傳統的主成分分析(principal component analysis)法，只能分析二式二向的資料(2-mode 2-way data)，若是要處裡三向三式的資料(3-mode 3-way data)或是更多維的資料，則必須用其它的方法。例如將某一向資料取平均數，再做分析。此法雖然可行，但卻忽略三向資料間可能潛藏的相關性。且社會科學的研究日趨複雜，三向資料也就更常見到，而我們可能也對三向資料間彼此的關聯感到興趣。因此在1960、1970年代，學者開始研究將主成分分析的模型加以擴展成適合分析三向資料的模型。本文除了介紹三向資料主成分分析所使用的Tucker3模型及其參數估計法外，也以28家股票上市公司為實例，探討資本結構影響因素於五年間（1989~1993年）在不同公司群組間的變化情形。

現今許多網路商店或電子商務將產品銷售給消費者的過程中，皆使用推薦系統的幫助來提高銷售量。如亞馬遜公司(Amazon)、Netflix，深入了解顧客的使用習慣，建構專屬的推薦系統並進行個性化的推薦商品給每一位顧客。 推薦系統應用的技術分為協同過濾和內容過濾兩大類，本研究旨在探討協同過濾推薦系統中潛在因子模型方法，利用矩陣分解法找出評分矩陣。在Koren等人(2009)中，將矩陣分解法的演算法大致分為兩種，隨機梯度下降法(Stochastic gradient descent)與交替最小平方法(Alternating least squares)。本研究主要研究目的有三項，一為比較交替最小平方法與隨機梯度下降法的預測能力，二為兩種矩陣分解演算法在加入偏誤項後的表現，三為先完成交替最小平方法與隨機梯度下降法，以其預測值對原始資料之遺失值進行資料插補，再利用奇異值分解法對完整資料做矩陣分解，觀察其前後方法的差異。 研究結果顯示，隨機梯度下降法所需的運算時間比交替最小平方法所需的運算時間少。另外，完成兩種矩陣分解演算法後，將預測值插補遺失值，進行奇異值分解的結果也顯示預測能力有提升。 / Recommender system has been largely used by Internet companies such Amazon and Netflix to make recommendations for Internet users. Techniques for recommender systems can be divided into content filtering approach and collaborative filtering approach. Matrix factorization is a popular method for collaborative filtering approach. It minimizes the object function through stochastic gradient descent and alternating least squares. This thesis has three goals. First, we compare the alternating least squares method and stochastic gradient descent method. Secondly, we compare the performance of matrix factorization method with and without the bias term. Thirdly, we combine singular value decomposition and matrix factorization. As expected, we found the stochastic gradient descent takes less time than the alternating least squares method, and the the matrix factorization method with bias term gives more accurate prediction. We also found that combining singular value decomposition with matrix factorization can improve the predictive accuracy.

奇異值分解(singular valve decomposition)是一個重要且被廣為運用的矩陣分解方法，其具備許多良好性質，包括低階近似理論(low rank approximation)。在現今大數據(big data)的年代，人們接收到的資訊數量龐大且形式多元。相較於文字型態的資料，影像資料可以提供更多的資訊，因此影像資料扮演舉足輕重的角色。影像資料的儲存比文字資料更為複雜，若能運用影像壓縮的技術，減少影像資料中較不重要的資訊，降低影像的儲存空間，便能大幅提升影像處理工作的效率。另一方面，有時影像在被存取的過程中遭到雜訊汙染，產生模糊影像，此模糊的影像被稱為退化影像(image degradation)。近年來奇異值分解常被用於解決影像處理問題，對於影像資料也有充分的解釋能力。本文考慮將奇異值分解應用在影像壓縮與去除雜訊上，以奇異值累積比重作為選取奇異值的準則，並透過模擬實驗來評估此方法的效果。 / Singular value decomposition (SVD) is a robust and reliable matrix decomposition method. It has many attractive properties, such as the low rank approximation. In the era of big data, numerous data are generated rapidly. Offering attractive visual effect and important information, image becomes a common and useful type of data. Recently, SVD has been utilized in several image process and analysis problems. This research focuses on the problems of image compression and image denoise for restoration. We propose to apply the SVD method to capture the main signal image subspace for an efficient image compression, and to screen out the noise image subspace for image restoration. Simulations are conducted to investigate the proposed method. We find that the SVD method has satisfactory results for image compression. However, in image denoising, the performance of the SVD method varies depending on the original image, the noise added and the threshold used.