This PhD thesis on Pure Mathematics investigates properties of subspace lattices related to reflexivity. The research focuses on issues such as the reflexivity of the tensor product of two reflexive lattices, the lattice tensor product formula and property (p). Besides, the research investigates other properties related to subspace lattiees such as semi-strong closedness and compactness, and studies algebras associated to certain classes of subspace lattices. The work is divided into three research sections focused on a) the lattice tensor product formula, reflexivity of subspace lattices and property (P) where the author has mainly worked with subspace lattices having the ultraweak rank one density property, atomic Boolean subspace lattices and commutative subspace lattices, b) the behaviour of properties of subspace lattices such as reflexivity, semi-strong closedness and compactness when tensoring with other subspace lattices and c) algebras associated to various subspace lattices. This thesis attributes on our understanding of property (P) by showing that property (P) holds for a number of subspace lattices. Examples of algebras where the lattice tensor product formula holds and of subspace lattices that are reflexive are presented. In addition, our knowledge on semi-strong closedness and compactness of subspace lattices is developed and a partial description of algebras associated to a class of subspace lattices is obtained.

This thesis considers groups which act cocompactly on a product of two trees and draws on previous results by various mathematicians including Burger, Mozes, Rattaggi, Robertson and Wise. A characterisation is given of all groups which act regularly on the set of vertices, generalising a result of Robertson & Kimberley. We enumerate such groups acting on products of trees with low degree, and study various subgroups of interest.

No description available.

Ο σκοπός της διπλωματικής αυτής εργασίας είναι να κάνουμε μια εισαγωγική μελέτη στην αλγεβρική θεωρία των δικτυωτών και των δικτυωτών Galois, καθώς και να εξετάσουμε τη θεωρία των (αλγεβρικών) προσεγγίσεων και των (λογικών και στατιστικών) συνεπαγωγών για τα δικτυωτά Galois. Στο πρώτο κεφάλαιο, θα ακολουθήσουμε το βιβλίο των Davey & Priestley (2002), για να δώσουμε μία σύντομη ανασκόπηση της μαθηματικής θεωρίας των δικτυωτών, η οποία ονομάζεται ‘τυπική ανάλυση’. Μέσω αυτής, η θεωρία των δικτυωτών μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ανάλυση των ιεραρχιών των εννοιών. Είναι γνωστό ότι οι ιεραρχίες εμφανίζονται συχνά και στα μαθηματικά και στον ‘πραγματικό’ κόσμο. Η θεωρία των διατεταγμένων συνόλων και των δικτυωτών μας παρέχει ένα φυσικό πλαίσιο, μέσα στο οποίο μπορούμε να συζητήσουμε και να αναλύσουμε τις ιεραρχίες. Στο δεύτερο κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με μια ιδιαίτερη κατηγορία δικτυωτών, τα δικτυωτά Galois. Θα εισαγάγουμε τη μαθηματική θεωρία, η οποία, μέσω των δικτυωτών Galois, παρέχει μια γενική και χρήσιμη αναπαράσταση των διμερών γραφημάτων. Έτσι, θα δείξουμε πώς τα δικτυωτά Galois μπορούν να παράγουν μια μοναδική αναπαράσταση των διμερών γραφημάτων, σε περιπτώσεις που τα περισσότερα εναλλακτικά μοντέλα δημιουργούν διπλές (δυαδικές) αναπαραστάσεις. Επιπλέον, από τις αναπαραστάσεις της μεθόδου των δικτυωτών Galois, μπορούν να εξαχθούν κάποιες χρήσιμες ιδέες για τις δομικές ιδιότητες των διμερών γραφημάτων. Πιο συγκεκριμένα, στο δεύτερο κεφάλαιο θα ακολουθήσουμε την εργασία των Freeman & White (1993) για να παρουσιάσουμε τις μαθηματικές ιδέες για τα δικτυωτά Galois, χρησιμοποιώντας κάποια συγκεκριμένα παραδείγματα διμερών γραφημάτων (που έχουν κοινωνιολογικό ενδιαφέρον). Το κύριο παράδειγμα από αυτά αφορά τις κοινωνικές συνευρέσεις μιας ομάδας γυναικών του Αμερικανικού Νότου. Ως γνωστόν, η γενική θεωρία των δικτυωτών και, ιδιαίτερα, των δικτυωτών Galois μπορεί να χρησιμοποιηθεί για μια τυπική ανάλυση της κατανομής (sharing) των ιδιοτήτων των αντικειμένων και των τομών των ομάδων αντικειμένων. Η ανάλυση αυτή στηρίζεται πάνω σε μια γνωστή – από την αρχή της δεκαετίας του 1970 – δυαδικότητα, η οποία τυποποιεί τις προσεγγίσεις έκτασης/έντασης, καθώς επίσης και τα μοντέλα εξαγωγής συνεπειών, με τη βοήθεια μιας άλλης φυσικής δυαδικότητας δικτυωτού/ συνεπειών. Σύμφωνα με τον Duquenne (1996b), καθώς το μέγεθος των δικτυωτών Galois μπορεί να αυξάνεται εκθετικά, αυτή η κατασκευή απαιτεί κάποιες διαδικασίες προσέγγισης. Σε αυτές, ο Duquenne εισαγάγει κάποιες ομομορφικές αναγωγές, κατασκευάζοντας τα αντίστοιχα (υπό-)ημιδικτυωτά. Αυτά τα (υπό-)ημιδικτυωτά ορίζονται με μια μικρή τροποποίηση του αρχικού ορισμού των δικτυωτών, μέσω ενός πρόσθετου καταλόγου κάποιων ‘σχεδόν-συνεπειών’, οι οποίες αντικρούονται μόνο από ορισμένα αντι-παραδείγματα στα αρχικά δεδομένα. Σαν παράδειγμα των θεωριών αυτού του κεφαλαίου, θα μελετήσουμε πάλι το δίκτυο των γυναικών του Νότου (που είχαμε συζητήσει στο προηγούμενο κεφάλαιο). Τώρα, η υπολογιστική ανάλυση θα υλοποιηθεί μέσω του γραφικού προγράμματος GLAD του Duquenne. Στο τέταρτο και τελευταίο κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με την ανάλυση των στατιστικών συνεπαγωγών (White, 1984; White & McCann 1988). Η ανάλυση αυτή στοχεύει, κατά πρώτο λόγο, στην αυστηρή αξιολόγηση των μηδενικών υποθέσεων της στατιστικής ανεξαρτησίας ως πιθανής πηγής της δομής των δυαδικών δεδομένων. Κατά δεύτερο λόγο, ο σκοπός της ανάλυσης των στατιστικών συνεπαγωγών είναι η κατασκευή ενός μοντέλου διακριτής δομής (Boole) για εκείνες τις στατιστικές αλληλεπιδράσεις, οι οποίες παραμένουν, όταν η μηδενική υπόθεση απορριφθεί για συγκεκριμένα υποσύνολα μεταβλητών. Στο κεφάλαιο αυτό, ακολουθώντας την εργασία του White (1996), θα χρησιμοποιήσουμε τη θεωρία ανίχνευσης σημάτων, αντί της χρήσης ενός συμβατικού επιπέδου σημαντικότητας, για τον προσδιορισμό των βέλτιστων τερματικών τιμών, δοθέντων των λόγων (πηλίκων) των πραγματικών τιμών προς τις αναμενόμενες τιμές για διάφορα επίπεδα εξαιρέσεων και κανόνων. Έτσι, θα γενικεύσουμε την ανάλυση των διμεταβλητών συνεπαγωγών με σκοπό τη βελτίωση της αποτελεσματικότητάς της στις προσεγγίσεις των δικτυωτών. / -

Discrete breathers are time-periodic and spatially localised exact solutions in translationally invariant nonlinear lattices. They are generic solutions, since only moderate conditions are required for their existence. Closed analytic forms for breather solutions are generally not known. We use asymptotic methods to determine both the properties and the approximate form of discrete breather solutions in various lattices. We find the conditions for which the one-dimensional FPU chain admits breather solutions, generalising a known result for stationary breathers to include moving breathers. These conditions are verified by numerical simulations. We show that the FPU chain with quartic interaction potential supports long-lived waveforms which are combinations of a breather and a kink. The amplitude of classical monotone kinks is shown to have a nonzero minimum, whereas the amplitude of breathing-kinks can be arbitrarily small. We consider a two-dimensional FPU lattice with square rotational symmetry. An analysis to third-order in the wave amplitude is inadequate, since this leads to a partial differential equation which does not admit stable soliton solutions for the breather envelope. We overcome this by extending the analysis to higher-order, obtaining a modified partial differential equation which includes known stabilising terms. From this, we determine regions of parameter space where breather solutions are expected. Our analytic results are supported by extensive numerical simulations, which suggest that the two-dimensional square FPU lattice supports long-lived stationary and moving breather modes. We find no restriction upon the direction in which breathers can travel through the lattice. Asymptotic estimates for the breather energy confirm that there is a minimum threshold energy which must be exceeded for breathers to exist in the two-dimensional lattice. We find similar results for a two-dimensional FPU lattice with hexagonal rotational symmetry.

Bibliography: leaves 172-177. / xii, 179 leaves : ill. ; 30 cm. / Title page, contents and abstract only. The complete thesis in print form is available from the University Library. / This thesis is concerned with obtaining new inequalities for a planar, convex set containing exactly 0, 1 or 2 lattice points in its interior. / Thesis (Ph.D.)--University of Adelaide, Dept. of Pure Mathematics, 1997

- / -

- / -

- / -

Στο κεφάλαιο 1 γίνεται μελέτη διατεταγμένων αλγεβρικών δομών. Δίνονται ορισμοί, αποδείξεις και στοιχειώδη αποτελέσματα, απαραίτητα σε όλη την πορεία της εργασίας. Ορίζουμε μερικώς διατεταγμένα σύνολα και μερική διάταξη σε αλγεβρικά συστήματα, βλέπουμε υπό ποίες προϋποθέσεις η μερική διάταξη επεκτείνεται σε ολική και άρα το σύνολο γίνεται ολικώς διατεταγμένο και στη συνέχεια τα διατεταγμένα σύνολα με μία εσωτερική πράξη ορίζουν μερικώς ή ολικώς διατεταγμένες ομάδες. Στο κεφάλαιο 2 παρουσιάζουμε συμπληρώσεις διατεταγμένων συνόλων και συγκεκριμένα, τα συμπληρώματα Dedekind, Kurepa και Krasner καθώς και ορισμένες ιδιότητες αυτών. Ο Dedekind (1831-1916) όρισε τις τομές Dedekind με τη βοήθεια των οποίων επέκτεινε τη διάταξη των φυσικών στο σύνολο των πραγματικών και θεμελίωσε με αυτόν τον τρόπο το σύνολο αυτό ως ένα διατεταγμένο σώμα. Η κατασκευή της δομής των πραγματικών εφοδιασμένη με τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και τη δίαταξη, καθώς και η κατασκευή της δομής του επιπέδου με τις ίδιες πραξεις και διάταξη κατά Dedekind παρουσιάζεται εκτενέστερα στο κεφάλαιο 3. Η γενίκευση της έννοιας του συμπληρώματος Kurepa και η εισαγωγή του συμπληρώματος Krasner, οφείλονται στον καθηγητή Λ. Ντόκα (1963). Η μέθοδος του Dedekind της συμπλήρωσης με τομές δεν είναι η μόνη μέθοδος κατασκευής των πραγματικών αριθμών. Η μέθοδος του G. Cantor (1845-1918) της συμπλήρωσης με ακολουθίες, είναι η δεύτερη εξίσου σημαντική μέθοδος, την οποία θα παρουσιάσουμε στο κεφάλαιο 4. Η μελέτη μας ολοκληρώνεται στο κεφάλαιο 5, όπου παρουσιάζεται ένα ενδιαφέρον αποτέλεσμα για τις μερικώς διατεταγμένες ομάδες και τις συνθήκες κάτω από τις οποίες αυτές επεκτείνονται σε ολικώς διατεταγμένες ομάδες, στηριζόμενοι στην εργασία “embedding groups into linear or lattice structures” των Κοντολάτου-Σταμπάκη (1987), όπου πραγματοποιούν επέκταση μίας μερικώς διατεταγμένης ομάδας, χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα του Fuchs για ύπαρξη επέκτασης ενός μερικώς διατεταγμένου συνόλου σε ολικώς διατεταγμένο. / In chapter 1 ordered algebraic structures are considered and we present certain definitions, proofs and elementary results which are necessary in the whole project. Partially ordered sets and partial order in algebraic systems is defined. Then we analyze under which conditions partial order can be extended to full order. This leads to fully ordered sets and those sets, along with an internal operation, define partially or fully ordered groups. In chapter 2 we present specific ordered set complements and in particular those of Dedekind, Kurepa and Krasner and furthermore we mention some of their properties. Dedekind sections where introduced by Dedekind (1831-1916), who used them in order to extend the order of natural numbers to the set of real numbers, making this set an ordered field. The construction of the real numbers structure along with the internal operations of addition and multiplication and order and the construction of the plane structure with the same operations and order, using Dedekind theory, is analytically presented in chapter 3. Due to L. Docas (1963), Kurepa complement was generalized and Krasner complement was introduced. Dedekind’s sections is not the only way to construct the set of real numbers. Another important method is that of G. Cantor (1845-1918), who used sequences for completion. We present this method in chapter 4. Finally, in chapter 5, we consider a paper published by A. Kontolatou and J. Stabakis (1987) entitled “Embedding groups into linear or lattice structures”. Fuchs’s results on the extend existence of a partially ordered set to fully ordered set is used. Based on the Kontolatou-Stabakis paper, we present an interesting result for partially ordered groups and certain conditions of how to extend those groups to fully ordered ones.