Το πρόβλημα της δίκαιης κατανομής είναι ένα πολύ σημαντικό πρόβλημα που έχει ανακύψει στον τομέα της επιστήμης των υπολογιστών και όχι μόνο. Κάποιες από τις μορφές που έχει εμφανιστεί είναι π.χ. στην κατανομή πόρων σε δίκτυα υπολογιστών, στο διακανονισμό συνόρων σε διεθνείς διαφωνίες, στο οικογενειακό δίκαιο και ως πρόβλημα της μείωσης των εκπομπών αερίων του θερμοκηπίου. Θεωρούμε προβλήματα αναθέσεων στα οποία ένα σύνολο αγαθών είτε αγγαρειών πρέπει να ανατεθεί σε κάποιους παίκτες. Κάθε παίκτης έχει μία συνάρτηση κέρδους (κόστους) που δείχνει πόσο εκτιμά κάθε αγαθό (αγγαρεία, αντίστοιχα) και το κέρδος (κόστος) του παίκτη για κάθε πιθανό σύνολο αντικειμένων προκύπτει αθροιστικά. Στόχος του προβλήματος είναι, φυσικά, η αποδοτικότητα και η δικαιοσύνη της ανάθεσης, περιορισμοί όμως, όπως η εγωιστική συμπεριφορά των παικτών οδηγούν σε πολύ ενδιαφέρουσες παραλλαγές του προβλήματος. Το πρώτο αποτέλεσμα της εργασίας προκύπτει από τη μελέτη του προβλήματος ανάθεσης ενός συνόλου αδιαίρετων αγαθών σε παίκτες όταν μας ενδιαφέρει να μην υπάρχει μεγάλη ζήλεια μεταξύ των παικτών. Αδιαίρετα λέγονται τα αντικείμενα που δεν μπορούν να κοπούν σε κομμάτια και πρέπει να ανατεθούν ακέραια σε κάποιο παίκτη, ενώ ζήλεια, διαισθητικά, είναι η προτίμηση που έχει κάποιος παίκτης για το σύνολο αγαθών που ανατέθηκαν σε κάποιον άλλον σε σχέση με τα αγαθά που ανατέθηκαν στον ίδιο. Όπως έχουμε αναφέρει, στην πράξη οι παίκτες έχουν εγωιστική συμπεριφορά, υπό την έννοια ότι προσπαθούν να μεγιστοποιήσουν το κέρδος τους. Για αυτό το λόγο, μπορεί να αναφέρουν εσφαλμένες συναρτήσεις κέρδους για να πετύχουν μία καλύτερη ανάθεση. Ως ειλικρινής χαρακτηρίζεται ένας μηχανισμός ανάθεσης ο οποίος εγγυάται ότι η ανάθεση των αντικειμένων βασίζεται στις σωστές συναρτήσεις κέρδους των παικτών. Υπό μία έννοια, ένας ειλικρινής μηχανισμός ανάθεσης αναγκάζει τους παίκτες να πουν την αλήθεια για τις συναρτήσεις κέρδους τους, ή αλλιώς, εγγυάται πως το κέρδος ενός παίκτη από την ανάθεση που βασίζεται σε εσφαλμένη συνάρτηση κέρδους δεν είναι μεγαλύτερο από το κέρδος που θα είχε αν η ανάθεση είχε βασιστεί στην πραγματική συνάρτηση κέρδους του, δεδομένου του ότι οι υπόλοιποι παίκτες λένε την αλήθεια. Παρουσιάζουμε μία απλή απόδειξη ότι ειλικρινείς ντετερμινιστικοί μηχανισμοί ανάθεσης δεν ελαχιστοποιούν τη ζήλεια, χαρακτηρίζοντας τέτοιους μηχανισμούς για δύο παίκτες και δύο αντικείμενα. Συγκεκριμένα, στην απόδειξη μας φαίνεται ότι για κάθε τέτοιο ειλικρινή μηχανισμό υπάρχουν στιγμιότυπα για τα οποία η ζήλεια σχεδόν μεγιστοποιείται. Επίσης, παρουσιάζουμε μία ανάλυση για ομοιόμορφα τυχαίες αναθέσεις οι οποίες είναι ειλικρινείς μηχανισμοί κατά μέσο όρο. Τα αποτελέσματα αυτά απλοποιούν και βελτιώνουν προηγούμενα αποτελέσματα των Lipton, Markakis, Mossel και Saberi. Συγκεκριμένα, δείχνουμε ότι η ζήλεια φράσσεται εκ των άνω από την ποσότητα O(a√(m ln n)) με μεγάλη πιθανότητα, όπου a είναι το μέγιστο κέρδος για κάθε αντικείμενο για κάθε παίκτη, n είναι ο αριθμός των παικτών και m ο αριθμός των αντικειμένων. Για την περίπτωση που το κέρδος κάθε παίκτη στο σύνολο των αντικειμένων είναι 1, το φράγμα γίνεται O(√(a ln n)). Στη συνέχεια μελετούμε την επίπτωση της δικαιοσύνης στην αποδοτικότητα των αναθέσεων. Στα ακόλουθα θα θεωρούμε ότι όντως είναι γνωστές οι πραγματικές συναρτήσεις κέρδους των παικτών. Επίσης, θεωρούμε και αναθέσεις αγγαρειών εκτός από αγαθών, καθώς επίσης και αναθέσεις διαιρετών εκτός από αδιαίρετων αντικειμένων. Ασχολούμαστε με τρείς διαφορετικές έννοιες δικαιοσύνης ανάμεσα στους παίκτες, συγκεκριμένα την αναλογικότητα, τη μη ύπαρξη ζήλειας και την ισοτιμία για αναθέσεις διαιρετών και αδιαίρετων αγαθών και αγγαρειών. Γενικά, μία ανάθεση αντικειμένων σε n παίκτες είναι αναλογική εάν σε κάθε παίκτη δίνεται η εντύπωση ότι παίρνει ένα σύνολο αντικειμένων “καλύτερο” από ποσοστό 1/n του συνόλου των αντικειμένων προς ανάθεση. Μία ανάθεση είναι χωρίς-ζήλεια εάν κάε παίκτης προτιμά όσα του έχουν ανατεθεί σε σύγκριση με το τι έχει πάρει οποιοσδήποτε άλλος παίκτης, ενώ μία ανάθεση είναι ισότιμη όταν όλοι οι παίκτες είναι εξ'ίσου ικανοποιημένοι με αυτά που τους έχουν ανατεθεί. Τέλος, μία ανάθεση είναι βέλτιστη εάν μεγιστοποιεί το κέρδος (ελαχιστοποιεί το κόστος, αντίστοιχα) του συνόλου των παικτών, δηλ. κάθε αντικείμενο ανατίθεται σε εκείνον τον παίκτη που το εκτιμά περισσότερο (του κοστίζει λιγότερο, αντίστοιχα). Παρουσιάζουμε μία σειρά αποτελεσμάτων για το κόστος της δικαιοσύνης όσον αφορά σε κάθε μία από τις τρείς έννοιες δικαιοσύνης που αναφέρθηκαν παραπάνω, πάνω σε διαιρετά και αδιαίρετα αντικείμενα αγαθών και αγγαρειών και ποσοτικοποιούμε την απώλεια αποδοτικότητας σε δίκαιες αναθέσεις σε σύγκριση με τις βέλτιστες. Παρουσιάζουμε άνω και κάτω φράγματα για κάθε περίπτωση, τα περισσότερα από τα οποία είτε συμπίπτουν είτε απέχουν κατά σταθερούς πολλαπλασιαστικούς παράγοντες. / Fair division (or fair allocation) dates back to the ancient times and has found applications such as border settlement in international disputes, greenhouse gas emissions reduction, allocation of mineral riches in the ocean bed, inheritance, divorces, etc. In the era of the Internet, it appears regularly in distributed resource allocation and cost sharing in communication networks. We consider allocation problems in which a set of goods or chores has to be allocated among several players. Each player has a utility (disutility) function indicating the happiness (regret) of the player if she is allocated the particular good (chore, respectively); this function is non-negative and additive. The objective of the problem is the efficiency and the fairness of the allocation, but restrictions like the selfish nature of the players lead to very interesting variants of the problem. Our first result stems from the study of the problem where a set of indivisible items has to be allocated to some players and where allocations in which no player envies the bundle of items allocated to the other players too much are considered. Indivisibility implies that an item cannot be broken into parts and must be allocated to a single player, and envy, intuitively implies the preference of a player for the bundle of items allocated to another player compared to that of the items allocated to her. As we stated above, in practice, players are usually selfish in the sense that they aim to increase their benefit, i.e., their total utility on the bundle of items the algorithm allocates to them. In order to do so, they may report false valuations of items to the algorithm (i.e., different than their true utilities). Truthful allocation functions guarantee that the allocation is based on the true utilities of the players. In a sense, a truthful allocation function motivates the players to be truthful, or, put differently, guarantees that the benefit obtained by a player when reporting false valuations on the items is not greater than the benefit she would have obtained by telling the truth, given that the rest of the players are truthful. We present a simple proof that deterministic truthful allocations do not minimize envy by characterizing the truthful mechanisms for two players and two items. Our proof actually shows that for any truthful allocation function, there are instances in which the envy is almost maximized. We also present an improved analysis of uniformly random allocations of m items over n players, which are truthful in expectation. We show that the envy is at most O(a√(mln n)) with high probability, where a is the maximum utility per item over all players and items. For the case where the sum of utilities of each player is 1, we prove a bound of O(√(aln n)). This improves the previous bound of O(√a n^{1/2+e}) for any e>0. We also study the impact of fairness on the efficiency of allocations. For this part of the paper, we assume that the true utility functions of the players are public knowledge. We consider both goods and chores, as well as divisible and indivisible items. Furthermore, we consider three different notions of fairness, namely proportionality, envy-freeness, and equitability. Informally, an allocation among n players is proportional if each player has the impression that she gets a better share than a fraction of 1/n of the items to be allocated. An allocation is envy-free if no player envies some other player, whereas an allocation is equitable when all players are equally happy with their shares. Finally, an allocation is optimal when it maximizes the total utility (minimizes the total disutility, respectively) of the set of players, i.e., each item is allocated to the player that values it the most (costs her the least). We present a series of results on the price of fairness under the three aforementioned different notions of fairness, for the cases of divisible and indivisible goods and chores, and quantify the efficiency loss in fair allocations compared to optimal ones. We present upper and lower bounds on each case, most of which are either exact or tight within constant factors.

Εντός ενός εκτεταμένου φάσματος τόπων και χρόνων της ανθρώπινης διανόησης, τόσο ο ορισμός όσο και η επίλυση του προβλήματος του σχετικού με το κακό θα αναζητούνται διακαώς και αδιαλείπτως. Τα πλέον κεντροβαρή θέματα, τα οποία θα αποτελέσουν τα κλειδιά για τη διάνοιξη μίας ικανοποιητικής κατανόησης σχετικά με το διαχρονικό ρίζωμα του κακού εντός της κοσμικής ολότητας, επιβάλλουν τη διερεύνηση της σχέσης της ύψιστης οντότητας με αυτό, όπως και της πεπερασμένης έλλογης οντότητας με την ελευθερία της, έστω και εάν η ελευθερία αυτή αποδειχθεί εντέλει δυνητική, ενδεχομένως ανύπαρκτη. Επικεντρωμένη στα κορυφαία έργα: Essais de Théodicée sur la Bonté de Dieu, la Liberté de l'Homme et l'Origine du Mal (Δοκίμια Θεοδικίας για την Καλοσύνη του Θεού, την Ελευθερία του Ανθρώπου και την Καταγωγή του Κακού) (1710) του Gottfried Wilhelm Leibniz [Λάιμπνιτς, 1646‒1716] και Philosophische Untersuchungen Über das Wesen der Menschlichen Freiheit und die Damit Zusammenhängenden Gegenstände (Φιλοσοφικές Έρευνες για την Ουσία της Ανθρώπινης Ελευθερίας και Περί Συναφών Θεμάτων) (1809) του Friedrich Wilhelm Joseph Schelling [Σέλλινγκ, 1775–1854], στα πλαίσια της κοσμοθεωρίας του καθενός στοχαστή, η παρούσα εργασία επιχειρεί σε δύο κύρια μέρη να αναδείξει το σχεσιακό πλέγμα επί του οποίου δομείται μία, όσο το δυνατόν περισσότερο, σαφής έννοια του κακού. Επιπρόσθετα, η εκπόνησή της φιλοδοξεί στον εντοπισμό των πιθανών σημείων επαφής–απόκλισης αναφορικά με τη συγκεκριμένη έννοια. Το πρώτο μέρος της εργασίας αφορά την έννοια του κακού που θα δεχθεί επεξεργασία, θα αποσαφηνιστεί και θα επικρατήσει στη σκέψη του Leibniz. Κάτι τέτοιο κρίνεται ως εφικτό κυρίως μέσω της παρουσίασης, όπως και της διευκρίνισης των δύο βασικών επιχειρημάτων που θεμελιώνουν το εγχείρημα της θεοδικίας, δηλαδή του κακού εντός των ορίων της Θεωρίας του Καλύτερου Δυνατού Κόσμου και του κακού ως έλλειψης. Θεωρείται απαραίτητο το να διερευνηθούν λεπτομερώς οι συσχετίσεις της θεϊκής και της ανθρώπινης οντότητας με το κακό, όπως και η μεταξύ των δύο οντοτήτων διασύνδεση. Η προσπάθεια αυτής της διερεύνησης διεξάγεται στα πλαίσια της κοσμοθεώρησης του Leibniz η οποία άπτεται της περίοπτης θέσης της Μονάδας [La Monade], όπως και της Προδιατεταγμένης Αρμονίας [Le Système de l'Harmonie Préétablie] εντός αυτής. Ο λαϊβνίτειος Θεός, ο δημιουργός, κατόπιν ο συντηρητής της κοσμικής ολότητας, κατέχει τη δύναμη και τη γνώση για να καταστρώσει, να πραγματώσει ελεύθερα το υπέρτατο σχέδιό του για έναν κόσμο που θα είναι ο καλύτερος δυνατός στη σύγκρισή του με τον οποιονδήποτε. Μόνο που το εν λόγω σχέδιό του φέρει ένα άκρως σημαντικό ψεγάδι που, αναφορικά με όλα ανεξαιρέτως τα «γνώριμα» όντα που βιώνουν το συγκεκριμένο συμπαντικό μοντέλο, διαβρώνει στον μέγιστο βαθμό την εικόνα που τείνει προς την τελειότητα. Αυτό το διαχρονικά αξιόμεμπτο ελάττωμα του συστήματος θα είναι το κακό [le mal]. Η Θεοδικία θα επιχειρήσει τη διεισδυτική προσέγγισή της στην έννοια, τη φύση και την προέλευση του κακού σε συνάρτηση με τον Θεό και τον άνθρωπο, συντάσσοντας συνάμα τη δεξιοτεχνικά δομημένη απάντηση στους διάφορους επικριτές της, στους φιλοσόφους μα και τους θεολόγους οι οποίοι θα επιμείνουν αφενός στο ασύμβατο της θεϊκής φύσης με το κακό, αφετέρου στο δισυπόστατό της. Πριν από την έναρξη του δεύτερου μέρους το οποίο θα επικεντρωθεί στην έννοια του κακού βάσει της συλλογιστικής γραμμής του Schelling, στο κεφάλαιο «O Schelling για το “Κακό” του Leibniz» αντιπαρατίθεται το κακό τής ισχυρά ενεργής πνευματικής δύναμης στον αντίποδα της αντίστοιχης λαϊβνίτειας όψης, της βασισμένης σε ένα κακό στερημένο και συνάμα ελλειπτικό. Αυτή η αντιπαράθεση αποσκοπεί στην ανάδειξη των σημείων τομής, υπό την προϋπόθεση του ότι θα ληφθούν επίσης υπόψη τα διαφορετικά πλαίσια εντός των οποίων εκτυλίσσεται το έργο του καθενός στοχαστή: εκκινώντας από τον ενστερνισμό ενός αμετάκλητου Θεϊσμού προς την, μετέπειτα από έναν αιώνα, ενδυνάμωση, κατόπιν ακόμα και υπέρβαση των ορίων του Γερμανικού Ιδεαλισμού. Στην Εισαγωγή της πραγματείας για την Ουσία της Ανθρώπινης Ελευθερίας, ο Schelling προαναγγέλλει τη στροφή, την πρωτότυπη μα συνάμα και προκλητική, στο ξετύλιγμα των διαδρομών της έρευνάς του: το ξερίζωμα της παραδοσιακής τοποθέτησης του πνεύματος αντιμέτωπου με το υποθετικά άλογο της φύσης και την αντικατάστασή του με το, εξίσου υποθετικά αντιθετικό, ζεύγος αναγκαιότητα–ελευθερία. Καθ’ όλη τη διάρκεια της ολοκληρωτικής αυτής σάρωσης του εσώτερου φιλοσοφικού κέντρου, η πρωταρχική τοποθέτηση του καινοτόμου δίπολου θα ταλανίζει, χωρίς τη δυνατότητα απόρριψης ούτε του ενός ούτε του άλλου πόλου, εντατικά και επίμονα τους προβληματισμούς του Γερμανού φιλοσόφου. Διαποτισμένη από μία εσώτερη πανίσχυρη βουλητική δραστηριότητα, η δυνατότητα για την ανθρώπινη ελευθερία περιστρέφει τον κύριο άξονα της πραγματείας, ενσωματώνοντας τη βαθειά απόφαση για το καλό, μα συνάμα και για το κακό ως την ειδοποιό διαφορά, σε σύγκριση με τη θεϊκή και όλες τις υπόλοιπες οντότητες, του ανθρώπινου Wesen, δηλαδή του είναι που συγκρατεί το ανθρώπινο μαζί με την ιδιαίτερη ελευθερία η οποία ουσιαστικά διεκδικεί την ιδέα του ανθρωπισμού. Ο ίδιος ο Schelling επισημαίνει πως στην πραγματεία του θα εκφράσει τη διαλογική γένεση των πάντων μέσα στο κείμενο. Σε μία έτερη ερμηνευτική διαδρομή της ανάγνωσης του κορυφαίου αυτού φιλοσοφικού κειμένου, ο Wirth θα παραλληλίσει την εν λόγω γένεση με διαλεκτική καταιγίδα εν μέσω της διαφωνίας και της ανισορροπίας του Wesen, το οποίο εξάλλου, σε τελική ανάλυση, αναδεικνύεται μέσα από αυτήν τη λεκτική ρευστότητα. Μα θα είναι ο φιλόσοφος, εντέλει, εκείνος που θα γνωρίσει το ανέφικτο της όποιας απόπειρας για την εξ ολοκλήρου ιδιοποίηση του εννοιολογικού πλέγματος μίας τόσο αρχέγονης υφής, καθόσον ο διάλογος εκτυλίσσεται μεταξύ συνομιλητών που δεν είναι του ίδιου είδους. Μάλλον φαντάζει σαν κάποια στιχομυθία στην απόπειρα της επικοινωνίας με την ίδια τη φύση. σα να μιλά το φως με το κεκαλυμμένο, και μόνιμο, σκοτάδι του, και εκείνο να απαντά (Jason M. Wirth, The Conspiracy of Life ‒Meditations on Schelling and His Time, State University of New York Press, USA, 2003, σ.σ. 158‒160). / Within an extended spectrum of places and times of the human intellect, both the definition and the solution of the problem of evil will continuously and eagerly be sought. The most important issues, that form the key for the opening of a satisfactory understanding concerning the timeless evil's rootstock in the cosmic totality, impose the investigation of the relationship between the supreme entity with evil, just as the relationship between the finite rational entity with its freedom, even if this freedom is ultimately proven potential, possibly non-existent. Focused on the outstanding works: Essais de Théodicée sur la Bonté de Dieu, la Liberté de l'Homme et l'Origine du Mal (Essays of Theodicy on the Goodness of God, the Freedom of Man and the Origin of Evil) (1710) by Gottfried Wilhelm Leibniz (1646‒1716) and Philosophische Untersuchungen Über das Wesen der Menschlichen Freiheit und die Damit Zusammenhängenden Gegenstände (Philosophical Investigations into the Essence of Human Freedom and Related Matters) (1809) by Friedrich Wilhelm Joseph Schelling (1775‒1854), the present paper attempts, in two main parts within the framework of each thinker's worldview, to feature the relational grid upon which has been structured a definite, as far as possible, sense of evil. Additionally, this paper aims to identify possible points of contact‒deviation regarding this specific concept, mainly within their stated works. The first part of this thesis concerns the concept of evil that will be edited, elucidated, and also will be prevailed on the thought of Leibniz. This has been considered possible primarily through the presentation, as well as the clarification of the two key arguments that ground the operation of theodicy: evil within the Best of All Possible Worlds Theory and evil as a deficiency. It is essential to investigate in detail the correlations of the divine and the human being with evil, as well as the two entities interconnection. The essay of this investigation is conducted within the cosmic view of Leibniz which relates to the prominence of the Monad [La Monade], just as the Pre-established Harmony [Le Système de l'Harmonie Préétablie] therein. The leibnizian God, the creator, then the cosmic whole maintainer, possesses the power and the knowledge to design, to realize freely his ultimate plan for a world that will be the best possible, comparing to any other. Though his project has a very important flaw which, at least for all, without any exception, its “familiar” beings that are experiencing this universal model, corrupts at the fullest extent the image which tends towards perfection. Evil [le mal] will be this timeless censurable fault within the system. The theodicy will attempt its penetrating approach to the conception, nature and origin of evil in relation to God and man, by composing the skillfully structured response to various critics, philosophers and theologians who will insist on both the incompatible of the divine nature with evil, and on the possibility of God's two natures. Before the beginning of the second part, which will be focused on the concept of evil under the line of Schelling's reasoning, in chapter “ Schelling On Leibniz's 'Evil' ”, an evil of a powerful active spiritual power confronts the corresponding leibnizian aspect, based on a deprived yet elliptical evil. This debate aims to highlight the sectional points, provided that is also needed to take into account the different contexts within which each thinker's philosophical work is unfolding: starting from the embracement of a irrevocable Theism to, a century later, the reinforcement, then even the transcendence of the limits of German Idealism. In the essay's Introduction on the Essence of Human Freedom, Schelling foreshadows the turn, both innovative yet provocative, during the unraveling of the inquiry's paths: the uprooting of spirit's traditional placement be faced with the hypothetical irrational nature and its replacement by the equally hypothetical oppositional pair of necessity‒freedom. Throughout the duration of this thoroughgoing total screening of the inner philosophical center, the central placement of the innovative dipole will torment, without the possibility of rejection either one or the other pole, intensively and persistently Schelling's thoughts. Permeated by a mighty inner volitional activity, human freedom's potential rotates the main axis of the treatise, incorporating profound decision for good, but at the same time for evil as the determinant distinction, both from divine and all the other entities of the human Wesen ‒of being which is holding together the humane with the particular freedom that claims the very idea of humanity. Schelling himself points out the essay as a dialectical genesis of everything within the text. In a parallel interpretive course that will be followed by reading this philosophical masterpiece, Wirth will compare that genesis with a dialectical storm amid the discordance and the imbalance of Wesen, which furthermore, in the final analysis, will be emerged through this verbal fluidity. But the very philosopher knows that it's not achievable to have totally appropriated the conceptual grid of this so much primitive texture, whereas the dialogue unfolds between interlocutors not of the same kind. Probably it is showing more like some crosstalk attempting communication with nature itself; it is like light addressees to its disguised and permanent darkness, and darkness responds (Wirth, 2003, p.p. 158‒160).