεπίλυτο έως σήμερα με χρήση συμβατικών μεθόδων και ουσιαστικά αποτελεί την αιτία μη-αξιοποίησης των εικονικών δοκιμών (αριθμητικών αναλύσεων), στην ελαχιστοποίηση ή και την ολοκληρωτική αποφυγή των εκτενών και δαπανηρών πειραματικών δοκιμών. Βάσει των ανωτέρω, σκοπός της παρούσας διατριβής είναι η ανάπτυξη νέων, αξιόπιστων και ολοκληρωμένων μεθοδολογιών για τη μη-γραμμική ανάλυση κατασκευών μεγάλης κλίμακας, με κύριο στόχο την ικανοποιητική πρόβλεψη τοπικών φαινομένων που συνδέονται με την έναρξη της βλάβης, αλλά και την ικανότητα να εκτείνονται έως την κατάλληλη κλίμακα (ίσως και την πλήρη), ώστε να καθίσταται δυνατός ο υπολογισμός της δομικής συμπεριφοράς της κατασκευής μέχρι την τελική αστοχία. Στη βάση αυτή, γίνεται ανάπτυξη νέων μεθοδολογιών δομικής μη-γραμμικής ανάλυσης και προτείνονται κατάλληλες τροποποιήσεις σε ήδη καθιερωμένες μεθόδους, με σκοπό την εφαρμογή τους σε κατασκευές μεγάλης κλίμακας. Λόγω των πλεονεκτημάτων που παρέχονται από την ταχεία και συνεχόμενη εξέλιξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών (ταχύτητα, μνήμη, λογισμικό) και την ευρεία χρήση εμπορικών πακέτων που βασίζονται στη θεωρία των πινάκων (Πεπερασμένα Στοιχεία, Συνοριακά Στοιχεία, κλπ.), οι παραπάνω μεθοδολογίες χρησιμοποιούνται ευρέως στην πρόβλεψη της δομικής συμπεριφοράς των κατασκευών στη βάση της φιλοσοφίας της ‘εικονικής δοκιμής’. Με δεδομένο ότι οι αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης μη-γραμμικών προβλημάτων σε κατασκευές μεγάλης κλίμακας δεν παρέχουν ικανοποιητικά αποτελέσματα, όπως προαναφέρθηκε, στην παρούσα εργασία αναζητήθηκαν εναλλακτικές μεθοδολογίες και τεχνικές, για την προσέγγιση του τεχνολογικού προβλήματος από τη σκοπιά του μηχανικού και προτάθηκαν αξιόπιστες λύσεις με δυνατότητα εφαρμογής σε βιομηχανικό περιβάλλον. Η διαδικασία που ακολουθήθηκε αποτελείται από τέσσερις βασικούς άξονες, την γραμμική αριθμητική ανάλυση των τάσεων ολόκληρης της δομής μεγάλης κλίμακας, τον έλεγχο για πιθανή εμφάνιση τοπικής μη-γραμμικής συμπεριφοράς, την τοπική ανάλυση αστοχίας (μη-γραμμική ανάλυση) και μια σειρά κατάλληλων τεχνικών για τον προσδιορισμό της συνεισφοράς των περιοχών με τοπική μη-γραμμικότητα στη δομική συμπεριφορά ολόκληρης της δομής. Όλα τα βήματα της διαδικασίας πραγματοποιήθηκαν στη βάση της μεθόδου των Πεπερασμένων Στοιχείων. Η γραμμική αριθμητική ανάλυση τάσεων της κατασκευής έγινε με χρήση αριθμητικών προτύπων που προσομοιώνουν ολόκληρη την κατασκευή, χωρισμένων σε τμήματα, ανάλογα με την γεωμετρική επαναληψιμότητα που πιθανώς εμφανίζει η γεωμετρία. Οι τάσεις που υπολογίστηκαν χρησιμοποιήθηκαν στην πρόβλεψη τα εμφάνισης τοπικής μη-γραμμικότητας με τη βοήθεια κατάλληλα ανεπτυγμένων κριτηρίων, ανάλογα με το είδος της μη-γραμμικότητας που μπορεί να εμφανιστεί. Οι περιοχές μη-γραμμικότητας που ανιχνεύονται, ταξινομούνται σε σειρά κρισιμότητας και ανάλογα με το κρίσιμο επίπεδο φορτίου καθεμιάς από αυτές, επεξεργάζονται τοπικά με μη-γραμμικές αναλύσεις για την προσομοίωση της έναρξης και εξέλιξης της τοπικής μη-γραμμικότητας. Για τον υπολογισμό της συνεισφοράς των μη-γραμμικών υποπεριοχών στη δομική συμπεριφορά ολόκληρης της κατασκευής, αναπτύχθηκαν κατάλληλες τεχνικές περιγραφής της τοπικής μη-γραμμικότητας και εισαγωγής τους στα δομικά χαρακτηριστικά του αριθμητικού προτύπου της ολικής κατασκευής. Για την προσομοίωση της εξέλιξης της τοπικής μη-γραμμικότητας, από την πρώτη ανίχνευση μέχρι την τελική εξέλιξη, η διαδικασία εκτελείται βηματικά και επαναληπτικά. Αποδεικνύεται ότι κάτω από συγκεκριμένες παραδοχές, οι μεθοδολογίες για τη δομική μη-γραμμική ανάλυση κατασκευών μεγάλης κλίμακας είναι εφικτό να παρέχουν αξιόπιστα αποτελέσματα αντίστοιχα με εκείνα των πειραματικών δοκιμών πλήρους κλίμακας. Ταυτόχρονα είναι και αποτελεσματικές, δεδομένου ότι έχουν αναπτυχθεί κατάλληλα, ώστε να εστιάζουν τους διαθέσιμους υπολογιστικούς πόρους μόνο στις κρίσιμες περιοχές, μέσω της κατά απαίτησης εφαρμογής τοπικών μη-γραμμικών αναλύσεων. / The design and development of low-cost products, with simultaneous fulfilment of the requirements for higher performance and safety, is one of the biggest challenges for the research engineers and the industry. Especially in the sectors of the structural industry (aeronautics, shipbuilding, automotive, space industry) where the products are being produced according to the latest achievements of the technology, the engineer is obliged to design new products with higher proficiency, without neglecting the need for lower cost and development time. This trend has great application mainly in the aeronautical industry, where the reduction of the remarkable cost for the development of a new aircraft, without downgrading the level of safety and the quality of service comprises the main target of the current research effort. The main factor that weighs down the development of new aircrafts, as far as the cost and the time is concerned, is the required experimental tests of the full / large scale under service loads, which affect significantly the development cost and the time to market. These tests are included in the design process, in order to verify the results of the corresponding structural analyses. The importance of the experimental tests and specifically these of the full scale level is amplified by the fact that they are being imposed during the certification process by the Airworthiness Authorities, since the structural analyses of the corresponding scale (full scale) do not provide adequate results. The above mentioned inability of the structural analyses of providing adequate results is based on two main characteristics of the large scale structures. Firstly, the failure prediction in aeronautical (among others) structures requires non-linear analysis, for reasons related to the material behaviour (non-linear behaviour due to composite material damage, elastoplastic behaviour of metallic materials) and the structural behaviour (geometrical non-linearity, contact problems). Secondly, in these structures there is great difference between the dimensions of the local damage initiation region and the dimensions of the whole structure, with the latter being related with the total collapse. The simulation with numerical methods, especially with the use of Finite Elements, of the structural behaviour of large scale structures with the above characteristics, leads to million DOFs (Degrees Of Freedom), whose solution requires non-linear numerical methods. The combination of the size of these models with their non-linear nature renders the problem non-solvable using conventional methodologies and is in fact the reason for the, up to now, not thoroughly utilization of virtual testing (numerical simulations), that would lead to the minimization of the number or even to the complete avoidance of the extensive and costly experimental tests. Based on the above, main objective of this Thesis is the development of new, reliable and integrated methodologies for the non-linear analysis of large scale structures, targeting mainly in the satisfactory prediction of phenomena related to the initiation of local damage, but also being able to evolute up to the appropriate scale (maybe full scale), in order to account the structural behaviour of the whole structure up to the total collapse. On this basis, innovative methodologies are being developed for the structural non-linear analysis and appropriate modifications are proposed for already well-established techniques, in order to be applied on large scale structures. Due to the advantages offered from the rapid and constant progress of computers (speed, memory, software) and the wide usage of commercial tools that are based on the matrix theory (Finite Elements, Boundary Elements), the above mentioned methodologies were developed based on the philosophy of ‘virtual testing’. Due to the fact that the numerical solution methods for non-linear problems in large scale structures are not able to provide adequate results, as mentioned previously, in the present work alternative methodologies and techniques were investigated, approaching the technological problem from the engineer’s view and reliable solutions applicable to an industrial environment were proposed. The procedure that was followed consists of four basic keystones: the linear numerical stress analysis of the whole structure, the check for possible local non-linear behaviour, the local damage analysis (non-linear analysis) and a series of appropriately configured sub-routines, able to redefine the contribution of the regions exhibiting local damage in the structural behaviour of the whole structure. All the routines of the proposed methodologies were accomplished using the commercial Finite Element code ANSYS. The linear numerical stress analysis of the structure was carried out with the use of numerical models simulating the whole structure, divided into suitable parts, based on the geometrical repeatability. The calculated stresses were utilized for the prediction of the local damage, using properly developed damage criteria, depending on the type of non-linearity. The corresponding regions detected, were classified according to the criticality level (critical load) and were elaborated with local analyses of non-linear nature for the simulation of local damage initiation. For the accumulation of the contribution of the local damage in the structural behaviour of the whole structure, appropriate techniques were developed for the description of the local damage and its incorporation in the structural features of the numerical model of the structure. For the determination of the damage evolution, from the first detection up to the final failure, the procedure was performed in an incremental and iterative way. It was proved, that under specific assumptions, the proposed methodologies simulating the non-linear phenomena of large scale structures are capable of providing accurate results, in accordance with those of the experimental tests of full scale level. Simultaneously, the proposed methodologies become also efficient, providing that they have been developed appropriately, in order to focus the available computer resources on the non-linearly behaving regions by the ‘on demand’ application of the non-linear analyses.