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Cette thèse est consacrée à l’étude des ondes progressives de l’équation Gross–Pitaevskii non locale avec des conditions non nulles à l’infini. L’équation de Gross–Pitaevskii est une équation hamiltonienne apparaissant dans divers domaines de la physique tels que l’optique non linéaire, la superfluidité ou la condensation de Bose-Einstein. L’étude des ondes progressives pour l’équation de Gross–Pitaevskii fait l’objet de nombreux travaux depuis les résultats de Jones et Roberts en 1982, principalement dans le cas local. Afin de modéliser des interactions plus réalistes, il est intéressant de considérer l’équation de Gross–Pitaevskii non locale. Avant de traiter la question des ondes progressives, on consacre le premier chapitre à l’étude des conditions non nulles à l’infini d’un point de vue numérique et théorique, dans le cas de l’équation de Schrödinger linéaire. Nous montrons que la solution de l’équation linéaire présente un comportement asymptotique quasi-universel dans ce cas, ce que l’on illustre numériquement. Ensuite, nous montrons que, pour une famille d’interaction non locales, il existe une branche d’ondes progressives non triviales, orbitalement stable, en dimension 1. Notre résultat généralise le cas local et la preuve est basée sur un argument de minimisation sous contraintes, l’étude de la courbe minimisante et le principe de concentration compacité. En outre, on généralise les propriétés de la courbe minimisante en dimension N, dans le cas non local. Enfin, dans le dernier chapitre, nous proposons une méthode de gradient avec projection en dimension 1 et une méthode de pénalisation en dimension 2 afin de calculer numériquement les ondes progressives et la courbe d’énergie pour certains noyaux. Dans ces deux méthodes, l’utilisation de la transformée de Fourier rapide est cruciale afin de traiter l’interaction non locale. / This thesis is devoted to the study of traveling waves of the nonlocal Gross-Pitaevskii equation with nonzero conditions at infinity. The Gross-Pitaevskii equation is a Hamiltonian equation and arises in several areas of quantum physics such as nonlinear optics, superfluidity and Bose-Einstein condensation. There have been extensive studies concerning the traveling waves, particularly in the local case, since the Jones-Roberts programme in 1982. In order to describe more realistic physical interactions, we consider the nonlocal Gross-Pitaevskii equation. The first chapter is devoted to the numerical and theoretical aspects of the nonzero conditions at infinity, in the case of the linear Schrödinger equation. We show that the solution of the linear equation shows a quasi-universal behaviour and we illustrate it with numerical simulations. Then, we provide conditions on the nonlocal interaction such that there exists a branch of nontrivial traveling waves. We also show that this branch is orbitally stable. Our results generalize the local case and rely on a minimisation under constraints approach, the study of the minimizing curve and a concentration-compactness argument. Moreover, we generalize the properties of the minimizing curve in dimension N. Finally, we propose and implement a gradient method in dimension 1 and a penalty method in dimension 2 to numerically compute the traveling waves and the energy curve for nonlocal potentials. In each method, the nonlocal term is treated by the Fast Fourier Transform.

Les méthodes de projection sur des espaces de Krylov ont été employées avec grand succès pour diverses tâches en calcul scientifique, par exemple la résolution de grands systèmes d’équations linéaires, le calcul approché de valeurs propres, ou encore le calcul approché des fonctions de matrices fois un vecteur. L’objectif majeur de cette thèse est d’étudier et d’expliquer la convergence superlinéaire des méthodes de Krylov. La plupart des résultats existants sont asymptotiques avec passage à la racine n-ième et considèrent des suites de matrices. Dans un premier temps, nous généralisons une formule de Ipsen et al. concernant la convergence superlinéaire des méthodes MR valable pour des disques, à l’aide des opérateurs de Hankel et de la théorie AAK. Notre analyse permet aussi d’obtenir des bornes supérieures pour des ensembles convexes en utilisant la transformée de Faber. Ensuite nous énonçons notre principal résultat qui est un théorème d’optimalité en théorie du potentiel logarithmique. Nous montrons, à l’aide d’une nouvelle technique de discrétisation d’un potentiel, que l’inégalité de Bernstein-Walsh à poids sur un intervalle réel est optimale, à un facteur universel près, dans le cas où le champs extérieur est un potentiel d’une mesure à support réel à gauche de l’intervalle, ce qui inclut le cas des poids polynômiaux. Via un lien avec un problème sous contrainte, l’inégalité précédente s’applique à l’analyse de la convergence des méthodes de Krylov, et permet de prédire analytiquement un taux de convergence superlinéaire de la méthode du gradient conjugué et des approximations de Rayleigh-Ritz pour des fonctions de Markov, à chaque étape et pour une seule matrice. / Projection methods on Krylov spaces were used with great success for various tasks in scientific computing, for example the resolution of large systems of linear equations, the approximate computation of eigenvalues, or the approximate computation of matrix functions times a vector. The main goal in this thesis is to study and explain superlinear convergence of Krylov methods. Most of the existing formulas provide asymptotic results for the n-th root considering an increasing sequence of matrices. Firstly, we generalize a formula of Ipsen et al. concerning superlinear convergence of MR methods valid for disks using Hankel operators and AAK theory, our analysis also allows to obtain upper bounds for convex sets using the Faber transform. Then we state our main theorem which is a sharpness result in logarithmic potential theory using a new technique of discretization of a logarithmic potential. We prove that the weighted Bernstein-Walsh inequality on a real interval is sharp up to some universal constant, when the external field is given by a potential of a real measure supported at the left of the interval. As a special case this result includes the case of weights given by polynomials. Via a link with a constrained extremal problem our inequality applies to the analysis of the convergence of Krylov methods, and allows us to predict analytically the superlinear convergence of the conjugate gradient method and of the error for Rayleigh-Ritz approximations for Markov functions. Our results apply to a simple matrix, without taking the limit and without n-th root.