- / -

- / -

- / -

Σκοπός της εργασίας αυτής είναι να μελετήσουμε την έννοια της γενίκευσης στη Μαθηματική Παιδεία. Αρχικά διερευνούμε την ετυμολογία και την ιστορικότητα του όρου και αναδεικνύουμε της σχέση μεταξύ γενίκευσης επαγωγής και αφαίρεσης. Αφού μελετήσουμε τη λέξη και την έννοια του φυσικού αριθμού, δύο γενετικά καθοριστικές για την ανθρώπινη νόηση γενικεύσεις, προσπαθούμε να αναδείξουμε, με βάση την υπάρχουσα βιβλιογραφία, το ρόλο της γενίκευσης στην απόκτηση γνώσης, αλλά και να εξετάσουμε την ικανότητα του ανθρώπου για γενίκευση. Έχοντας εντοπίσει το ρόλο της γενίκευσης στην ανάπτυξη επιστημονικών εννοιών και θεωριών, περνάμε στη περιοχή των Μαθηματικών και εξετάζουμε τις έννοιες του Ορισμού, του Θεωρήματος και της Ευθείας Απόδειξης, αναφορικά με την έννοια της γενίκευσης. Μέσα από τα ερευνητικά δεδομένα αναδεικνύονται τα προβλήματα που αντιμετωπίζουν οι μαθητές στην προσπάθεια τους να παράγουν κατάλληλες γενικεύσεις. Εστιάζουμε την προσοχή μας στις δυσκολίες των μαθητών αναφορικά με την κατανόηση της έννοιας της μεταβλητής αλλά και της Τέλειας Επαγωγής και παραθέτουμε διδακτικά αξιοποιήσιμα παραδείγματα. / --

- / -

Η παρούσα εργασία έχει ως θέμα τη μαθηματική απόδειξη και την διαδικασία επίλυσης προβλήματος. Στόχος της είναι αρχικά, να παρουσιάσει το θεωρητικό υπόβαθρο που διέπει αυτά τα δύο θέματα και να κάνει μια σύγκριση ώστε να αναδειχθούν οι διαφορές τους και οι ομοιότητες τους. Στην συνέχεια, γίνεται μια σύντομη παρουσίαση των Αναλυτικών Προγραμμάτων και των διδακτικών εγχειριδίων των Μαθηματικών του Λυκείου για το χρονικό διάστημα από τα τέλη της δεκαετίας του 1980 έως σήμερα έχοντας ως κύριο άξονα, την απόδειξη και την επίλυση προβλήματος. Κατόπιν, με την βοήθεια μιας δραστηριότητας κατάλληλα διαμορφωμένης εξετάζετε ο ρόλος των παραπάνω στους μαθητές και τέλος, γίνετε μια σύντομη ανάλυση της Γραμμικής και Δομικής μορφής της απόδειξης, όπως αυτή είχε προταθεί από τον Uri Leron και μια συγκριτική παρουσίαση των αποδείξεων κάποιων θεωρημάτων του σχολικού βιβλίου της Γεωμετρίας της Α΄ Λυκείου (Αργυρόπουλος Η.) και με τις δύο μορφές. / The objective of this Master Thesis is the presentation of the Mathematical Proof and Problem Solving. Its aim is initially to present the theoretical background behind these two issues and a comparison between the Mathematical Proof and Problem Solving with respect to their similarities and differences takes place. Then a brief presentation of the curriculum programs as well as the school books of mathematics is given. This presentation is about the time period from the late decade of 1980 up to date, mostly concerning the Mathematical Proof and Problem Solving. Moreover, using a suitably formulated activity, the role of the above over the students is studied. Finally, a concise analysis of Linear and Structural style of proof as it suggested by Uri Leron is given. The thesis is completed with the presentation of three theorems along with their proofs (Linear style) as they are stated in the section of "Inequality Relationships" of Geometry school book of A Lyceum class (Αργυρόπουλος Η. 2008), while for each proof its Structural style is also given.

- / -

- / -

- / -

Στην παρούσα διπλωματική μελετήσαμε και αναπτύξαμε αλγορίθμους ανίχνευσης και κατάτμησης κινούμενου αντικειμένου σε βίντεο. Ασχοληθήκαμε με μία σειρά αλγορίθμων που διέφεραν τόσο στην πολυπλοκότητα όσο και στην ποιότητα των αποτελεσμάτων που παρήγαγαν. Σκοπός μας ήταν η ανάλυση αυτών των αλγορίθμων σε βάθος, έτσι ώστε να εντοπίσουμε τις αδυναμίες τους, προσπαθώντας κατά το δυνατόν να τις αντιμετωπίσουμε αλλά και η εφαρμογή τους στην πράξη, ώστε να διαπιστώσουμε την αποτελεσματικότητά τους αλλά και την ευελιξία τους στις ιδιαίτερες απαιτήσεις του κάθε προβλήματος. Στην πρώτη φάση της παρούσας εργασίας μελετήσαμε και αναλύσαμε τη μαθηματική αναπαράσταση των υπό εξέταση αλγορίθμων. Σκοπός μας ήταν να κατανοήσουμε πλήρως τον αλγόριθμο, ώστε να μπορέσουμε στην συνέχεια να τον εφαρμόσουμε, αλλά και να επιφέρουμε κάποιες βελτιστοποιήσεις και απλοποιήσεις στον ίδιο τον αλγόριθμο έτσι ώστε να προσαρμοστεί, όταν χρειαζόταν, στις απαιτήσεις των δικών μας προβλημάτων και να γίνει πιο εύκολα υλοποιήσιμος. Στην συνέχεια υλοποιήσαμε τους αλγορίθμους στο μαθηματικό εργαλείο Matlab και εξομοιώσαμε την λειτουργία τους. Στο στάδιο αυτό, είχαμε την δυνατότητα να μελετήσουμε στην πράξη την αποτελεσματικότητα των αλγορίθμων και να παρατηρήσουμε την ποιότητα των αποτελεσμάτων της εφαρμογής τους για διαφορετικές εισόδους. Τα αποτελέσματα των εξομοιώσεων μας καθοδηγούσαν έτσι ώστε να κάνουμε τις απαραίτητες αλλαγές τόσο στους ίδιους τους αλγορίθμους αλλά κυρίως, στον τρόπο με τον οποίο είχαμε επιλέξει να υλοποιήσουμε καθένα από τους αυτούς στο Matlab. Στο τελευταίο στάδιο, συγκεντρώσαμε τα αποτελέσματα της εξομοίωσης λειτουργίας καθενός από τους αλγορίθμους που μελετήσαμε και αξιολογήσαμε την συμπεριφορά τους. Κάνοντας τις απαραίτητες συγκρίσεις των αποτελεσμάτων, σε συνδυασμό με την πολυπλοκότητα των αλγορίθμων, εξάγαμε τα τελικά συμπεράσματα για τις δυνατότητες και την αποτελεσματικότητα τους αλλά και την τελική μας εκτίμηση για την περαιτέρω βελτιστοποίηση που είναι δυνατό να πραγματοποιηθεί σε κάποιους από αυτούς. / -