Στο κεφάλαιο 1 γίνεται μελέτη διατεταγμένων αλγεβρικών δομών. Δίνονται ορισμοί, αποδείξεις και στοιχειώδη αποτελέσματα, απαραίτητα σε όλη την πορεία της εργασίας. Ορίζουμε μερικώς διατεταγμένα σύνολα και μερική διάταξη σε αλγεβρικά συστήματα, βλέπουμε υπό ποίες προϋποθέσεις η μερική διάταξη επεκτείνεται σε ολική και άρα το σύνολο γίνεται ολικώς διατεταγμένο και στη συνέχεια τα διατεταγμένα σύνολα με μία εσωτερική πράξη ορίζουν μερικώς ή ολικώς διατεταγμένες ομάδες. Στο κεφάλαιο 2 παρουσιάζουμε συμπληρώσεις διατεταγμένων συνόλων και συγκεκριμένα, τα συμπληρώματα Dedekind, Kurepa και Krasner καθώς και ορισμένες ιδιότητες αυτών. Ο Dedekind (1831-1916) όρισε τις τομές Dedekind με τη βοήθεια των οποίων επέκτεινε τη διάταξη των φυσικών στο σύνολο των πραγματικών και θεμελίωσε με αυτόν τον τρόπο το σύνολο αυτό ως ένα διατεταγμένο σώμα. Η κατασκευή της δομής των πραγματικών εφοδιασμένη με τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και τη δίαταξη, καθώς και η κατασκευή της δομής του επιπέδου με τις ίδιες πραξεις και διάταξη κατά Dedekind παρουσιάζεται εκτενέστερα στο κεφάλαιο 3. Η γενίκευση της έννοιας του συμπληρώματος Kurepa και η εισαγωγή του συμπληρώματος Krasner, οφείλονται στον καθηγητή Λ. Ντόκα (1963). Η μέθοδος του Dedekind της συμπλήρωσης με τομές δεν είναι η μόνη μέθοδος κατασκευής των πραγματικών αριθμών. Η μέθοδος του G. Cantor (1845-1918) της συμπλήρωσης με ακολουθίες, είναι η δεύτερη εξίσου σημαντική μέθοδος, την οποία θα παρουσιάσουμε στο κεφάλαιο 4. Η μελέτη μας ολοκληρώνεται στο κεφάλαιο 5, όπου παρουσιάζεται ένα ενδιαφέρον αποτέλεσμα για τις μερικώς διατεταγμένες ομάδες και τις συνθήκες κάτω από τις οποίες αυτές επεκτείνονται σε ολικώς διατεταγμένες ομάδες, στηριζόμενοι στην εργασία “embedding groups into linear or lattice structures” των Κοντολάτου-Σταμπάκη (1987), όπου πραγματοποιούν επέκταση μίας μερικώς διατεταγμένης ομάδας, χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα του Fuchs για ύπαρξη επέκτασης ενός μερικώς διατεταγμένου συνόλου σε ολικώς διατεταγμένο. / In chapter 1 ordered algebraic structures are considered and we present certain definitions, proofs and elementary results which are necessary in the whole project. Partially ordered sets and partial order in algebraic systems is defined. Then we analyze under which conditions partial order can be extended to full order. This leads to fully ordered sets and those sets, along with an internal operation, define partially or fully ordered groups. In chapter 2 we present specific ordered set complements and in particular those of Dedekind, Kurepa and Krasner and furthermore we mention some of their properties. Dedekind sections where introduced by Dedekind (1831-1916), who used them in order to extend the order of natural numbers to the set of real numbers, making this set an ordered field. The construction of the real numbers structure along with the internal operations of addition and multiplication and order and the construction of the plane structure with the same operations and order, using Dedekind theory, is analytically presented in chapter 3. Due to L. Docas (1963), Kurepa complement was generalized and Krasner complement was introduced. Dedekind’s sections is not the only way to construct the set of real numbers. Another important method is that of G. Cantor (1845-1918), who used sequences for completion. We present this method in chapter 4. Finally, in chapter 5, we consider a paper published by A. Kontolatou and J. Stabakis (1987) entitled “Embedding groups into linear or lattice structures”. Fuchs’s results on the extend existence of a partially ordered set to fully ordered set is used. Based on the Kontolatou-Stabakis paper, we present an interesting result for partially ordered groups and certain conditions of how to extend those groups to fully ordered ones.

<p> Block copolymers are a class of soft materials which can self-assemble into a variety of ordered structures. One method to induce new structures is the application of an external field such as an electric field. Previously, studies of the field-induced phase transitions are based on the assumption that the structural change follows certain symmetry pattern or simply using real-space numerical methods. The goal of the current project is to develop a simple analytic method to predict the structural change. Our approach is based on a linear response theory, in which the external field is taken as a perturbation and the lowest-order contribution to the solution is computed. We applied our method to the Landau-Brazovskii theory which is valid close to the order-disorder transition point of diblock copolymers. The result shows that there will be an additional term to the order parameter as a response to the external field. The structural change can be predicted by a new Fourier expansion of the order parameter. As an example, we examined the structural change of a body-centered cubic phase under an applied electric field.</p> / Thesis / Master of Science (MSc)

The bankruptcy problem involves the distribution of perfectly divisible goods. Particular attention is paid to the situations, where the amount of goods available is not enough to cover the demand. An example of real life situations that can be solved using various bankruptcy rules may be a division of a heritage or when a company goes bankrupt and its estates are sold to satisfy interested parties' claims. This paper introduces to the problem a linear structure of the participants, meaning that participants are now satisfied one after another in a preset order. It applies the equal awards (CEA) and the equal losses (CEL) solutions on the revised problem. Since their axiomatization is no longer valid, both solutions are extended and new characterizations are given in the thesis. The thesis contains a series of original proofs for both extended solutions and whole problem is examined in the setting of the well-known river sharing problem.

Un intérêt scientifique croissant dans les cristaux liquides (LC) est née de leur capacité à guider l'assemblage des colloïdes1,2 et des nanoparticules (NPs)3-8 en configurations spatiales bien définies. Dans cette thèse, nous avons étudié les LC smectiques A (SmA) qui produisent 1D et 2D modèles de défauts de taille nanométrique9 avec sub-micrométrique périodicité et sont capables d'assembler des NP dans des structures ordonnées par défaut/NP interactions. La thèse a été axé sur deux tâches principales: l'élaboration d'une méthode fiable pour motifs de défaut de la création avec la symétrie et la périodicité prédéfinie qui peut être réglé par des champs électriques appliqués; assemblage NPs de nature différente, la taille et la forme en structures ordonnées dans accordable LC tableaux de défauts. Dans ce mémoire, nous avons montré que les modèles de défauts 1D et 2D peuvent être créés soit par variation de l'épaisseur du film à cristaux liquides en l'absence de champ électrique externe, ou en appliquant le champ à une épaisseur donnée. La morphologie de motif est déterminée par l'épaisseur de la région confinée, où le directeur de LC de rotation perpendiculaire à l'orientation parallèle à des substrats. Dans les cellules hybrides SmA/NP NPs anisométriques alignent le long de la directrice en l'absence de défauts, mais alignent parallèle à la ligne des défauts10 dans le noyau de défaut. Un champ électrique appliqué à la ligne normale de défaut de contestation de l'interaction des particules anisotropes défaut et peut conduire à une orientation perpendiculaire, en fonction du type et de la taille des particules. Ajout sphériques NPs d'or à SmA LCs conduit à la déstabilisation des domaines de défauts linéaires, la stabilisation de bandes striées et empêche l'agrégation même pour une grande concentration de NPs d'or dans les cellules hybrides. / An increasing scientific interest in liquid crystals (LCs) has arisen from their ability to guide the assembly of colloids and nanoparticles (NPs) into well-defined spatial patterns. In this thesis we have studied the smectic A (SmA) LCs which produce 1D and 2D patterns of nanometer size defects with sub-micrometer periodicity and are capable to assemble NPs into ordered structures via defect/NP interactions. The dissertation was focused on two main tasks: developing a reliable method for creation defect patterns with predefined symmetry and periodicity which can be tuned by applied electric fields; assembling NPs of different nature, size and shape into ordered structures within tunable LC defect arrays. In this thesis we have shown that 1D and 2D defect patterns can be created either by varying the LC film thickness in the absence of external electric field, or by applying the field at a given thickness. The pattern morphology is determined by the thickness of the confined region, where the LC director rotates from normal to parallel to the substrates orientation. In SmA/NPs hybrid cells anisometric NPs align along the director in the absence of defects but align parallel to line defects within the defect core. An electric field applied normal to the defect line challenges the anisotropic particle-defect interaction and may lead to perpendicular orientation, depending on the particle type and size. Adding spherical gold NPs (GNPs) to SmA LCs leads to destabilization of linear defect domains, stabilization of striated stripes and prevents aggregation even for a large concentration of GNPs in hybrid cells.

L'un des concepts fondamentaux dans l'étude des métamatériaux est que, dans certains cas, les propriétés du milieu sont déterminées par l'arrangement structurel de ses composants plutôt que par les propriétés intrinsèques des particules. De telles structures hautement ordonnées peuvent servir de guide d'onde en acoustique, ainsi que pour des ondes élastiques ou électromagnétiques ; elles peuvent aussi induire de nouvelles propriétés, ouvrant ainsi de nouvelles perspectives dans la conception des matériaux. Dans ce champ de recherche, la question centrale est de trouver comment produire ces arrangements ordonnés de particules et de molécules ; par exemple, un grand nombre d'études expérimentales et théoriques s'appuient sur des mécanismes d'auto-assemblage.Dans les études théoriques, ainsi que dans les simulations numériques, les interactions entre les constituants sont déterminées par des potentiels modèles ou effectifs dont la portée et la forme déterminent les structures collectives. Les potentiels utilisés sont souvent à courte portée, c'est-à-dire qu'ils ont une décroissance très rapide avec la distance ; typiquement, des molécules séparées de quelques diamètres moléculaires n'interagissent pas directement. Dans cette thèse, nous nous intéressons à ces structures ordonnées qu'il est possible d'obtenir, non pas avec des interactions à courte portée, mais avec des interactions à très longue portée (Coulomb, etc.). Notre démarche consiste dans un premier temps à déterminer les structures optimales à température nulle (états fondamentaux) en minimisant le potentiel thermodynamique adéquat ; puis, nous étudions la stabilité thermique de ces structures à basse température à l'aide de simulations numériques de Monte-Carlo. Nous observons une pléthore de structures prototypes, ainsi que des transitions de phases entre elles. / The central paradigm in the emerging field of metamaterials is that the properties of a material are in certain cases governed rather by the well-ordered spatial arrangement of its constituent particles than by the properties of those particles themselves. Since such highly ordered patterns can act as waveguides for acoustic, elastic, or electromagnetic waves, they can give rise to novel material properties, opening up new avenues in materials design. The central problem of how to produce the required ordered particle arrangements, e.g., via self-assembly, has received significant attention both from the experimental and theoretical sides.In theoretical studies, the interactions between particles are modeled via potential functions, whose shape and range have a profound impact on the formed structures. These potentials are often short-ranged, i.e., they are characterized by a rapid decay with distance. In this thesis, we focus on systems featuring long-range interactions, where particles interact over significantly larger distances than the mean inter-particle separation. Typical examples for such potentials are charged or multipolar interactions.In our approach, we first determine the ordered structures formed by the particles at vanishing temperature by minimizing the relevant thermodynamic potential. We observe a surprising plethora of different structural archetypes as well as novel phase transition scenarios. Then, we investigate the stability of these structures at low temperatures using Monte Carlo simulations.

Les septines sont des protéines conservées de la levure à l’homme qui sont impliquées dans divers processus cellulaires tels que la cytokinèse, le transport vésiculaire et l’organisation du cortex cellulaire. Il existe 13 gènes de septines retrouvés en plusieurs isoformes chez l’humain, et seulement cinq chez Drosophila melanogaster, Sep1, Sep2, Pnut, Sep4 et Sep5, ce qui en fait un modèle idéal vu son génome simple. Les septines sont composées d’un domaine de liaison au GTP très conservé entre les espèces, dont le rôle reste à ce jour ambiguë, ainsi que de régions N et C-terminales variables. Les septines s’assemblent entre elles pour former un hexamère, composé de Sep1, Sep2 et Pnut chez Drosophila melanogaster, via l’interface N-C et G des septines. Ces hexamères s’assemblent bout à bout afin de former les filaments de septines. Ces filaments peuvent ensuite se regrouper et s’assembler en structures hautement ordonnées telles que des anneaux, des tubes, des faisceaux de filaments, des cages et elles sont retrouvées au sillon de clivage durant la cytokinèse. Le but était de déchiffrer les mécanismes d’assemblage des filaments de septines qui mènent à la formation des différentes structures, afin de mieux comprendre les mécanismes d’interaction entre les septines. Au sein des cellules S2 de Drosophila melanogaster, les septines sont retrouvées à trois structures hautement ordonnées et dépendantes de Pnut endogène : des tubes cytoplasmiques, des anneaux cytoplasmiques et le sillon de clivage durant la cytokinèse. Notre hypothèse est qu’il existe plusieurs mécanismes qui régissent la formation des structures hautement ordonnées et que ceux-ci sont dépendants des régions N et C terminales variables des septines qui sont impliquées dans plusieurs interactions. Divers mutants de Sep1, Sep2 et Pnut tronqués en N et en C-terminal ont été fusionnés à une protéine fluorescente et caractérisés par microscopie confocale. La localisation de ces mutants a été répertoriée et analysée en présence des septines endogènes ou lors de la déplétion de celles-ci. Nos résultats suggèrent que le domaine de liaison au GTP est suffisant pour le recrutement des septines au sillon de clivage durant la cytokinèse, mais que la région N-terminale est requise la formation des tubes et des anneaux cytoplasmiques dépendants de Pnut. / Septins are conserved from yeast to humans and are implicated in diverse cellular processes such as cytokinesis, vesicular transport and cellular cortical organization. There are 13 known genes that encode for human septins, which also have many isoforms, while there are only five septin genes in Drosophila melanogaster: Sep1, Sep2, Pnut, Sep4 and Sep5, which makes it an ideal model system. Septins have a conserved GTP binding domain, whose role is still not fully understood, and variable N-C-termini. Septins assemble together, via N-C and G interfaces, to form a hexamer, that is composed of Sep1, Sep2 and Pnut in Drosophila melanogaster, which assemble end-to-end to form non polar filaments. These filaments can subsequently assemble together to form higher-ordered structures, such as rings, tubes, bundles, and gauzes. Furthermore, septins are recruited to the cleavage furrow during cytokinesis although their organization there is unclear. The aim of this project is to define septin assembly mechanisms that can lead to the formation of different higher ordered structures. In Drosophila melanogaster S2 cells, septins are recruited to three, readily observable septin dependent structures: cytoplasmic rings, cytoplasmic tubes, and the cleavage furrow during cytokinesis. Our hypothesis is that multiple mechanisms govern septin incorporation into these structures and that these mechanisms differentially depend on septin N-C variable termini. A panel of mutants of Sep1, Sep2 and Pnut truncated in N-C-termini were fused to fluorescent proteins and their localization in S2 cells monitored by confocal microscopy, with or without depletion of endogenous septins. My results suggest that the GTP binding domain is sufficient for septin recruitment to the cleavage furrow during cytokinesis, but that the septin N-termini are required for recruitment to the cytoplasmic tubes and rings.