Cette thèse est consacrée à l’étude des ondes progressives de l’équation Gross–Pitaevskii non locale avec des conditions non nulles à l’infini. L’équation de Gross–Pitaevskii est une équation hamiltonienne apparaissant dans divers domaines de la physique tels que l’optique non linéaire, la superfluidité ou la condensation de Bose-Einstein. L’étude des ondes progressives pour l’équation de Gross–Pitaevskii fait l’objet de nombreux travaux depuis les résultats de Jones et Roberts en 1982, principalement dans le cas local. Afin de modéliser des interactions plus réalistes, il est intéressant de considérer l’équation de Gross–Pitaevskii non locale. Avant de traiter la question des ondes progressives, on consacre le premier chapitre à l’étude des conditions non nulles à l’infini d’un point de vue numérique et théorique, dans le cas de l’équation de Schrödinger linéaire. Nous montrons que la solution de l’équation linéaire présente un comportement asymptotique quasi-universel dans ce cas, ce que l’on illustre numériquement. Ensuite, nous montrons que, pour une famille d’interaction non locales, il existe une branche d’ondes progressives non triviales, orbitalement stable, en dimension 1. Notre résultat généralise le cas local et la preuve est basée sur un argument de minimisation sous contraintes, l’étude de la courbe minimisante et le principe de concentration compacité. En outre, on généralise les propriétés de la courbe minimisante en dimension N, dans le cas non local. Enfin, dans le dernier chapitre, nous proposons une méthode de gradient avec projection en dimension 1 et une méthode de pénalisation en dimension 2 afin de calculer numériquement les ondes progressives et la courbe d’énergie pour certains noyaux. Dans ces deux méthodes, l’utilisation de la transformée de Fourier rapide est cruciale afin de traiter l’interaction non locale. / This thesis is devoted to the study of traveling waves of the nonlocal Gross-Pitaevskii equation with nonzero conditions at infinity. The Gross-Pitaevskii equation is a Hamiltonian equation and arises in several areas of quantum physics such as nonlinear optics, superfluidity and Bose-Einstein condensation. There have been extensive studies concerning the traveling waves, particularly in the local case, since the Jones-Roberts programme in 1982. In order to describe more realistic physical interactions, we consider the nonlocal Gross-Pitaevskii equation. The first chapter is devoted to the numerical and theoretical aspects of the nonzero conditions at infinity, in the case of the linear Schrödinger equation. We show that the solution of the linear equation shows a quasi-universal behaviour and we illustrate it with numerical simulations. Then, we provide conditions on the nonlocal interaction such that there exists a branch of nontrivial traveling waves. We also show that this branch is orbitally stable. Our results generalize the local case and rely on a minimisation under constraints approach, the study of the minimizing curve and a concentration-compactness argument. Moreover, we generalize the properties of the minimizing curve in dimension N. Finally, we propose and implement a gradient method in dimension 1 and a penalty method in dimension 2 to numerically compute the traveling waves and the energy curve for nonlocal potentials. In each method, the nonlocal term is treated by the Fast Fourier Transform.

Les systèmes industriels de transport de poudre sont, en général, des systèmes mécaniques bruyants, énergivores, mais surtout coûteux en maintenance. L’objectif de cette thèse consiste à investiguer des solutions alternatives exploitant des vibrations ultrasonores, moins contraignantes pour la structure et ses jonctions. Dans une première partie, une méthode de transport, baptisée « frottement contrôlé », exploite un actionnement piézo-électrique afin de moduler le coefficient de frottement équivalent entre la poudre et son guide de transport en mouvement. La mise en œuvre expérimentale de cette méthode démontre son potentiel et vient également corroborer une proposition de modèle analytique simplifié pour ce mode de transport. Dans une seconde partie, des solutions exploitant uniquement des vibrations ultrasonores sont étudiées. Ces solutions se basent sur la génération et le contrôle d’une onde progressive acoustique dans un élément de type poutre ou tube. Des modèles analytiques et éléments finis de ces différentes solutions de transport sont exploitées afin de mieux appréhender les phénomènes physiques influençant le transport, mais aussi afin d’optimiser le dimensionnement de la structure en minimisant le taux d’onde stationnaire. En se basant sur les considérations et préconisations précédentes, des bancs de tests spécifiques à chacune des solutions envisagées sont développés. Les différentes campagnes d’essais réalisées permettent finalement de mener une analyse comparative de la qualité des solutions de transport de poudre par onde ultrasonique. / Industrial powder transportation systems use conveyor belts or vibratory conveyors which are often noisy mechanical systems, requiring a massive energy consumption and costly maintenance due to their moving parts. The objective of this thesis is to investigate alternative solutions using ultrasonic vibrations, less restrictive for the structure and its junctions. In the first part, a method of transportation, called "friction control," operates a piezoelectric actuator to modulate the equivalent friction coefficient between the powder and the guide in movement. The experimental implementation of this method shows its potential. We propose also a simplified analytical model for this mode of transport. In the second part, only solutions using ultrasonic vibrations are studied. These solutions are based on the generation and control of an acoustic wave into a beam-like member or tube. Analytical and finite element models of the different transport solutions are used to better understand the physical phenomena affecting transport, but also to optimize the design of the structure by minimizing the standing wave ratio. Based on the above considerations, multiple specific tests bench for each of the proposed solutions are developed. Finally, the various tests carried out, allow to conduct a comparative analysis of the quality of the powder transport solutions by ultrasonic wave.

Cette thèse étudie quelques problèmes qualitatifs pour les systèmes d’équations différentielles modélisant des maladies infectieuses avec des effets de réaction ou de diffusion. Il se compose en trois parties.Premièrement, nous étudions un système de réaction-diffusion complex décrivant la propagation spatio-temporelle de la grippe avec de multiples souches. Nous établissons des conditions d’existence d’ondes semi-progressives, progressives fortes et faibles (persistantes) à partir de l’équilibre sans maladie. Nous discutons en outre plusieurs situations dans lesquelles les ondes se-mi-progressives n’existent pas, et donnent une estimation de la vitesse minimale d’onde. Deuxième-ment, nous analysons une classe de systèmes éco-épidémiologiques dans lesquels les proies sont sujettes à l’effet Allee et à l’infection. Pour certains sous-systèmes, nous déterminons l’existence du point de bifurcation (bifurcation Hopf et bifurcation d’orbites hétéroclines). Nous montrons que l’effet Allee fort peut créer une courbe séparatrice (ou une surface), conduisant à une stabilité mul-tiple. Nous trouvons que les cycles hétéroclines forment un réseau hétérocline et identifient une or-bite périodique intérieure. Enfin, nous donnons une analyse qualitative de deux systèmes différentiels basés sur le réseau couplant la propagation de l’épidémie et la diffusion de l’information: le système d’interaction et le système de contrôle des épidémies. Plus spécifiquement, nous obtenons l’existence de l’équilibre sans maladie, l’équilibre endémique et la variété de synchronisation, ainsi que leur stabilité asymptotique globale. / This thesis studies some qualitative problems for systems of differential equations modeling in-fectious diseases with reaction or diffusion effects. It consists of three parts.Firstly, we study a complex reaction-diffusion system describing the spatiotemporal spread of in-fluenza with multiple strains. We establish conditions for the existence of semi-, strong and weak (persistent) traveling waves starting from the disease-free equilibrium. We further discuss several situations in which semi-traveling waves do not exist, and give an estimation of minimal wave speed. Secondly, we analyze a class of eco-epidemiological systems where prey is subject to Allee effect and infection. For certain subsystems, we determine the existence of the bifurcation point (Hopf bifurca-tion and bifurcation of heteroclinic orbits). We show that the strong Allee effect can create a separa-trix curve (or surface), leading to multi-stability. We find that the heteroclinic cycles form a hetero-clinic network and identify an interior periodic orbit. Finally, we give a qualitative analysis of two network-based differential systems coupling epidemic spread and information diffusion: the interplay system and the epidemic control system. More specifically, we obtain the existence of the disease-free equilibrium, endemic equilibrium and synchronization manifold, and their global asymptotic stability.

L'objet de cette thèse est l'étude de l'accélération de la propagation dans les équations de réaction-diffusion par un nouveau mécanisme d'échange avec une ligne de diffusion rapide. On répondra à la question de l'influence de ce couplage avec forte diffusivité sur la propagation en généralisant un résultat de Berestycki, Roquejoffre et Rossi de 2013. Le système d'équations étudié a été proposé pour donner une explication mathématique de l'influence des réseaux de transports sur les invasions biologiques. Dans un premier chapitre, on étudiera l'existence et l'unicité de solutions de type ondes progressives via une méthode de continuation. La transition se fait par l'intermédiaire d'une perturbation singulière qui paraît nouvelle dans ce contexte, connectant le système initial à un problème au bord de type Wentzell. Le second chapitre s'intéresse à la vitesse des ondes sus-mentionnées. On y démontre qu'elle croît comme la racine carrée de la diffusivité de l'espèce sur la route, ce qui généralise et démontre la robustesse du résultat de Berestycki, Roquejoffre et Rossi. De plus, on caractérise précisément le ratio de croissance comme unique vitesse admissible pour les ondes d'un système hypoelliptique a priori dégénéré. Enfin dans une dernière partie on s'intéresse à la dynamique. On y montre que ces ondes attirent une large classe de données initiales. En particulier on met en lumière un nouveau mécanisme d'attraction qui permet aux ondes d'attirer des données dont la taille est indépendante de la diffusivité sur la route ; c'est un résultat nouveau au sens où usuellement, l'accélération de fronts de réaction-diffusion se paie en renforçant les hypothèses nécessaires sur la taille des données initiales attirées. / The aim of the thesis is the study of enhancement of propagation in reaction-diffusion equations, through a new mechanism involving a line with fast diffusion. We answer the question of the influence of such a coupling with strong diffusion on propagation by generalizing a result of Berestycki, Roquejoffre and Rossi (2013). The model under study was proposed to give a mathematical understanding of the influence of transportation networks on biological invasions. The first chapter shows existence and uniqueness of travelling waves solutions with a continuation method. The transition occurs through a singular perturbation - new in this context - connecting the system with a Wentzell boundary value problem. The second chapter is concerned with the speed of the waves : we show that it grows as the square root of the diffusivity on the line, generalizing and showing the robustness of the result by Berestycki, Roquejoffre and Rossi. Moreover, the growth ratio is characterized as the unique admissible velocity for the waves of an hypoelliptic a priori degenerate system. The last part is about the dynamics : we show that the waves attract a large class of initial data. In particular, we shed light on a new mechanism of attraction which enables the waves to attract initial data with size independent of the diffusivity on the line : this is a new result, in the sense than usually, enhancement of propagation has to be paid by strengthening the assumptions on the initial data for invasion to happen.

Cette thèse porte sur la dynamique de fronts de réaction-diffusion en présence de défauts localisés. Nous étudions des non-linéarités bistable et monostable pour lesquelles il existe des solutions exactes en milieu homogène. l'équation aux dérivées partielles est résolue numériquement et la solution est approchée en utilisant des solutions exactes. Parallèlement, nous développons une analyse en coordonnées collectives, position et largeur du front, basée sur des lois d'équilibre.Pour les deux non-linéarités, l'analyse approchée est en bon accord avec la solution numérique. Il est de plus possible de prédire l'arrêt du front dans le cas bistable. L'étude révèle des différences qualitatives entre les deux types de non linéarités. Elle montre l'importance des dimensions caractéristiques du défaut et du front. Enfin, elle fournit un modèle standardisé qui peut servir en théorie du contrôle ou pour la détermination de paramètres à partir de séries temporelles.

Cette thèse porte sur la dynamique de fronts de réaction-diffusion en présence de défauts localisés. Nous étudions des non-linéarités bistable et monostable pour lesquelles il existe des solutions exactes en milieu homogène. L'équation aux dérivées partielles est résolue numériquement et la solution est approchée en utilisant des solutions exactes. Parallèlement, nous développons une analyse en coordonnées collectives, position et largeur du front, basée sur des lois d'équilibre. Pour les deux non-linéarités, l'analyse approchée est en bon accord avec la solution numérique. Il est de plus possible de prédire l'arrêt du front dans le cas bistable. L'étude révèle des différences qualitatives entre les deux types de non linéarités. Elle montre l'importance des dimensions caractéristiques du défaut et du front. Enfin, elle fournit un modèle standardisé qui peut servir en théorie du contrôle ou pour la détermination de paramètres à partir de séries temporelles. / We study reaction-diffusion fronts in presence of a localized defect. We consider bistable and monostable nonlinearities for which exact solutions exist in the homogeneous case. The partial differential equation is solved numerically and the solution is fitted using these exact solutions. We also develop a collective coordinate analysis for the position and width of a front, based on balance laws. For both non linearities, the approximate analysis agrees well with the numerical solution. We cab predict the pinning of the front in the bistable case. The sudy reveals qualitative differences between the two nonlinearities. It shows the importance of the characteristic lenghts of the defect and the front. Finally it provides a reduced model, useful for control theory or for the determination of parameters from time-series.

Les Tubes à Ondes Progressives (TOP), utilisés pour amplifier des signaux hyperfréquences, présentent un comportement non-linéaire pour des puissances d'entrée élevées, ce qui limite leurs performances. Ce travail vise à améliorer la linéarité des TOP, et propose une solution consistant à injecter, en plus d'une l'onde fondamentale F, sa seconde harmonique 2F, afin d'améliorer la puissance de sortie.<br /><br />Une étude théorique approfondie de la non-linéarité dans les TOP a identifié la "saturation inertielle", comme un aspect essentiel de la saturation de la puissance de sortie. La possibilité d'améliorer la linéarité des TOP par injection d'harmonique a été étudiée à l'aide de modèles analytiques et de simulations numériques, puis validée par des mesures sur des tubes industriels. <br /><br />Ce travail a ouvert des perspectives pour des applications industrielles qui amélioreront le rendement des TOP.

Les dispositifs à retour tactile sont utilisés pour créer un retour sensoriel à leurs utilisateurs. Par exemple, ils est possible de reproduire sous le doigt l'illusion de surfaces texturées par le contrôle de la friction entre une surface mise en vibration et le doigt de l'utilisateur parcourant la dalle. Pour la plupart de ces dispositifs, le principe de base consiste à utiliser un mode de résonance dont la fréquence et la forme sont imposées par la nature du matériau et la géométrie du dispositif. Le mode est sélectionné pour réaliser une stimulation homogène, et de ce fait elle est indifférenciée sur l'ensemble de la surface. En regard de certaines applications demandant une information plus variée, c'est un facteur limitant. On propose dans ce travail de thèse une nouvelle approche, basée sur la superposition de plusieurs modes de vibration. Les modes sont excités simultanément pour réaliser des déformées plus complexes et modulables, afin de générer une simulation à retour tactile multitouch. Cette approche a été validée pour le cas d'une poutre où deux modes de vibration ont été superposés pour générer une simulation tactile différenciée sous deux doigts, grâce au contrôle vectoriel de deux actionneurs piézoélectriques. Cette approche multimodale a été ensuite étendue au cas d'une plaque mince où différentes distributions spatiales du déplacement ont été imposées.L'approche développée dans ce travail nous a permis également de générer et de contrôler une onde progressive en amplitude et en direction. Pour cette raison, nous avons évalué l'intérêt des ondes progressives dans les interfaces tactiles. Les évaluations psychophysiques des dispositifs proposés montrent clairement l'intérêt d'exploiter plusieurs modes de vibration pour une simulation à retour tactile. / Tactile display devices are used for providing tactile feedback to their users. They can reproduce the illusion of textured surface by controlling the friction between a vibrating surface and a sliding finger on it. For most of these devices, the basic principle is to use a single resonant mode whose frequency and wave form are imposed by the nature of the material and the geometry of the device. The mode is selected to achieve a homogeneous stimulation, and thereby tactile sensation is undifferentiated over the entire surface. The single mode tactile devices are limited for applications which require more varied information on surface.This work introduces a novel approach for tactile feedback based on the superposition of several vibration modes. The modes are excited simultaneously to perform a more complex wave form and are capable to generate multitouch tactile feedback. This approach has been validated for the case of a beam where two vibration modes were superimposed to generate a differentiated tactile simulation with two fingers. Thanks to vector control method applied to a piezoacturator. A tracking system was implemented to give a multitouch illusion based on the positions of the two fingers. This multimodal approach was later extended to the case of a thin plate where different spatial distributions of the displacement have been imposed. The approach developed in this work is also capable to generate and control a travelling wave amplitude and direction. For this reason, we evaluated the interest of travelling waves in touch interfaces. Psychophysical assessments of proposed devices clearly show the interest to use several vibration modes in tactile feedback simulation.

Cette thèse porte sur l’étude expérimentale et théorique de quatre instabilités associées à l’émergence de motifs réguliers sur des substrats érodables ou fortement déformables,instabilités liées à l’hydrodynamique sur un relief modulé.La première partie porte sur l’étude de l’instabilité d’une plaque élastique fixée aux deux bouts et soumise à un écoulement fluide permanent. La solution plane est instable vis-à-vis d’ondes propagatives, lorsque l’écoulement est suffisamment fort. La sélection de fréquence et de longueur d’onde est caractérisée expérimentalement en fonction de la vitesse de l’écoulement. Ces quantités suivent remarquablement les lois d’échelle obtenues par l’analyse de stabilité linéaire du problème. Le principe de l’expérience pourrait être appliqué à la récupération d’énergie.La deuxième partie porte sur une analyse théorique de la formation de rides géantes sur la comète 67P, récemment observées par la sonde Rosetta. Nous montrons comment le dégazage de vapeur se produit au travers d’une couche poreuse granulaire superficielle et comment l’alternance jour/nuit conduit à des gradients de pression gigantesques qui engendrent des vents thermiques de surface. Ces motifs apparaissent comme étant les analogues de rides qui se forment à la surface de lit sableux dans un écoulement visqueux.L’analyse de stabilité linéaire du problème permet de prédire quantitativement l’émergence de ces rides à la longueur d’onde et à la vitesse de propagation observées. Cette description fournit un outil robuste et fiable pour décrire les processus d’érosion et d’accrétion dans l’évolution des petits corps.Dans la troisième partie, nous proposons un modèle pour l’apparition de motifs de sublimation sur Pluton, tels que ceux observés sur Sputnik Planum. La formation et l’évolution de ces motifs proviennent de la sublimation/condensation différentielle de la glace d’azote.Nous montrons que l’atmosphère de Pluton possède des propriétés (température et pression)peu variables en espace et en temps. Nous analysons les différents mécanismes d’instabilité en compétition et concluons à un mécanisme original, basé sur le mélange et e transport de chaleur dans l’atmosphère, plutôt qu’au mécanisme des pénitents, basé sur l’auto-éclairement de la surface de glace.Enfin, nous avons étudié théoriquement l’instabilité de formation des rides éoliennes en considérant les trajectoires des grains résonantes avec le relief. Cette modélisation prend en compte de manière simple et effective les effets collectifs du transport de sédiments. Le modèle est validé à partir de simulations numériques existantes, elles mêmes calées sur des expériences contrôlées. / This thesis is devoted to the experimental and theoretical investigations of four instabilitiesassociated with the emergence of regular patterns over erodible/flexible substrates, andrelated to hydrodynamics over a modulated relief.First, the instability of a flexible sheet clamped at both ends and submitted to a permanentwind is investigated. The flat sheet solution is unstable towards propagative waves, forstrong enough wind. We experimentally study the selection of frequency and wavenumberas a function of the wind velocity. These quantities obey simple scaling laws derived froma linear stability analysis of the problem. This phenomenon may be applied for energyharvesting.Second, an explanation is proposed for the giant ripples observed by spacecraft Rosettaat the surface of the comet 67P. We show that the outgassing flow across a porous surfacegranular layer and the strong pressure gradient associated with the day-night alternanceare responsible for thermal superficial winds. We show that these unexpected patterns areanalogous to ripples emerging on granular beds submitted to viscous shear flows. Linearstability analysis of the problem quantitatively predicts the emergence of bedforms at theobserved wavelength and their propagation. This description provides a reliable tool topredict the erosion and accretion processes controlling the evolution of small solar systembodies.Third, we propose a model for rhythmic, dune-like patterns observed on SputnikPlanum of Pluto. Their emergence and evolution are related to the differential condensation/sublimation of nitrogen ice. We show that the temperature and pressure in Pluto’satmosphere are almost homogeneous and steady, and that heat flux from the atmospheredue to convection and turbulent mixing is responsible for the emergence of these sublimationpatterns, in contrast to the penitentes instability due to solar radiation.Last, we report an analytical model for the aeolian ripple instability by considering theresonant grain trajectories over a modulated sand bed, taking the collective effect in thetransport layer into account. The model is tested against existing numerical simulationsthat match experimental observations.

Lipopolysaccharides (LPS) représentent le composant principal de la membrane externe des bactéries Gram-négatives. Étant libérés dans le flux sanguin, les LPS induisent une forte réponse immunitaire accompagnée d'une coagulation intensifiée du sang activée à la fois par l'endommagement de la paroi vasculaire et par l'activation de la voie de contact. Dans cette thèse, nous développons des modèles théoriques pour élucider les détails de la coagulation sanguine induite par les molécules LPS. Dans les deux premiers chapitres, nous décrivons l'état de l'art du problème et les méthodes utilisées. Le troisième chapitre est consacré à l'analyse des modèles mathématiques de la coagulation sanguine. Nous déterminons les conditions de l'existence de solutions en ondes progressives dans le modèle de la croissance du caillot, estimons la vitesse de leur propagation et démontrons l'existence de la solution en forme de pulse déterminante la valeur critique de la condition initiale qui assure le processus de coagulation. Ensuite, nous étudions le modèle de la formation de caillot dans l'écoulement sanguin et déterminons la taille critique de la zone endommagée conduisante à l'occlusion complète du vaisseau par le caillot. Enfin, nous développons et analysons le modèle de l'activation du système de contact par les agrégats des LPS. Dans le quatrième chapitre, nous modélisons la structure supramoléculaire des LPS, qui a un impact crucial sur leur activité biologique. Nous développons des modèles de la dynamique moléculaire des LPS, de leurs agrégats et des membranes des compositions variées, et analysons le comportement conformationnel des LPS en fonction de leur environnement / The outer membrane of the Gram-negative bacteria cell wall is composed of lipopolysaccharide (LPS) molecules. Being released to the blood flow during sepsis, LPS induce strong immune response accompanied by pathological blood clotting. Blood coagulation is activated both due to the vessel wall damage, and the activation of the contact pathway. The details of the mechanisms involved remain obscure despite the extensive experimental studies. In the present work we develop theoretical models of the different time and space scales to elucidate the details of the LPS-induced blood coagulation during the Gram-negative sepsis. In the first two chapters we provide the state of the art of the problem and describe the methods we use. The third chapter is devoted to the analysis of the mathematical models of blood coagulation. We determine the conditions of the existence of the traveling wave solutions in the model of the self-sustained clot growth, estimate the speed of their propagation and demonstrate existence of the pulse solution determining the critical value of the initial condition. Then, we consider the model of blood coagulation under flow conditions and determine the critical size of the damaged zone leading to the complete vessel occlusion by the clot. Finally, we develop and analyze the model of the contact system activation by the LPS aggregates. In the fourth chapter we model the LPS supramolecular structure, which has crucial impact on the LPS biological activity. We develop molecular dynamics models of the LPS molecules, their aggregates and LPS-containing membranes of different composition and analyze LPS conformational behavior in different environment